Falter, Technische Mechanik I Forts. zu 3.1: Seileckverfahren: Gleichgewichtsysteme Satz 8: Ein ebenes Kräftesystem bildet nur dann ein Gleichgewichtssystem, wenn sich bei Anwendung des Seileck-Verfahrens das Krafteck und das Seileck schließen. Beispiel: Kräftesystem gegeben: gesucht: uv uv uv Fi , A, B uv uv uv Fi , Angriffspunkt von A (a) und Wirkungslinie von B uv uv A und B als Gleichgewichtssystem Lageplan und Seileck Schritte: Kräfteplan 1. Kräfteplan, Polstrahlen 0, 1, 2, 3 2. Seileck erstellen: Seilgeraden 0' von (a) ausgehend, uv 1', 2', 3' Schnittpunkt von 3' mit Wirkungslinie von B : verbinden mit (a) = Schlußlinie s' 3. s' als Polstrahl in den Kräfteplan übertragen = s, uv uv Schnittpunkt mit Wirkungslinie von B ergibt Kraft B 4. Bedingung „Krafteck (und Seileck) muß sich schließen“ uv ergibt Kraft A 10/09 Falter, Technische Mechanik I Forts. zu 3.1: Seileckverfahren: Gleichgewichtsysteme Erläuterung zu Satz 8: Kein Gleichgewicht vorhanden: 1. Wenn das Krafteck nicht geschlossen ist (s.a. zentrale Kräftesysteme) 2. oder wenn das Seileck nicht geschlossen ist: uuv z.B.: F4 im obigen Lageplan parallel verschieben: → Krafteck bleibt geschlossen, das Seileck jedoch nicht! (→ ein „Kräftepaar“ mit dem Abstand e) 10/09 Falter, Technische Mechanik I 3.1 - b) Moment einer Kraft bzw. eines Kräftepaares b1) Moment einer Kraft in Bezug auf eine Achse v Hebelarm a = Abstand der Wirkungslinie von F von der Drehachse 1-1 v v Definition: Das Moment einer Kraft F in Bezug auf eine zu F senkrechte Achse 1 ist dem Betrage nach: Die Drehrichtung eines Momentes wird durch einen, der Achse zugeordneten uv Richtungsvektor e1 im Sinne einer Rechtsschraube gekennzeichnet (Rechte-Hand- oder Korkenzieherregel) vektorielle Schreibweise: 10.09 - Falter, Technische Mechanik I - - v Ist die Wirkungslinie der Kraft F nicht senkrecht zur Achse 1, v uuuuv v so ist bei der Ermittlung von M (1) nur die Komponente F n der Kraft F zu berücksichtigen, die senkrecht zu Achse 1 wirkt. Seitenansicht Ansicht A-A Momente können wie Kräfte vektoriell addiert werden. Satz 9: 10.09 Das resultierende Moment eines zentralen Kräftesystems in Bezug auf eine Achse 1 ist gleich dem Moment der resultierenden Kraft dieses Systems: Falter, Technische Mechanik I 3.1 Allgemeine ebene Kräftesysteme Ermittlung von Kraftvektor- und Momentenvektorsummen a) Grafische Lösung: Lageplan (+ Seileck) M: ............................ Kräfteplan (+ Polstrahlen) M: ......................................... b) Analytische Lösung: Aufgabenstellung: i Fi αi xi yi -- -- -- -- Einheit 1 2 3 4 5 6 7 8 Σ F = Fx2 + Fy2 = α = arctan 11.09 Fy Fx = Fxi = Fi ⋅ cos αi Fyi = Fi ⋅ sin αi Mz = Fyi ⋅ xi - Fxi ⋅ yi Falter, Technische Mechanik I 3.3 Zusammenfassung - ebene Kräftesysteme Einzelkräfte in der Ebene analytische Lösungsmethoden graphische Lösungsmethoden Zentrale Kräftesysteme 11/09 Allgemeine Kräftesysteme Definition 1 Schnittpunkt der Wirkungslinien > 1 Schnittpunkte der Wirkungslinien und parallele Wirkungslinien Resultierende (= Reduktion eines Kräftesystems) Kräfteparallelogramm und Krafteck Kräfteparallelogramm und Seileckverfahren Reduktion auf Einzelkraft Einzelkraft und / oder Kräftepaar (Moment) Zerlegung in (eindeutige) 2 Richtungen 3 Richtungen (Culmann’sche Hilfsgerade) Gleichgewicht Krafteck schließt sich Krafteck und Seileck schließen sich Resultierende Fx = Σ Fi,x Fy = Σ Fi,y Fx = Σ Fi,x Fy = Σ Fi,y M(0) = Mz = Σ (Fi,y ⋅xi - Fi,x ⋅yi) Gleichgewicht Σ Fi,x = 0 Σ Fi,y = 0 Σ Fi,x = 0 Σ F*i,1 = 0 Σ M(A) = 0 Σ Fi,y = 0 Σ M(A)= 0 Σ M(B) = 0 Σ M(0) = 0 Σ M(B)= 0 Σ M(C) = 0 AB nicht r ⊥ auf e1 A, B, C dürfen nicht auf einer Geraden liegen