Anno Accademico 2011/12 GEOMETRIA COMPUTAZIONALE per la Laurea Magistrale in Matematica Maurizio Candilera Gli argomenti del corso sono i seguenti: Richiami di geometria dello spazio affine, calcolo baricentrico e trasformazioni affini. Spazio metrico euclideo, classificazione delle isometrie e lo ro rappresentazione matriciale. Quaternioni di Hamilton e loro rappresentazione in M2 (C). SU2 ed il gruppo dei quaternioni unitari, sua rappresentazione tramite matrici ortogonali speciali. Cenni all’esponenziale. Spherical linear interpolation di quaternioni unitari e confronto con l’interpolazione lineare di matrici di rotazione nello spazio euclideo. Richiami sulle coordinate omogenee e le trasformazioni proiettive. Proiezioni centrali con applicazioni alla grafica. Realizzazione della visual pipeline come composizione di matrici. Curve di B´ezier. Polinomi di Bernstein e loro propriet`a. Curve di B´ezier di secondo grado come archi di parabole nel piano affine. Propriet` a fondamentali delle curve di B´ezier intere e loro trasformazione tramite affinit` a dello spazio. Poligono di controllo delle curve di B´ezier e aggiunzione di punti. Deformazione di curve di B´ezier per interpolazione lineare dei vertici del poligono di controllo. Algoritmo di de Casteljau e sue applicazioni al rendering delle curve di B´ezier. Curve di B´ezier razionali e loro comportamento per trasformazioni proiettive. Variazione dei pesi. Curve di B´ezier come curve che ammettono una parametrizzazione polinomiale. B-spline interi. Nodi e propriet` a dei coefficienti Nij (t) e del poligono di controllo. Positivit`a, supporto e partizione dell’unit` a. Derivate dei coefficienti di spline. B-spline, aperti, chiusi, uniformi e periodici. Algoritmo di de Boor e algoritmo di inserimento di nodi (Boehm). B-spline come curve che ammettono localmente una parametrizzazione polinomiale. Deformazione di B-spline interi. B-spline razionali e NURBS (cenni). Richiami sulle superficie immerse in R3 . Superficie di B´ezier e tramite B-spline. Campi tangenti e campi normali per una superficie e loro realizzazione grafica per superficie di B´ezier o di spline. Skinning e costruzione di particolari tipi di superficie (Gordon-Coons). Cenni di Algebra Computazionale. Moduli e anelli noetheriani. Ideali e ideali monomiali nell’anello dei polinomi. Lemma di Dickson. Ordinamento monomiale (Term Ordering) e buon-ordinamento sui monomi di un anello di polinomi. Principali esempi. Algoritmo di divisione e definizione di base di Gr¨obner di un ideale. Criterio di Buchberger e determinazioni di basi di Gr¨obner. Sizigie. Forma normale di un polinomio rispetto ad un ideale. Sistemi di equazioni polinomiali ed applicazioni delle basi di Gr¨obner alla loro risoluzione. Nullstellensatz di Hilbert ed equivalenza di alcune sue forme. Trucco di Rabinowitsch. Ordinamenti di eliminazione. Qualche esempio di applicazione della tecnica di eliminazione (equazioni di uno scroll). Durante il corso alcune lezioni sono state dedicate ad una sommaria introduzione all’uso di Metapost ed a cenni sull’utilizzo di CoCoA. Testi Consigliati: D. Marsh: Applied Geometry for computer graphics and CAD. 2nd edition, Springer 2005 J. D Hobby: A User’s Manual for Metapost (www.tug.org/docs/metapost/mpman.pdf) Andr´e Heck: Learning Metapost by doing (staff.science.uva.nl/∼heck/Courses/mptut.pdf) M. Kreuzer, L. Robbiano: Computational Commutative Algebra I Springer 2005 1