sinfonia del infinito: destrezas e ingenio matemáticas

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La Sinfonía del Infinito, Destrezas Matemáticas
LA SINFONÍA DEL INFINITO, DESTREZAS MATEMÁTICAS
1. Tenemos tres bolsas, cada una contiene un número idéntico de monedas, aparentemente
iguales. Las monedas de dos bolsas pesan 10 gramos cada una, en la tercera bolsa las
monedas pesan 1 gramo más. ¿Mediante una sola pesada, cómo se podría averiguar cuál es
la bolsa de las monedas diferentes?.
Solución:
Se coge 1 moneda de la primera bolsa, 2 monedas de la segunda bolsa y 3 monedas de la
tercera bolsa.
Al pesar estas 6 monedas pueden ocurrir los siguientes casos:
Bolsa Diferente
Pesada
11  2 x10  3 x10  61 gramos
Bolsa Diferente
Pesada
10  2 x11  3 x10  62 gramos
Bolsa Diferente
Pesada
10  2 x10  3 x11  63 gramos
2. Ana pregunta por la mañana al profesor de matemáticas qué hora es, a lo que
éste, responde: "Si quieres saber la hora suma la mitad del tiempo que resta para
que acabe el día a la cuarta parte de lo que llevamos del día".
¿Qué hora es?
Solución:
24  x x
 x
2
4

2  24  x   x
2  24  x   x  4 x
48  5 x

4

x
x
48  2 x  x  4 x
48
 9,6 horas
5
9,6 horas  9 horas y 0,6 x 60 minutos  9 horas 36 minutos
Si la pregunta por la tarde, la hora sería: 2 x 9,6  19,2  19 horas 12 minutos
3. Partiendo del cuadrado rojo de la figura, se construye el cuadrado
verde prolongando dos de sus lados. A partir de estos dos cuadrados
(rojo y verde) se construye el cuadrado girado azul.
¿Cuál es el área del cuadrado girado azul?.
Solución:
El área del cuadrado azul es la suma del
área del cuadrado rojo y verde.
Es el método utilizado por los antiguos
matemáticos indios para fusionar cuadrados.
4. Si Laura aumenta la velocidad en 10 km/h gana una hora en su trayecto
en bicicleta. Por el contrario, si disminuye la velocidad en 10 km/h pierde
dos horas. ¿Cuál es la longitud del trayecto de Laura?.
Solución:
La velocidad v 
espacio e

tiempo
t

e  vt
Al aumentar la velocidad en 10 km/h: v  10 
e
t 1

e  (v  10)(t  1)
e  v t  v  10 t  10
 v  10 t  10

Si disminuye la velocidad en 10 km/h: v  10 
e  v t  2 v  10 t  20

 v  10 t  10
Teniendo 
2 v  10 t  20

e
t2
e  (v  10)(t  2)

2v  10 t  20
v  30 , t  4
El espacio recorrido por Laura es e  v t  30 km / h . 4 h  120 km
5. Celia dedica las mañanas de los sábados a remar por el río de su
pueblo. Tarda 2 horas en bajar el río y 3 horas para hacer el trayecto
de vuelta con el mismo ritmo.
¿Cuánto tiempo tardaría en recorrer la misma distancia remando al
mismo ritmo si el río no tuviera pendiente?.
Solución:
La velocidad v 
espacio e

tiempo
t

t
e
v
La velocidad con que realiza el trayecto de ida es v ida 
La velocidad del trayecto de vuelta es v vuelta 
e
2
e
3
Cuando Celia hace el trayecto de ida navega a favor de la corriente del río (c), y en el
trayecto de vuelta en contra de la corriente (c).
Si llamamos v = velocidad sin corriente del río. En el trayecto de ida lleva una velocidad
v  c , mientras que en el trayecto de vuelta la velocidad es v  c
con lo que se tiene: v ida  v  c 
e

v  c  2

v  c  e

3
2v 
e e

2 3

e
2
2v 
v vuelta  v  c 
5e
6

v
e
3
5e
12
El tiempo que tardará en recorrer la distancia de ida y vuela (2 e  e  e) remando al mismo
ritmo (v) , lo que sucede en el río sin pendiente, es:
t
2 e 2 e 24 e 24



