ミクロ経済学第2回の資料

1.5 限界分析入門
限界効用
財は N 種類あるとする。第 i 財の限界効用 (Marginal Utility) とは、
MUi = 第 i 財の消費を 1 単位増やしたときの効用の増分
・・
のことである。ただし、限界効用は限界代替率を導出するためだけに使う。経済学的には限界代替率にのみ量
的意味があるのであって、限界効用それ自体には意味がない*1 。
偏微分について
効用関数はたくさんの財 (x1 , x2 , · · · , xN ) に依存するが、第 i 財の限界効用を考えるときは、ほかの財の消費
量は定数とみなして、第 i 財だけの関数だと思って微分する。これを偏微分するといい、限界効用 MUi は、
MUi =
∂u
∂xi
とかける。
限界代替率の限界効用による表現
財は２種類とする。消費計画は x = (x1 , x2 ) である。
ここで第１財を「ほんのちょっと」追加（∆x1 ）するために第２財の消費の変化（∆x2 ）をどのぐらい許容で
きるかを考える。このとき、(x1 , x2 ) と (x1 + ∆x1 , x2 + ∆x2 ) は同じ無差別曲線上にあることに注意*2 。
したがって、「第１財の消費量の増加による効用の変化」と「第２財の消費量の減少による効用の変化」は相
殺されて、結果として効用の変化は０となる。
数式でかくと：
第１財の消費量の増加による効用の変化：
（局所的な）無差別曲線の勾配 × x1 の変化 =
∂u
∂x1
× ∆x1
第２財の消費量の減少による効用の変化：（局所的な）無差別曲線の勾配 × x2 の変化 =
∂u
∂x2
× ∆x2
∂u
合わせたものが０： ∂x
× ∆x1 +
1
∂u
∂x2
× ∆x2 = 0
これを変形して：
−
∂u/∂x1
∆x2
=
∆x1
∂u/∂x2
左辺は無差別曲線の（局所的な）傾きの絶対値、すなわち限界代替率 MRS12 である。
上の式をかき直すと：
MRS12 =
∂u/∂x1
∂u/∂x2
となる。
*1
*2
林貴志『ミクロ経済学（増補版）』(2013)P.60∼61 に詳しい説明があります。
∆x1 が正なら ∆x2 は負です。
1
最適消費の条件
最適消費計画問題の解となる消費計画 x∗ において、
MRS12 =
p1
p2
が成り立つ。したがって、最適消費 x∗ は、
MRS12 =
∂u/∂x1
p1
=
∂u/∂x2
p2
と予算制約式 p1 x1 + p2 x2 = I をつかって求める。
2
ラグランジュの未定乗数法で最適消費計画 x∗ を求める
最適化問題をマニュアル的に解く方法。
財は２種類。消費計画は x = (x1 , x2 )。
効用関数は「だいたいの人」の選好をうまくとらえるコブ・ダグラス型で考える。
すなわち、u(x1 , x2 ) = xa1 x1−a
とする。
2
1. まずは問題を定式化。
max xa1 x1−a
2
x
s.t. p1 x1 + p2 x2 = I
2. ラグランジアン L という関数を、ラグランジュの未定乗数 λ(≥ 0) をつかって作る。
L = xa1 x1−a
+ λ(I − p1 x1 − p2 x2 )
2
3. x1 , x2 とλ で偏微分して 0 とおき、得られた式を連立して解く。
∂L
= axa−1
x1−a
− λp1 = 0
1
2
∂x1
∂L
= (1 − a)xa1 x−a
2 − λp2 = 0
∂x2
∂L
= I − p1 x1 − p2 x2 = 0
∂λ
(1)
(2)
(3)
(1) の辺々を (2) で割って、
x2
a
p1
·
=
1 − a x1
p2
1 − a p1
·
x2 =
· x1
a
p2
(4)
(4) を (3) に代入して、
1−a
· p 1 x1 = 0
I − p 1 x1 −
a )
(
a 1−a
−
+
p1 x1 = −I
a
a
p1
· x1 = I
a
x∗1 = a ·
I
p1
(5)
(5) を (4) に代入して、
x∗2 = (1 − a) ·
I
p2
(6)
(5)、(6) より最適化問題の解である最適消費計画 x∗ = (x∗1 , x∗2 ) は、
)
(
I
I
∗
(1 − a) ·
x = a·
p1 ,
p2
3

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