第１９回 第 回 本巣市 市算数・数学甲 甲子園２０１ ６ 解答例 解 ５ ５１２ （10 点） 点 小学生問題 小 題 1 ２ （10 点） 点 （10 点） 合計が一番 番小さいという点から、中心の円の中 中 中に「１」 が入ります す。 そのため、１～７のうち ち最も大きい い数から、外 外の円に それぞれ「 「５」「６」「７」が入ります。 外の円の和 和・・６＋７＝ ＝１３の間に には、１の次 次に大き い数「２」が入ります。 上記のよう うに、７＋５＝１２の間に に、２の次に に大きい 数「３」を、５＋６＝１１の間に、 、３の次に大 大きい数 「４」を入 入れていきます。 すると、和 和は「１３」となります。 。 ３ 大きい窓 窓ガラス ５まい （10 点） 点 （どちらも正 正解で） 小さい窓 窓ガラス ９まい 大きい窓ガラ ラス １ ２ ３ ４ ５ 小さい窓ガラ ラス １３ １２ １１ １０ ９ かかる秒 秒数 ７７ ８４ ９１ ９８ １０ ０５ ７秒 秒ずつふえる る ４ 同様に考えて 同 、 １～１００号 号室までの場合 １～１００ ６４部屋 ら、２０部屋 ら 屋ぬきます。 １０１～２０ ００ ６４部屋 い １～１０号室までは、「4，9」を をぬくのだか から２部屋ぬ ぬきま ○ ２０１～３０ ００ ６４部屋 す。 す ３０１～４０ ００ ６３部屋 い から、ぬか かれた２つの の部屋は、「2 20～29」の の中にも、 「30～ 「 ○ ４０１～５０ ００ １部屋 39 9」の中にも もあるのだか から、「40～ ～49」、「90 0～99」をの のぞい て、 て 「1～10」 」、 「11～19 9」、 「20～29」…「8 80～89」と と８回、 つまり、２× つ ８＝１６ １６部屋ぬき きます。 ５０１～６０ ００ ６４部屋 ６０１～７０ ００ ６４部屋 あ と○ い から、ぬかれた部屋は、２０＋１６＝３ ３６ ○ ７０１～８０ ００ ６４部屋 ８０１～９０ ００ ６３部屋 あ ○ １～１００号室までは、 49，90～9 99」をぬくの のだか 「40～4 す。 す つまり、１０ つ ０－３６＝６４ あることにな あ なります。 ３６部 部屋で １～１００号室ま までに、６４ ４部屋 ９０１～10 000 １部屋 合計 合 ５１２部屋 小・中共通 小 通問題 もとまるは、 も 大きい窓ガ ガラスは、１ １分間に５ま まいみが くことができ く きるので、大 大きいガラス ス１まいは１ １２秒で みがくことが み ができます。 小さい窓ガラ 小 ラスは１分間 間に１２まい いみがくこと とができ るので、小さ る さいガラス１ １まいは、５ ５秒でみがく くことが できます。 で もとまるが、 も 会議室で窓 窓をみがいた た時間は、１ １分４５ 秒＝１０５秒 秒 秒です。 大きい窓ガラ 大 ラスが１まい い、小さい窓 窓ガラスが１ １３まい のときから考 の 考えていきま ます。 大きい窓ガラ 大 ラスが１まい いふえて、小 小さい窓ガラ ラスが１ まいへるごと ま とに、かかる る秒数は、７ ７秒ずつふえ えます。 はじめの７７ は ７秒から１０ ０５秒までは は、１０５－ －７７＝ ２８で、２８ ２ ８秒ふえてい います。 大きい窓ガラ 大 ラスが１まい いふえ、小さ さい窓ガラス スが１へ ると７秒ふえ る えるので、２ ２８÷７＝４ ４ 大きい窓ガラ 大 ラスが４まい いふえて小さ さい窓ガラス スが４ま いへると、２ い ２８秒ふえる ることになる るので、 大きい窓ガラ 大 ラスは、 １ １＋４＝５ 小さい窓ガラ 小 ラスは、１３ ３－４＝９ 解答例 例 （10 点） 点 図の のように、５ ５×５の正方 方形が２個、４× ４の の正方形が２ ２個、２×２ ２の正方形が が２個 の、合計６個が が最も少ない い場合です。 ６ ７ （10 0 点） （10 点） １０ １（ （または １０ ） 帯分数を を、分子が１ ０になる仮 仮分数に直し しま す。また、整数も、１ １０を分子と とする分数に に直 します。