 4,8 horas  4 horas 48 minutos
5e
v
5e
5
12
6. Miguel viaja en bicicleta a una velocidad constante. En determinado
momento observa que el mojón que se encuentra a su derecha tiene
dos dígitos. Una hora más tarde se vuelve a fijar en el mojón que
cruza, que también tiene dos dígitos, pero colocados en distinto orden.
Una hora después pasa por otro mojón que tiene las mismas cifras con
un cero en el medio. ¿Cuál es la velocidad de Miguel?.
Solución:
Primer mojón xy
Segundo mojón yx
Tercer mojón x0y
En orden:
xy  10 x  y
yx  10 y  x
x0y  100 x  y
Como Miguel lleva una velocidad constante, la distancia recorrida entre los mojones es la
misma, es decir: yx  xy  x0y  yx
Las distancias entre dos mojones yx  xy ó x0y  yx tiene que ser inferior a 100, por lo
que x  1 .
De otra parte, y  1 , pues de ser así los mojones xy  yx o el primer mojón no tendría dos
dígitos.
Los mojones en orden son: 1y  10  y
yx  xy  x0y  yx

y1  10 y  1
10 y  100  y
10 y  1  10  y   100  y   10 y  1
 18 y  108
En consecuencia, y  6
Los mojones que ha visto Miguel son 16
45


La velocidad que lleva por hora será 45 km/h
61
45


106
7. Un amigo pregunta a Pablo cuántos años tiene, a lo que contestó: Tengo tres veces los
años que tendré dentro de tres años, menos tres veces los años que tenía hace tres años.
¿Cuántos años tiene Pablo?
Solución:
Llamando a x = años de Pablo, se tiene: 3 (x  3)  3 (x  3)  x

x  18 años
8. Las distancias a las siguientes ciudades están expresadas en kilómetros.
BERLIN 200
PARIS 300
ROMA 400
AMSTERDAM 300
A qué distancia se encuentra MADRID
Solución:
Cada vocal vale 300 kilómetros y cada consonante 100 kilómetros
La distancia a MADRID es 100  300  100  100  300  100  200 kilómetros.
9. Con el perímetro de un círculo (longitud de una
circunferencia) de radio 3 cm se quiere formar un cuadrado.
¿Qué longitud tiene el lado del cuadrado?
Solución:
Longitud de la circunferencia: L  2  r  6  cm
Perímetro del cuadrado: P  4 l  6 

l
6
3
 cm   cm
4
2
10. ¿Qué número falta en la tabla?
Solución:
Comienza por el 6 en una secuencia de sumar 8 y restar 3
11. Si me subo con mi madre en una báscula pesamos 103 kg, y si me
subo con mi padre, 113 kg. Si mi padre y mi madre pesan juntos 126 kg,
¿cuántos kilos pesamos los tres juntos?
Solución:
 yo  madre
 yo
 padre


madre  padre

2 yo  2 madre  2 padre

 103
 113
 126

yo  madre  padre 
342
 171 kg
2
 342

12. Se desea saber el área que encierran las rectas: y  x  1, x  3 , x  2 y el eje OX
Solución:
El área solicitada es: S  2 u2 
9 2 13 2
u 
u
2
2
13. Al comprar unas deportivas nos hacen un 15% de descuento y así ahorramos 9 euros.
¿Cuántos euros hemos pagado por ellas?.
Solución:
15 % 100 %

9€
x€

x
9 . 100
 60 € costaban las zapatillas
15
Hemos pagado 60  9  51 euros
14. Qué número sigue a la secuencia y por qué
Solución:
La secuencia dada esta formada por los números: veinticuatro, treinta y uno, treinta y cuatro,
cuarenta y cinco, cincuenta y uno, cincuenta y dos. Números que contienen en su nombre las
cinco vocales. El número que sigue es el cincuenta y ocho.
La secuencia es (24, 31, 34, 45, 51, 52, 55, 58)
15. La agencia de viajes Fuenterrebollo durante la última semana ha
realizado 32 reservas para Tenerife, 26 para Segovia y 16 para Jaén.
¿Cuántas ha realizado para Madrid?
Solución:
TENERIFE
 SEGOVIA

Reservas 
 JAÉN
 MADRID
32
26
16
?

Vocal  2
Consonante  6

MADRID  28
16. El juego de ingenio apareció durante muchos años
en los periódicos del Reino Unido acompañando a un
anuncio de Mensa. ¿Puedes resolver el problema?
Solución:


 4 x n  28  n  7

 2n  2p  30  2p  30  14  16

p  c  m  n  20  c  m  5

2m  c  p  16  2m  c  8


p8
m3
c2
17. La figura muestra dos ruedas dentadas en una posición
inicial. La rueda grande tiene 23 dientes y gira en contra de los
agujas del reloj, mientras que la rueda pequeña gira a favor de
las agujas del reloj.
¿Cuántas veces debe girar la rueda pequeña hasta que las dos
flechas vuelvan a coincidir?
Solución:
Como 23 es un número primo, la rueda pequeña girará 23 veces, mientras que la mayor lo
hará n veces, siendo n el número de dientes de la rueda pequeña.
18. Las tres circunferencias son iguales y tangentes. Sabiendo que el lado
del triángulo equilátero mide una unidad, ¿cuál es el radio de las
circunferencias?
Solución:
Sea 0 el centro de la circunferencia superior y T el punto
de tangencia con el triángulo.
OT  r
OC  2r
OM  5 r
CM  7 r

