Dynamique des structures cohérentes en turbulence magnétohydrodynamique Johann Herault Groupe de physique non-linéaire Laboratoire de Physique Statistique, UMR 8550, ENS-PARIS I. 2d turbulence Les écoulements turbulents Turbulence hydrodynamique Turbulence magnétohydrodynamique Structure spatiale complexe : continuum d'échelles spatiales Dynamique impredictible : sensibilité aux conditions initiales 2 I. 2d turbulence Les structures cohérentes dans les écoulements turbulents Structure spatiale : tourbillons, concentration de vorticité =∇×u Dynamique cohérente Temps de cohérence ( >300 ans) > Temps de retournement (6 jours) Grande tâche rouge de Jupiter 3 I. 2d turbulence Les structures cohérentes et les symétries Instabilité Dynamo : Expérience von Karman Sodium Mode dipolaire à grande échelle engendré par un écoulement turbulent Mode symétrique : D −D Résultats Etude de la relaxation des modes magnétiques Effet des turbines ferromagnétiques Circulation grande échelle en turbulence bidimensionelle Ecoulement à grande échelle U L Symétrie du forçage : U L −U L 4 I. 2d turbulence Les structures cohérentes en turbulence bidimensionnelle Définition: écoulement plan ne dépendant que de deux composantes u x , y , t Structures cohérentes Turbulence aux petites échelles Comment déterminer et quantifier l'émergence des structures aux grandes échelles ? Quelles sont la dynamique temporelle et la signature fréquentielle de ces structures ? 5 I. 2d turbulence Ecoulement bidimensionel forcé périodiquement Le montage Cellule remplie de Galinstan (métal liquide) Hauteur h=2cm Largeur L=12cm Champ magnétique B0 =10 3 G Courant continu I =10 A Le forçage électromagnétique 2 j= j r e r B0 = B0 e z La force de Laplace f L= j× B0 =− j B 0 e θ 6 I. 2d turbulence Techniques de mesure UL Sondes Vives ΔV Force électromotrice E =−u×B0 Tension aux bornes des sondes Vives Δ V =−B0 Vitesse moyenne U L= ∫ u×e z d l 2 ΔV L B0 Velocimétrie par suivi de particules Surface ensemencée par plus de 1 000 particules Positions des particules échantillonées à 60Hz Reconstruction trajectoires Champ de vitesse convolué par un filtre gaussien Velocimétrie par mesures Doppler ultrason 7 I. 2d turbulence Ecoulement quasi-bidimensionel B0 Processus de bidimensionalisation Amortissement magnétique des perturbations dépendantes de z Couche limite de Hartmann δH = √ ρν 2 σ B0 et Ha= δH h 2 =10 H L'équation de Navier-Stokes 2D 1 ∂ t u+u⋅∇ u=−∇ π+ν Δ u− τ u+ f ∇⋅u=0 H hδH τH= ν Temps d'amortissement par friction due à la couche de Hartmann Paramètres sans dimension vitesse, longueur: U ,L Le nombre de Reynolds: [u⋅∇ u] U L R e= = ν ∼104 [ ν Δ u] [u⋅∇ u ] U τ H R h= −1 = ∼10 L [τ H u ] 8 I. 2d turbulence Cascade inverse d'énergie Turbulence bidimensionelle R e≫1, Rh≫1 E(k) Cascades : la théorie KBL 2 2 Conservation de l'énergie ∣u∣ et enstrophie ∣∣ dissipation Transfert d'énergie préférentiellement vers les grandes échelles injection Transfert d'enstrophie préférentiellement vers les petites échelles k kd kf La condensation Echelle de dissipation l d ~L échelle de la cellule Accumulation/condensation de l'énergie dans le mode à l'échelle de la cellule Circulation à l'échelle de la cellule 9 I. 2d turbulence Les régimes d'écoulement Paramètres de contrôle 1.5 Laminaire ( R e / R h∝103 ) Rh 3 4 Bifurcations 12 Chaos → turbulence Rh 30 turbulence avec structures grandes échelles Régime condensé Amplitude préférentielle Brisure de symétrie P (U L ) UL 0 Forçage symétrique Brisure de symétrie Symétrie au sens statistique 10 I. 2d turbulence Les régimes d'écoulement Paramètres de contrôle 1.5 Laminaire ( R e / R h∝103 ) Rh 3 4 Bifurcations 12 Chaos → turbulence Rh 30 turbulence avec structures grandes échelles Régime condensé Comment déterminer et quantifier l'émergence des structures aux grandes échelles ? Quelles sont la dynamique temporelle et la signature fréquentielle de ces structures ? 