Approfondimenti sulle variabili aleatorie

Perch`
e le v.a. che hanno una densit`
a di probabilit`
a si dicono
assolutamente continue?
Def. 1 Assegnata una v.a. X con funzione di ripartizione FX (x), essa si dice
assolutamente continua se esiste una funzione f (x) definita su R e nonnegativa, tale
che
Z x
f (t) dt.
(1)
FX (x) =
−∞
In tal caso f (t) si dice densit`a di probabilit`
a di X. Ci chiediamo se la terminologia
assolutamente continua per X ha relazioni con la propriet`
a di assoluta continuit`
a
di una funzione.
Def. 2 Una funzione f : [a, b] → R si dice assolutamente continua su [a, b] se per
ogni ǫ > 0 esiste un δ > 0 tale che qualsiasi sia k e comunque scelti k sottointervalli
[ai , bi ] ⊂ [a, b], che non si sovrappongono, risulta
k
X
|f (bi ) − f (ai )| < ǫ
purch`e sia
k
X
(bi − ai ) < δ.
i=1
i=1
In sostanza una funzione assolutamente continua non ha grosse variazioni su insiemi
di misura nulla (ossia mappa insiemi di misura nulla in insiemi di misura nulla).
Proveremo che le variabili aleatorie assolutamente continue hanno funzioni di ripartizione assolutamente continue, da qui la terminologia.
Il problema non `e nella forma (1) della funzione di ripartizione, poich`e se f `e integrabile, FX (x) `e continua. E una funzione assolutamente continua `e continua,
ma non vale il viceversa (ad esempio funzione di Cantor). Pertanto se ci limitiamo
alla sola funzione di ripartizione, la relazione con l’assoluta continuit`
a non sembra
evidente. E’ invece l’essere la funzione di ripartizione una primitiva di f (x) la questione centrale.
Vediamo pi`
u in dettaglio. Funzioni di tipo (1) sono integrali indefiniti di f.
Def. 3 Una funzione F `e un integrale indefinito di un’altra funzione f su [a, b] se
Z x
f (t) dt
per a ≤ x ≤ b.
(2)
F (x) − F (a) =
a
E’ interessante capire quando funzioni di tipo (1) sono primitive di f.
Def. 4 Una funzione F `e una primitiva di f se
(3)
F ′ (x) = f (x)
per a ≤ x ≤ b.
In accordo al teorema fondamentale del calcolo integrale i due concetti sono equivalenti nel caso di f continua, ovvero si pu`
o dimostrare il seguente teorema:
Teorema 1. Sia f funzione continua su [a, b] :
i: un integrale indefinito di f `e una primitiva di f - ossia se (2) vale ∀x ∈ [a, b]
allora (3) vale.
ii: una primitiva di f `e un integrale indefinito di f - ossia se (3) vale ∀x ∈ [a, b]
allora (2) vale.
1
2
Se l’ipotesi di continuit`
a per f viene indebolita, in quali casi il
Teorema 1 continua a valere?
(Int. ind. ⇒ primitiva) Ad esempio sia m ∈ (a, b) e
0 se x < m
f (x) =
1 se x ≥ m.
Rx
Allora f `e integrabile (ma non continua) e la funzione F (x) = a f (t) dt, integrale
indefinito di f, `e ben definita ma non ammette derivata in m. Quindi richiedere
che l’equazione (3) valga ∀x ∈ [a, b] `e eccessivo. Si pu`
o chiedere che l’equazione (3)
valga ∀x ∈ [a, b] eccetto un insieme di misura nulla rispetto alla misura di Lebesgue
(ossia ammette derivata quasi ovunque). Ed infatti vale il seguente teorema.
Teorema 2. Sia f funzione nonnegativa e integrabile su R. Se
Z x
f (t) dt
F (x) =
−∞
allora
F ′ (x) = f (x)
quasi ovunque.
Pi`
u in generale, si pu`
o dimostrare che ogni funzione F non decrescente ha
derivata quasi ovunque nonnegativa e per ogni a e b
Z b
F ′ (t) dt ≤ F (b) − F (a).
a
Quando F `e di tipo (1), con f funzione nonnegativa e integrabile, allora F `e non
decrescente, sicch`e ammette derivata quasi ovunque, e in pi`
u F ′ (x) = f (x) quasi
ovunque.
