Equations de WILSON et MANEY

Equations de
WILSON et MANEY
1- Introduction:
1.1- Hypothèses:
♦barres droites à inertie constante
♦seul M est considéré
♦petits déplacements.
⇒ On peut donc utiliser les formules
de BRESSE simplifiées.
1.2 - Problèmes étudiés:
Structures à barres droites encastrées ou
articulées entre elles.
2 - Equations de WILSON ET MANEY:
2.1 - Principe:
On utilise le principe de superposition.
Etat réel
=
- chargement réel
Effet de la
charge réelle.
- encastrement parfait
wA=0 wB=0 v=0
+
- chargement nul
Effet de wA.
- wA imposé (réel)
wA≠0
+
Effet de wB.
- chargement nul
- wB imposé (réel)
wB≠0
+
Effet de
v= vB - vA
- chargement nul
- v imposé (réel)
wA=0 wB=0 v≠0
2.2 - Notations:
♦état déformé. (barre réelle)
• MAB = Moment du nœud A sur la barre AB
•MBA = Moment du nœud B sur la barre AB
•RAB = Action du nœud A sur la barre AB
•RBA = Action du nœud B sur la barre AB
♦
barre bi-encastrée. (isolée du reste de la structure)
Même poutre, charge réelle mais encastrement
parfait aux extrémités.
M : Moment d ’encastrement parfait
2.3 - Equations:
Objectif:
exprimer MAB, RAB, MBA et RBA
en fonction de wA, wB et v.
2.3.1 - 1er cas simple:
Encastrée en A
avec les autres
barres
Articulée en B
avec les autres
barres
Etat n:
M AB1 = M AB
RAB etRBA
Suivant le chargement extérieur
⇒ formulaire
Etat o:
Rotation imposée à gauche.
♣ pas de charge
3EI
M AB2 =
.wA
♣ rotation wA imposée : valeur réelle
l
3EI
♣ vB = 0
RAB2 = 2 .wA
l
Formules de BRESSE
3EI
RBA2 = − 2 .wA
l
Etat p:
Rotation imposée à droite.
Sans objet
car il y a une articulation à droite
Etat q:
Déplacement vertical.
3
RBA4 l
Fl
v= f =
=
3EI
3EI
3
Ö
RBA4
RAB4
3EI
= 3 .v
l
3EI
= − 3 .v
l
M AB4 = − RBA4 .l
M AB4
3EI
= − 2 .v
l
Au total:
3EI
M AB =
l
M BA = 0
v⎤
⎡
−
M
w
+
A
AB
⎢⎣
⎥
l⎦
v⎤
⎡
RAB
⎢ wA − l ⎥ + RAB
⎣
⎦
v⎤
3EI ⎡
RBA = 2 ⎢− wA + ⎥ + RBA
l ⎣
l⎦
3EI
= 2
l
2.3.2 - 2ème cas simple:
Articulée en A
avec les autres
barres
Encastrée en B
avec les autres
barres
3EI
M BA =
l
M AB = 0
v⎤
⎡
⎢ wB − l ⎥ + M BA
⎣
⎦
v⎤
⎡
−
RAB
w
R
+
B
AB
⎢⎣
⎥
l⎦
v⎤
3EI ⎡
RBA = 2 ⎢− wB + ⎥ + RBA
l ⎣
l⎦
3EI
= 2
l
2.3.3 - Cas d’une barre bi-encastrée:
Encastrée en A
avec les autres
barres
Encastrée en B
avec les autres
barres
Etat n:
RAB , RBA , M AB , M BA
cf formulaires
Etat o:
Rotation imposée à gauche.
- pas de charge
- rotation wA imposée à
sa valeur réelle.
wB=0 ; vB=0
Formules de BRESSE
Ö
2 EI
.wA
M BA2 =
l
4 EI
.wA
M AB2 =
l
6 EI
RAB2 = 2 .wA = − RBA2
l
Etat p:
Rotation imposée à droite.
- pas de charge
- rotation wB imposée à
sa valeur réelle
wA=0 ; vA=0
Formules de BRESSE
Ö
2 EI
M AB3 =
.wB
l
4 EI
M BA3 =
.wB
l
6 EI
RAB3 = 2 .wB = − RBA3
l
Etat q:
Déplacement vertical.
- pas de charge
- wA=0
- wB=0
v=vréel , déplacement relatif
de B/A
Formules de BRESSE
6 EI
M AB4 = M BA4 = − 2 .v
l
Ö
12 EI
RAB4 = − RBA4 = − 3 .v
l
On ajoute tout:
M AB
3v ⎤
2 EI ⎡
=
.⎢2 wA + wB − ⎥ + M AB
l ⎣
l ⎦
M BA
2 EI ⎡
3v ⎤
.⎢ wA + 2 wB − ⎥ + M BA
=
l ⎣
l ⎦
RAB
6 EI ⎡
2v ⎤
M AB + M BA
= 2 .⎢ wA + wB − ⎥ + RAB =
+ RAB
l ⎣
l ⎦
l
RBA
6 EI ⎡
2v ⎤
M AB + M BA
) + RBA
= − 2 .⎢ wA + wB − ⎥ + RBA = −(
l ⎣
l ⎦
l
That ’s all !!

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