11 I. 2d turbulence Propriétés statistiques du régime turbulent turbulence Rh 30 12 Régime condensé turbulence avec structures grandes échelles Etude de l'amplitude de la circulation à grande échelle UL Emergence d'une amplitude préférentielle de la circulation Spectres fréquentiels aux basses fréquences 12 I. 2d turbulence Propriétés statistiques du régime turbulent Etude de la norme de U L : Pour I<150A soit Rh<30, 〈U 2L 〉1 /2 〈U 2L 〉1 /2 ∝ I 1/ 2 Equilibre entre terme inertiel et le forçage Amplitude des fluctuations turbulentes [u⋅∇ u ]∝[ f ] U 2L ∝f L 〈U 2L 〉 1/ 2= √ f L∝ √ I 13 I. 2d turbulence Propriétés statistiques du régime turbulent 4 Coefficient d'aplatissement K= 〈U L 〉 2 〈U L 〉 2 Rh=10 Ecart au régime gaussien pour Rh>12. La distribution devient bi-modale pour Rh>20. Rh=20 14 I. 2d turbulence Propriétés statistiques du régime turbulent Rh=18 Décomposition des distributions (Guillaume Michel) Somme de deux gaussiennes centrées en U M et de variance σ ∗ P(U L )= ( 1 exp 2 √2 π σ 2 −(U ∗L −U m) 2σ 2 ) + 1 exp 2 √2 π σ ( 2 −(U ∗L +U m ) 2σ 2 2 . ) 2 La variance σ varie peu Bifurcation de l'amplitude la plus probable Estimation : U M ∝( Rh−Rh c )1 / 4 Transition à Rh=12 : apparition d'une amplitude préférentielle de rotation 15 I. 2d turbulence Propriétés spectrales du régime turbulent Spectre fréquentiel Û L ( f )=∫ U L (t )exp(i 2 π f t )d t Hautes fréquences: décroissance rapide du spectre Basses fréquences: Loi de puissance Signature de la dynamique cohérente E ( f )∝ f −α E ( f )= E ( f )∝ f −4 avec 1 ̂ U L ( f ) Û L (− f ) 〉 〈 T ou exp(− f / f 0 ) α=0,7 〈U 2L 〉1/ 2 f< ≈0,4 Hz L 16 I. 2d turbulence Propriétés spectrales du régime turbulent Pour Rh<30, le spectre aux basses fréquences : E ( f )∝ f −α avec α=0,7±0,1 Loi de puissance aux basses fréquences avec α=0,7 . Absence de fréquence de coupure aux basses fréquences. Observé sur les signaux des sondes Doppler 17 I. 2d turbulence Propriétés spectrales du régime turbulent Bruit en 1/f : −α Loi de puissance aux basses fréquences avec E ( f )∝ f , α compris entre 0 et 2 Processus auto-similaire: absence de temps caractéristique. Fréquence de coupure : Systèmes complexes : f c∝ 1 T avec T la durée de la mesure. fluctuations de résistivité, percolation, pluviométrie, écoulement von Karman... Présence d'une dynamique lente : Comment cette dynamique lente affecte les spectres ? Présence d'évènements longs de polarité constante 18 I. 2d turbulence Propriétés spectrales du régime turbulent Origine du bruit en 1/f : évènements longs de polarité constante. Quantification: transitions entre les états U L <0 Même information dans les spectres de et U L >0 : étude du signe de UL et UL . sign (U L) . Propriétés statistiques de cette dynamique lente ? 19 I. 2d turbulence Propriétés spectrales du régime turbulent P (τ ) Distribution des durées entre deux changements de signe successifs −β Loi de puissance aux temps longs P (τ )∝ τ avec β=2,25 . Décroissance lente de la distribution : évènements longs probables. Correspondance entre la gamme fréquentielle et temporelle : τ> Existe-il une relation entre α et L ≈ 2.5 s 〈U 2L 〉1/ 2 β ? 20 I. 2d turbulence Propriétés spectrales du régime turbulent Les exposants α Spectre de U L αS Specte du signe de β β+α Distribution UL P (τ ) Somme des exposants Les exposants suivent la loi : α+β=2.95±0.35 Lowen and Teich, P.R.E, 1993 Niemann et al., P.R.L., 2013 Prédiction théorique Système à 2 états avec distribution des temps de séjour P (τ )∝ τ −β alors α=3−β L'exposant β contrôle la valeur de l'exposant α du spectre. 