Simulation numérique avancée Franck Jourdan – LMGC [email protected] Franck Nicoud – I3M [email protected] Simulation numérique avancée 2. Principe des volumes finis A la fin du chapitre, l’étudiant doit être capable de: 1. Définir la méthode des volumes finis et faire la distinction avec les autres méthodes 2. Faire la distinction entre les inconnues au sens volumes finis et au sens différences finis 3. Définir les flux de convection et de diffusion pour une cellule générique dans un maillage 1D 4. Etablir l’ordre de précision des estimations centrées pour les flux de convection et de diffusion Volumes finis : principe général • Bien adaptés à des problèmes conservatifs du type ( ) r ∂f + div F ( f ) = 0 ∂t • On intègre l’équation sur chaque cellule du maillage et on utilise le théorème de la divergence r r f i n +1 − f i n Vi = − ∑ Fk ⋅ nk dS k ∆t faces k de Vi • Les inconnues sont les valeurs moyennes de f sur chaque cellules à l’instant n+1, soit f i n +1 Simulation numérique avancée - MI4 3 Volumes finis: principe général • Les flux sur les faces de Vi sont calculés à partir des valeurs de f dans les cellules voisines r n3 r n1 Vi r r f i n +1 − f i n Vi = − ∑ Fk ⋅ nk dS k ∆t faces k de Vi r n2 Simulation numérique avancée - MI4 4 Volumes finis: principe général Pour commencer, considérons le cas simple d’une situation 1D Simulation numérique avancée - MI4 5 Convection-diffusion 1D • En 1D, l’équation de convection diffusion devient: • • + = + : transporte la quantité à la vitesse u (u est supposée connue pour l’instant). C’est le terme de convection. = : diffuse la quantité avec le coefficient . C’est le terme de diffusion. • 95 % de la mécanique des fluides se résume par la compétition entre les termes convectifs et les termes diffusifs … Il s’agit donc d’un modèle très représentatif (mais pas complet !) Simulation numérique avancée - MI4 6 Effet du nombre de Reynolds • Effet de la diffusion Re = Re = +∞ Re = 200 Re = 20 Re = 2 u×a α Simulation numérique avancée - MI4 a : taille caractéristique de la perturbation initiale 7 Maillage – Volume de contrôle Fi − 2 F0 f0 fi−2 Cellule • • • • X i −1 Fi −1 Xi xi −1 xi f i −1 Fi fi X i +1 xi +1 Fi +1 FN x f i +1 fN = − = − Les 1 ≤ ≤ sont les N cellules du maillage, Les 0 ≤ ≤ sont les N+1 faces des N cellules; la cellule est délimitée par les faces et ; on note l’abscisse de , Les 1 ≤ ≤ sont les N centres des N cellules du maillage; on note l’abscisse de , On note le volume de la maille ; sa valeur est égale à : = − = Simulation numérique avancée - MI4 8 Intégration • Dans une méthode aux volumes finis, on commence par intégrer l’équation de transport sur chaque volume de contrôle. En intégrant + = • sur le volume de contrôle associé au point on obtient: + ! − !"# = − ! • Avec la notation: = $! % ! !"# !"# & Simulation numérique avancée - MI4 9 Quelques remarques • Le terme de dérivée temporelle peut être discrétisée par une des méthodes classiques (Euler explicite ou implicite, Runge-Kutta, Adams-Bashford, Crank-Nicolson, …) • Le processus d’intégration fait apparaitre la nouvelle inconnue = % ! & représente la moyenne de sur le volume de $! !"# contrôle associé au point . • En volumes finis, l’inconnue n’est pas la valeur de au point (grosse différence avec les différences et éléments finis) • Pour poursuivre, il faut être capable de calculer les flux de sur les faces du volume d’intégration associé au point Simulation numérique avancée - MI4 10 Estimation des flux • C’est la manière dont on calcule ces flux qui définit la méthode au volumes finis utilisée, ses qualités, ses propriétés, ses défauts … • D’un point de vue physique et mathématique les termes de diffusion et de convection ne se comportent pas de la même manière. • Il en est de même sur le plan numérique • Remarque: il suffit de savoir comment estimer le flux sur la face générique ; le calcul du flux sur se fait alors par simple changement d’indice. Simulation numérique avancée - MI4 11 Estimation du flux de diffusion • On cherche à estimer le flux suivant: ! • On suppose, sans trop perdre en généralité, que le coefficient de diffusion est constant F0 f0 Fi − 2 fi−2 X i −1 Fi −1 Xi xi −1 xi f i −1 Fi fi X i +1 xi +1 Fi +1 FN x f i +1 fN = − • La méthode la plus simple consiste à écrire simplement: ! − − ≈ ≈ Simulation numérique avancée - MI4 12 Estimation du flux de diffusion • On note ℎ la taille caractéristique des cellules: ℎ ≡ • On montre dans la suite que : 1. puisque la face n’est pas positionnée sur le milieu du segment , l’approximation ! − ≈ est d’ordre 1 en ℎ si le maillage n’est pas uniforme 2. Il en est de même pour l’approximation ! − ≈ Simulation numérique avancée - MI4 13 Ordre de l’estimation du flux • Développement de Taylor autour de et calcul de : = + − + + − !*# !*# 1 = - & = + ! − !*# • De même: ! 1 = - & = + !"# • Les termes en − ! , , − − 2 , − − 2 , , + + ℎ, + + ℎ, sont nuls même pour un maillage non uniforme car les sont les centres des cellules Simulation numérique avancée - MI4 14 Ordre de l’estimation du flux • Au final: = + + ℎ, et = + + ℎ, • Développement de Taylor autour de : = + ! , − + , ! − 2 , + + − / • En appliquant ce développement à = puis = , on obtient après quelques calculs: ! = !*# ! 0! + + ℎ car en général − • Par suite on a bien aussi: ! = 3 !*# 3! 0! Simulation numérique avancée - MI4 , ≠ − , ++ ℎ 15 Remarques • En raison du fait que l’inconnue numérique est la valeur moyenne de l’inconnue sur le volume de contrôle, il n’est pas courant de rencontrer des méthodes volumes finis d’ordre supérieur à 2 • Des corrections existent pour compenser l’écart d’ordre 2 entre valeur nodale et valeur moyenne de cellule; il est alors possible de monter en ordre • En raison du fait que les faces ne sont pas équidistantes des nœuds, l’estimation centrée du flux n’est formellement d’ordre 2 uniquement lorsque le maillage est uniforme • Beaucoup de simulations sont cependant faites sans ces corrections • Les simulations aux volumes finis sont de ce fait assez souvent sensibles à la qualité du maillage utilisé (maillages irréguliers à éviter). Simulation numérique avancée - MI4 16 Estimation du flux de convection • On cherche à estimer le flux suivant: F0 f0 Fi − 2 fi−2 X i −1 Fi −1 Xi xi −1 xi f i −1 ! Fi fi X i +1 xi +1 Fi +1 FN x f i +1 fN = − • De manière similaire au flux de diffusion, on envisage une approximation centrée de la forme: + ≈ ! • La face n’étant pas au centre du segment , cette approximation est précise au second ordre que pour les maillages uniformes Simulation numérique avancée - MI4 17 Un cas d’école … • On cherche à résoudre le problème suivant: + = 0 f i −1 xi • On cherche la solution stationnaire: fi x xi +1 = • Vitesse u constante, diffusivité constante f i +1 L • Les conditions limites sont 0 = 4 et 5 = 6 • On utilise les schémas de discrétisation précédents sur un maillage régulier de N cellules. La méthode est donc d’ordre 2. Simulation numérique avancée - MI4 18 Un cas d’école … • La solution stationnaire étant recherchée, on cherche à résoudre : = 0 f i −1 xi fi xi +1 x f i +1 L • Pour chaque cellule, la méthode aux volumes finis donne une relation entre les différentes inconnues • Au final on obtient un système linéaire de N équations et N inconnues • La résolution de ce système (méthode directe ou itérative) donne la solution du problème discret Simulation numérique avancée - MI4 19 Un cas d’école … • Les solutions numériques peuvent être comparées à la solution analytique : 9: / − 1 () = 4 + 6 − 4 9: 5/ − 1 Pour les conditions limites: 0 = 1 et 5 = 0, on considère les trois cas suivants: • Cas 1: = 0.1=, /> ; u = 0.1=/> ; L = 1= ; N = 5 • Cas 2: = 0.1=, /> ; u = 1.5=/> ; L = 1= ; N = 5 • Cas 3: = 0.1=, /> ; u = 1.5=/> ; L = 1= ; N = 20 Simulation numérique avancée - MI4 20 Un cas d’école … • Les solutions obtenues (symboles: analytique; ligne: numérique): Cas 1 Cas 2 Cas 3 • La solution est parfois très bonne, parfois très mauvaise … Il faut comprendre ! Simulation numérique avancée - MI4 21