1 Propriétés du tenseur spectral φ pour une turbulence homog`ene

` rendre avant le 11 d´
A
ecembre 2014
Turbulence - 3A
http://acoustique.ec-lyon.fr
Exercice no 7
On cherche a
` ´etablir quelques propri´et´es du tenseur spectral pour une turbulence homog`ene, ainsi que
quelques expressions utiles de la dissipation pour une turbulence homog`ene ou isotrope.
1
Propri´
et´
es du tenseur spectral φij pour une turbulence homog`
ene
1. Rappeler la d´efinition du tenseur spectral φij
2. Montrer que ce tenseur poss`ede la sym´etrie hermitienne, a
` savoir :
φij (k) = φji⋆ (k)
φij (−k) = φij⋆ (k)
en invoquant respectivement que la fonction de corr´elation associ´ee est r´eelle et que la turbulence
est homog`ene.
3. Montrer que pour un champ de vitesse incompressible :
ki φij (k) = kj φij (k) = 0
soit encore dans l’espace physique :
∂Rij (r)
∂Rij (r)
=
=0
∂ri
∂rj
4. Donner, compte tenu des propri´et´es pr´ec´edentes, la forme g´en´erale du tenseur φij . Montrer que ce
tenseur peut s’exprimer a
` partir de seulement 4 fonctions scalaires r´eelles.
2
Quelques expressions de la dissipation en turbulence homog`
ene isotrope
Le taux de dissipation de l’´energie cin´etique turbulente est d´efini par la relation :
ρε = τij′
∂u′i
∂xj
On cherche a
` d´eterminer d’autres expressions de la dissipation, permettant de calculer exp´erimentalement
ou num´eriquement ε, ou bien encore de donner un sens physique particulier a
` ε. On prendra soin de bien
pr´eciser les hypoth`eses utilis´ees au cours des calculs.
1
1. Montrer que la dissipation s’´ecrit :
ρε =
τij′ s′ij
′
1 ′ ∂u′i ∂uj
= τij
+
2
∂xj
∂xi
2. Montrer que pour une turbulence incompressible, la dissipation peut s’´ecrire :
′
′
∂2 u′i u′j
∂u′ ∂u′
∂ui ∂uj 2
1
+
=ν i i +ν
ε= ν
2
∂xj
∂xi
∂xj ∂xj
∂xi ∂xj
En d´eduire que pour une turbulence homog`ene, la dissipation se r´eduit exactement a
` εh
ε = εh ≡ ν
∂u′i ∂u′i
∂xj ∂xj
3. Montrer que pour une turbulence homog`ene et incompressible, la dissipation est directement reli´ee
aux composantes de la vorticit´e par :
′
′
∂ui ∂uj 2
1
= νωi′2
−
ε= ν
2
∂xj
∂xi
4. Montrer que pour une turbulence isotrope :
′ 2
′ 2
∂u1
∂u1
15
= 15ν
ν
ε=
2
∂x2
∂x1
En d´eduire alors imm´ediatement les deux relations :
ε = 15ν
u′2
u′2
=
30ν
λ2g
λ2f
5. Montrer que la dissipation peut s’exprimer pour une turbulence isotrope a
` partir du spectre unidimensionnel par :
Z ∞
(1)
ε = 30ν
k12 E11 (k1 ) dk1
0
2

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