21 I. 2d turbulence Turbulence avec structures aux grandes échelles turbulence Rh 30 12 turbulence avec Structures grandes échelles Régime condensé Distributions non gaussiennes pour Rh>12. Amplitude préférentielle de la circulation à grande échelle. Bruit en 1/f aux basses fréquences E ( f )∝ f −α Dynamique lente : distribution des durées Relation P ~− α=3−β 22 I. 2d turbulence Transition vers l'état condensé turbulence Rh 30 12 turbulence avec Structures grandes échelles Régime condensé Emergence d'une configuration préférentielle de vorticité Renversement circulation grande échelle. 23 I. 2d turbulence Transition vers l'état condensé Champs moyen de vorticité sur 100 temps de retournements Rh=21 Rh=39 Emergence d'une configuration de vorticité Turbulence : ergodicité/récurrences Turbulence avec structures grande échelle Régime condensé Changement de la structure de l'attracteur turbulent ? Récurrence dans les systèmes dynamiques Eckmann et al, EPL, 1987 Analyse du flot et de zones préférentielles dans l'espace des phases. Présence de point fixe, cycle instable... 24 I. 2d turbulence Transition vers l'état condensé Méthode de capture des récurrences Produit scalaire entre les deux vecteurs unitaires ω ' ( x k , t i ) , ω ' ( xk , t j ) Corrélation spatiale aux deux instants t i , t j c (t i , t j )=∑k ω ' ( x k , t i )ω ' ( x k , t j ) ti 25 I. 2d turbulence Transition vers l'état condensé Fonction indicatrice de récurrence C i , j (ϵc ) C i , j =0 si c (t i , t j )<ϵc (blanc) C i , j =1 si c (t i , t j )>ϵc (noir) Tracé de récurrences sur 100 secondes (6000 instantanés) ϵc =0.55 tj ti En augmentant Rh, l'écoulement passe de plus en plus de temps proche d'une configuration de vorticité 26 I. 2d turbulence Transition vers l'état condensé Pourcentage de temps passé au voisinage du champ de vorticité ω ' ( x k , t i ) T i= 1 N ∑ j C i , j (ϵc ) avec 1 <T i<1 N N : le nombre d'instantanés de vorticité Mode le plus probable T (1)=max i ( T i ) Transition vers Rh=30 27 I. 2d turbulence Transition vers l'état condensé Moyenne cohérente et structure du mode le plus probable ϵc =0.55 ϵc =0.75 Rh=30 Rh=34 Rh=38 28 I. 2d turbulence Transition vers l'état condensé Décomposition de Fourier ( ̂ (n x , n y )sin n x π ω ( x , y)=∑ ω ) ( x y sin n y π L L ) Structure de l'écoulement Vorticité à petite échelle (n x , n y)=(3,3) ,(3,5) Ecoulement à grande échelle (n x , n y )=(1,1) Mode du forçage (n x , n y)=(2,4) Interactions triadiques Etat condensé pour un forçage stationnaire Gallet and Young, 2013 29 I. 2d turbulence Dynamique de l'état condensé Renversements entre deux états symétriques Renversements erratiques entre les deux sens de rotation. 30 I. 2d turbulence Dynamique de l'état condensé Fréquence des renversements F r= Nr Tf −1 Décroissance exponentielle de la fréquence F r =τ c C exp(−α Rh) avec τ−1 c =√ f / L Distribution des temps entre renversements P( τ renv )=C exp(−τ renv / τ 0 ) 31 I. 2d turbulence Dynamique de l'état condensé Dynamique des renversements Rh=38 Rh=48 Concentration des trajectoires lorsque Rh augmente 32 I. 2d turbulence Dynamique de l'état condensé Dynamique de basse dimension? À Rh grand, concentration des trajectoires et simplification des renversements. Structure de l'état condensé indique une dynamique de basse dimension. L'intermittence de crise. Collision entre deux attracteurs chaotiques. Loin du seuil de collision, renversements complexes. Distribution exponentielle