Aplicando el Teorema de Pitágoras al triángulo AMC :
CM  7 r 
3
2

r
3
u
14
19. En 1912 nacía en Inglaterra Alan Turing, uno de los
matemáticos más importantes y más injustamente tratados del
siglo XX. Su aportación más relevante fue la de descifrar durante
la II Guerra Mundial los códigos de la máquina enigma,
Emula a Turing y descubre que valor corresponde a cada letra en
esta suma con otro famoso nombre.
A R Q
+
U
I
M
E D E S
Solución:
Es el típico ejercicio por ensayo-error, hay más de una solución:
R8
R8
R8
A4
A4
A4
Q7
Q7
Q9
U5
U5
U5
I3
I2
I2
4 8 7
+
5 3 2
1 0 1 9
M2
M6
M7
D0
D0
D0
E 1
E 1
E 1
4 8 9
4 8 7
+
5 2 6
1 0 1 3
+
5 2 7
1 0 1 6
S9
S3
S6
Ana: Yo soy la mayor
Beatriz: Yo no soy la más joven ni la más vieja
Carolina: Yo no soy la más joven
Diana: Yo soy la más joven
Sólo una de las cuatro amigas dice la verdad.
¿Cuál es la más joven?. ¿Cuál es la mayor?.
20.
Solución:
Analizando las cuatro afirmaciones, el orden podría ser:
Ana < Carolina < Beatriz < Diana o Ana < Beatriz < Carolina < Diana
Beatriz no puede mentir ya que entonces sería la mayor (por tanto, Ana mentiría también) o
sería la pequeña (y mentiría Diana)
Carolina tampoco miente ya que entonces sería la más joven y mentiría con Diana
Si Diana mintiese y no fuera la más joven estaría en contradicción con Beatriz.
En consecuencia, Ana es la que miente: Carolina es la mayor y Diana la más joven.
21. Tres matemáticos que paseaban por la ciudad observaron que un
taxi infringía el reglamento, pero ninguno de ellos recordaba la matricula
de cuatro cifras. Pedro observa que las dos primeras cifras eran iguales,
Isabel se da cuenta que las dos últimas cifras también eran iguales.
Y, por último, Santiago asegura que todo número de cuatro cifras era un
cuadrado exacto.
¿Puedes determinar el número de la matricula del taxi?
Solución:
La matricula del taxi es de la forma a a b b
1000 a  100 a  10 b  b  1100 a  11b  11(100 a  b)
El número es divisible por 11, y siendo un cuadro exacto, también es divisible por 112 .
Al aplicar los criterios de divisibilidad, se deduce que a  b es divisible por 11, por lo que
cada una de las cifras 'a' y 'b' es menor que 10.
La última cifra 'b' que es un cuadrado exacto, puede tomar los valores 0, 1, 4, 5, 6, 9
La cifra a  11  b puede tomar los valores
11, 10, 7, 6, 5, 2
a  7

a  6
Los dos primeras valores son inaceptables, quedando 
a  5
a  2
b4
b5
b6
b9
En consecuencia, el número de la matricula puede ser: 7744 , 6655 , 5566 , 2299
De estos números sólo es cuadrado exacto el número 7744  882 , única solución del
problema.
22. Celia da un mordisco a la galleta, dejando la figura adjunta.
Sabiendo que la galleta circular tiene 2 cm de radio y no se tiene
en cuenta el grosor. ¿Qué superficie le queda por comer?
Solución:
 A  3 4 Área del círculo

Una de las formas de descomponer la figura:  B  Área del cuadrado
 C  Cuadrante de circunferncia

A
3 2
2   3  cm2
4
B  22  4 cm2
C
1 2
2    cm2
4
Superficie restante  3  cm2  4 cm2   cm2  2   4 cm2
23. En la figura se presentan tres cuadrados de lado 1 y dos
segmentos que unen dos pares de vértices. ¿Cuál es el área del
triángulo ABC?
Solución:
Al cortarse las diagonales forman un ángulo recto en C por lo que el
 es rectángulo y su hipotenusa AB  1
triángulo ABC
  AEF
 son semejantes, al ser ambos rectángulos
Los triángulos ABC
y tener en común el ángulo Aˆ .
Aplicando el Teorema de Pitágoras AF  AE2  EF2  5
  AEF