Vediamo l’altra implicazione.
(Primitiva ⇒ Int. ind.) Se F non `e continua, anche quando F `e primitiva di f (x)
quasi ovunque, non `e detto che F possa essere integrale indefinito di f (x). Infatti,
sia f (x) = 0, ∀x ∈ (a, b). Scelto m ∈ (a, b) e definita
0 se x < m
F (x) =
1 se x ≥ m
l’equazione (3) vale quasi ovunque, ma ovviamente F non `e un integrale indefinito
di f (ad esempio per x ≥ m).
La questione `e: se F `e continua, ammette derivata f (x) quasi ovunque, che `e integrabile, si pu`
o dire che l’integrazione di f (x) restituisce la funzione F ? Ossia che
F `e un integrale indefinito di f ? No. E la funzione di Cantor `e un controesempio,
poich`e `e non decrescente (e quindi possiede derivata quasi ovunque), ma essendo
singolare, non `e di tipo (1).
Perch`e l’integrazione di F ′ resistuisca F c’`e bisogno che F sia assolutamente
continua. In tal caso, per`
o bisogna osservare che ogni funzione assolutamente continua, ammette una rappresentazione di tipo (1) con f (t) = F ′ (t) quasi ovunque.
Infatti, per queste funzioni si pu`
o dimostrare che: per ogni ǫ > 0 esiste un δ > 0
tale che
Z
f (t) dt < ǫ
se m(A) < δ
A
3
dove m(A) indica la misura di Lebesgue di A. Questa propriet`
a equivale a richiedere
che F sia funzione assolutamente continua, ossia che per ogni ǫ > 0 esiste un δ > 0
tale che per ogni collezione finita di intervalli [ai , bi ] per i = 1, 2, . . . , k che non si
sovrappongono
(4)
k
X
|F (bi ) − F (ai )| < ǫ
se
k
X
(bi − ai ) < δ.
i=1
i=1
Allora una funzione F della forma (1) con f integrabile `e assolutamente continua.
E questo spiega perch`e le v.a. che posseggono una funzione densit`a di probabilit`
a
sono dette assolutamente continue.
Poich`e anche tra le misure vi `e la nozione di assoluta continuit`
a, ci si pu`
o chiedere
quale relazione ci sia tra l’assoluta continuit`
a delle funzioni di forma (1) e quelle
delle misure. Intanto richiamiamo la seguente defizione.
Def. 5 Assegnate due misure µ e ν sulla stessa σ-algebra F, la misura µ si dice
assolutamente continua rispetto a ν se µ(A) = 0 per ogni insieme A per il quale
ν(A) = 0. In tal caso si scrive µ << ν.
La definizione 3 equivale a richiedere che per ogni ǫ > 0 esiste un δ > 0 tale che
µ(E) < ǫ per ogni E ∈ F tale che ν(E) < δ. Questa condizione ricorda la propriet`
a
di assoluta continuit`
a data in (4). E difatti se come misura ν scegliamo quella di
Lebesgue e come misura µ scegliamo
Z b
f (t)d t
(5)
µ(a, b] = F (b) − F (a) =
a
con F della forma (1), e quindi assolutamente continua, allora µ `e assolutamente
continua rispetto a m. Anzi l’asserto si pu`
o completare nel seguente teorema.
Teorema 3. Sia F definita in (1) e µ definita in (5). Allora F `e assolutamente
continua se e solo se µ << m.
Quando µ << ν allora esiste una funzione f misurabile e a valori in [0, ∞) (detta
densit`a rispetto a ν) tale che
Z
µ(A) =
f dν.
A
Tale funzione coincide con la derivata di Radon-Nikodym di µ rispetto a ν. Ovviamente per v.a. assolutamente continue, tale derivata coincide proprio con la funzione densit`a di probabilit`
a.
References
[1] Billingsley, P. (1995) Probability and Measure, Wiley Series.

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