des temps entre renversements. Trajectoires complexes Trajectoires simples RhS Pas de renversements Rh Attracteurs entremêlés Collision 33 I. 2d turbulence Conclusion Comment déterminer et quantifier l'émergence des structures aux grandes échelles ? Quelles sont la dynamique temporelle et la signature fréquentielle de ces structures ? turbulence Rh 30 12 turbulence avec Structures grandes échelles Régime condensé 34 Conclusion Transition Dynamique temporelle turbulence Rh 30 12 turbulence avec structures grandes échelles Régime condensé 35 I. 2d turbulence Conclusion Turbulence avec structures grandes échelles 12< Rh<30 Distributions non gaussiennes. Emergence d'une amplitude préférentielle de la circulation Spectre en 1/f : E ( f )∝ f Distribution P( τ)∝ τβ −α Relation entre les exposants α ,β : α+β=3 Etat condensé Rh>30 Emergence d'une structure de vorticité particulière. Interactions entre l'écoulement à grande échelle et le forçage. Renversements de la circulation . Fréquence des renversements décroit avec Rh. Simplification des renversements à haut Rh. 36 I. 2d turbulence Perspectives Turbulence avec structures grandes échelles 12< Rh<30 Comprendre la transition à Rh=12 : origine de la décomposition en deux gaussiennes ? Piste : bruit dans forme normale / processus stochastique. Origine de la distribution en loi de puissance : P( τ)∝ τ−β ? Piste : analyser la stabilité des structures à grande échelles. Etendre l'approche à d'autres systèmes comportant du bruit en 1/f. Piste: écoulement von Karman Etat condensé Rh>30 Origine de la structure préférentielle de vorticité : point fixe, cycle limite.. ? Piste: outil numérique : capture cycle instable (Chandler and Kerswell, 2013). Etudier la dynamique des renversements à Rh grand. Piste: adapter le montage pour injecter des courants plus importants. 37 I. 2d turbulence Merci de votre attention 38 I. 2d turbulence 39 VI. Models Propriétés spectrales du régime turbulent Arguments qualitatifs u(t)=±1 Signal 23 avec des durées de séjour dans chaque polarité, distribuées par 1 P ~− t u(t) −1 Stratégie: calcul du spectre à partir de la fonction d'auto-corrélation (Wiener-Khintchine) 1 ∫ u(T −t )u (T ) dT Tf Fonction d'auto-corrélation : C (t )= Wiener-Khintchine E ( f )=∫ C (t )exp(i 2 π f t )dt 40 VI. Models Propriétés spectrales du régime turbulent Calcul de la fonction d'auto-corrélation C (t )= 1 ∫ u(T−t )u (T )dT Tf 1 −t u t −1 L'auto-corrélation est dominée par la contribution des phases de durée 1 T C (t )≈ ∫t ( τ−t )〈 n〉 P ( τ)d τ Tf f contribution u T −t uT =±1 u T −t u T =1 t avec Nombre de phases de durée τ>t Tf 〈 n〉= 〈τ〉 [ τ , τ+d τ] 41 VI. Models Propriétés spectrales du régime turbulent Calcul de la fonction d'auto-corrélation C (t )≈ 1 T ( τ−t )〈n 〉 P ( τ) d τ ∫ t Tf f P ( τ)=C τ−β 2<β<3 Application T C (t)∝∫t τ−β+1 d τ f ainsi E ( f )∝∫ t −β+2 e i 2 π f t d t Finalement E ( f )∝ f −α C (t )∝t−β+2 en posant u= ft avec E ( f )∝ f β−3∫ u−β+2 e i 2 π u d u α+β=3 42 I. 2d turbulence Dynamique de l'état condensé Espace des phases (U L ,U S ) US UL La vitesse moyenne entre le centre et la moitié de la cellule U S 43 I. 2d turbulence Dynamique de l'état condensé Espace des phases (U L ,U S ) Rh=38 Rh=48 Renversements chaotiques passant proche de l'origine Renversements déterministes 44 I. 2d turbulence Propriétés statistiques du régime turbulent La grandeur U M indique une bifurcation : U M ∝( Rh−Rh c )1/ 4 Rhc =12 2 La variance σ varie faiblement 45 I. 2d turbulence Propriétés statistiques du régime turbulent 4 K= 2 2 U M +6 σ U M +3 σ 4 U 4M +2 σ 2 U 2M +σ4 46 47 48
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