Siendo ABC

En consecuencia, S ABC
 
5
1
2


1
BC AC

2

 AC  5


BC  1

5
1 1 2
1
 u2
2 5 5 5
24. Daniel construye la Espiral de Durero, comienza
con dos pequeños cuadrados, uno de los cuales tiene
un vértice en el punto A, después ha continuado
adosando un cuadrado a la derecha, después uno
debajo, después uno a la izquierda, después uno
encima, después de nuevo uno a la derecha y así
sucesivamente.
Después ha dibujado un cuarto de circunferencia en
el interior de cada uno de los siete cuadrados.
Cada cuarto de circunferencia une dos vértices opuestos de un cuadrado y tiene el centro en
otro vértice del mismo cuadrado. Los primeros siete cuartos de circunferencia forman una
'espiral' que va desde A hasta B.
El perímetro del rectángulo formado por los primeros siete cuadrados mide 136 cm.
¿Cuál es la longitud de la espiral desde A hasta B?
Solución:
Llamando x al lado del
cuadrado más pequeño, los
lados de los demás
cuadrados serán 2x , 3x, 5x,
8x y 13x.
El rectángulo tendrá lados
de longitud 13x y 21x,
siendo su perímetro 68x
Como el perímetro es 136
cm, la longitud del lado más
pequeño es de 2 cm.
El lado del cuadrado es también el radio de la circunferencia que se traza. Siendo un cuarto
2 r  r
de circunferencia, su longitud será:

4
2
Longitud de la espiral 
2  2  4  6  10  16  26  66 







 33  cm  103,67 cm
2
2
2
2
2
2
2
2
25. En un triángulo se traza una línea que divide a la
base en dos partes que están en relación 2 a 3, y divide
al lado de la izquierda en dos partes que están en
relación 1 a 2.
El triángulo pequeño que así se forma tiene un área de
8 u2. Averigua lo que medía el triángulo grande original
(antes de dividirlo).
Solución:
Se traza una recta que une un vértice del triángulo grande con uno del pequeño. El área del
triángulo intermedio tendrá como base 5/2 de la base del pequeño y la altura será la misma,
ya que comparte vértice superior. Así el área del triángulo intermedio será de 20 u2.
Para comparar el triángulo intermedio con
el grande se gira el dibujo hasta lograr que
la base sea el lado que antes ocupaba el
lado izquierdo.
El triángulo intermedio y el triángulo
mayor tienen la altura común, mientras
que la base mayor es 3/2 de la base
menor, por lo que el área del triángulo
mayor es 30 u2.
26. Cuatro amigos se disponen a jugar una partida de cartas.
Te encuentras repartiendo las 40 cartas de la baraja, una a
una, comenzando naturalmente por la izquierda.
En medio del reparto una llamada de teléfono te hace interrumpir el reparto, a la vuelta has
olvidado por donde ibas repartiendo.
¿Se te ocurre cómo repartir las cartas que quedan en la baraja de modo que a cada jugador,
no solamente le des 10 cartas, sino que no cambies la suerte y le des las cartas que le
hubiera tocado en caso de seguir repartiendo sin interrupciones?.
A propósito, ¿qué es más probable?, ¿Qué entre tú y tu compañero tengáis todos los
reyes o que entre él y tú no tengáis ninguno?.
Solución:
Si no te hubieras levantado para hablar por teléfono, es evidente que te habría tocado la
última carta. La penúltima habría sido para el primer jugador a tu derecha, la
antepenúltima para el segundo a tu derecha, etc. Así, sólo tienes que repartir el
montón, extrayendo las cartas de abajo y empezando por ti mismo, repartiendo hacia la
derecha.
Pensamos en la situación opuesta. El que tú y tu compañero no
tengáis ningún rey quiere decir que entre los dos contrarios los
tienen todos. Así, por simetría, la probabilidad de que entre tú y tu
compañero no tengáis ningún rey es exactamente la misma que la
de que los tengáis todos.
27. En un saco blanco tienes unas 2000 alubias blancas y en otro
saco rojo unas 3000 alubias rojas. Del saco blanco pasas al saco rojo
50 alubias. Revuelves bien revueltas las alubias del saco rojo, sacas
50 alubias, sin mirarlas, y las metes en el saco blanco.
¿Hay al final más alubias blancas en el saco rojo que alubias rojas en
el saco blanco o al revés?
Solución:
Hay el mismo número de alubias rojas en el saco blanco que alubias blancas en el saco rojo.
28. La figura de cada cuadrado tiene un valor. La suma de
cada fila o de cada columna aparece al lado o debajo.
¿Qué número debe reemplazar a los signos de interrogación?
Solución:

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