Hauptsatz über konforme Abbildungen

Hauptsatz u¨ber konforme Abbildungen
Jedes einfach zusammenh¨angende, echte Teilgebiet der komplexen Ebene
kann durch eine konforme Abbildung f auf die Einheitskreisscheibe
abgebildet werden.
Hauptsatz u
¨ber konforme Abbildungen
1-1
Hauptsatz u¨ber konforme Abbildungen
Jedes einfach zusammenh¨angende, echte Teilgebiet der komplexen Ebene
kann durch eine konforme Abbildung f auf die Einheitskreisscheibe
abgebildet werden.
F¨
ur einen beliebigen Punkt z0 ∈ D kann die Abbildung durch die
Bedingungen
f (z0 ) = 0, f (z0 ) > 0
eindeutig festgelegt werden.
Hauptsatz u
¨ber konforme Abbildungen
1-2
Beispiel:
konforme Abbildung des Halbkreises
D : |z| < 1, Re z > 0
auf das Innere des Einheitskreises K : |w | < 1
Hauptsatz u
¨ber konforme Abbildungen
2-1
Beispiel:
konforme Abbildung des Halbkreises
D : |z| < 1, Re z > 0
auf das Innere des Einheitskreises K : |w | < 1
Konstruktion mit mehreren Teilabbildungen
Hauptsatz u
¨ber konforme Abbildungen
2-2
Beispiel:
konforme Abbildung des Halbkreises
D : |z| < 1, Re z > 0
auf das Innere des Einheitskreises K : |w | < 1
Konstruktion mit mehreren Teilabbildungen
(i) M¨obius-Transformation
z +i
ξ=
iz + 1
Hauptsatz u
¨ber konforme Abbildungen
2-3
Beispiel:
konforme Abbildung des Halbkreises
D : |z| < 1, Re z > 0
auf das Innere des Einheitskreises K : |w | < 1
Konstruktion mit mehreren Teilabbildungen
(i) M¨obius-Transformation
z +i
ξ=
iz + 1
Einheitskreis (|z| = 1) → Gerade g , da Pol bei i
z = ξ = 1 Fixpunkt, imagin¨are Achse invariant, z = −i ↔ ξ = 0 =⇒
g = R und
∂D → Rand des ersten Quadranten Q
Hauptsatz u
¨ber konforme Abbildungen
2-4
Beispiel:
konforme Abbildung des Halbkreises
D : |z| < 1, Re z > 0
auf das Innere des Einheitskreises K : |w | < 1
Konstruktion mit mehreren Teilabbildungen
(i) M¨obius-Transformation
z +i
ξ=
iz + 1
Einheitskreis (|z| = 1) → Gerade g , da Pol bei i
z = ξ = 1 Fixpunkt, imagin¨are Achse invariant, z = −i ↔ ξ = 0 =⇒
g = R und
∂D → Rand des ersten Quadranten Q
(ii) Quadrieren:
η = ξ2
erster Quadrant → obere Halbebene H
Hauptsatz u
¨ber konforme Abbildungen
2-5
(iii) M¨obius-Transformation
w=
H →K
i−η
i+η
(0, 1, ∞ → 1, i, −1)
Hauptsatz u
¨ber konforme Abbildungen
2-6
(iii) M¨obius-Transformation
w=
H →K
i−η
i+η
(0, 1, ∞ → 1, i, −1)
Gesamtabbildung
i−
w=
i+
z+i
iz+1
z+i
iz+1
2
2
= ··· =
−i(z 2 + 2z − 1)
z 2 − 2z − 1
Hauptsatz u
¨ber konforme Abbildungen
2-7

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