すると、 １０ １０ １０ １０ １０ １ ２ ３ ４ ５ ， ， ， ， となり、分母が１ずつ 分 つふえている ることが分か かり ます。 したがって、１０番 番目の数＝ ます。 ８ （10 0 点） ９秒 秒 １０ ０ ＝１と求ま まり １０ ０ ９ Ｂ （10 点） 班 ＜ Ｆ 班 ＜ Ｄ 班 ＜ Ｃ 班 ＜ Ａ 班 ＜ Ｅ 13 班 （10 点） チョコ 14 箱 ３㎝ ３回戦 戦 花 花子さん ４回戦 戦 花 花子さん ５回戦 戦 太 太郎君 １６２ｃｍ ｃ ・勝負 負が終わった た直後の枚数 数の多い方 →勝負 負は勝ち →勝負 負する直前の の枚数は、今 今の枚数から ら相手の今の の枚数を引く ・勝負 負が終わった た直後の枚数 数の少ない方 方 →勝負 負は負け →勝負 負する直前の の枚数は、今 今の枚数を２ ２倍にする。 この考 考え方で、５ ５回目の結果 果から順次さ さかのぼって ていくと、じゃんけ んの結 結果は下の表 表のようにな なります。 ０ １ ２ ３ ４ ５ 太郎 郎君 ３２ ２ ４８ ５６ ２８ １４ ３ ３９ 花子さ さん ３２ ２ １６ ８ ３６ ５０ ２ ２５ ２ （ア） （10 点） 点 （イ） ）の立体の表 表面積が６４ ４８㎠ であっ ったというこ ことは、（ア） ）のグレーの の 部分の の面積が６４ ４８㎠ であっ ったというこ ことです。 従って て、白い部分 分の４つの三 三角形の面積 積の合計は、 ３６× ×３６－６４ ４８＝６４８ ８㎠ であるこ ことが分かり ります。 すると と、１つの白 白い三角形の の面積は、６ ６４８÷４＝ ＝１６２㎠ となります。 従って て、白い三角 角形の高さは は、 ＤＥ＝ ＝１６２×２ ２÷３６＝９ ９cm よって て、求めたい い底面積であ ある中央の正 正方形ＡＢＣ ＣＤの面積は、 ＢＤ Ｄ＝ＡＣ＝３ ３６－９× ２＝１８cm m （正方形 形ＡＢＣＤの の対角線の長 長 さ）、面積＝ＢＤ×ＡＣ÷２＝ ＝１８×１８ ８÷２＝１６ ６２㎠ ３㎝ ４㎝ ４㎝ ４㎝ 中学生問題 ２，４，６，８，１０ （10 点） 12 太 太郎君 箱 ３㎝ 11 ２回戦 戦 図のように、はば４㎝、高さ３㎝の階段状 に切り、右下へスライドさせると、たて９ ㎝、横１６㎝の長方形になる。 チョコ ３㎝ 太 太郎君 （10 点） 点 （すべて正 正解で） 条件をまとめると①最も人数が少ないのがＢ班。②Ａ班とＦ班、Ｂ班とＥ班、Ｃ班とＤ班の人数の合計は 等しい。③Ｃ班とＦ班の人数の合計より、Ａ班とＤ班の人数の合計の方が多い。④Ｅ班とＦ班の人数の合 計は、Ｃ班の人数の２倍に等しい。 連続する６つの整数の３番目の数を□とすると、各班の人数は、□－２、□－１、□、□＋１、□＋２、 □＋３と表す。 ①より最も人数が少ないＢ班は（□－２）人、②より最も人数が多いのはＥ班で（□＋３）となる。また ④より、Ｅ班とＦ班の人数の合計が、Ｃ班の人数の２倍に等しいということは、Ｅ班が最も多いことが分 かっているので、Ｃ班はＦ班より人数が多いことが分かる。 次に、Ｅ班とＦ班の人数の合計が、Ｃ班の人数の２倍なので、Ｅ班とＦ班の人数を足すと偶数になる。Ｅ 班は（□＋３）人なので、Ｆ班は（□－１）人か（□＋１）人になる。 Ｆ班が（□＋１）人だとすると、Ｃ班は（□＋２）人になるが、③の条件に矛盾するのでＦ班は（□＋１） ではない。よってＦ班は（□－１）人となる。そしてＣ班は（□＋１）人と分かる。②より、Ａ班とＦ班、 Ｃ班とＦ班の人数の合計は等しいので、Ａ班が（□＋２）人。Ｄ班が□人となる。 10 じゃん んけんの勝ち ち負けでコイ インの枚数が がどう変化す するかを考えます。 「負け けたほうは枚 枚数が半分に になり、勝っ ったほうは負 負けたほうの半分を 加える る」を元に、じゃんけん んが終わった た時点で、勝 勝負の前後の枚数を 考えま ます。 １回戦 戦 １９１ 奇数＋偶数は奇数なので、１から１０までの和、差の結果は 奇数になる。次のように、１，３，５，７，９になる。 １＋２＋３＋４＋５＋６＋７－８－９－１０＝１ １＋２＋３＋４＋５＋６－７＋８＋９－１０＝３ １＋２＋３＋４＋５＋６－７－８＋９－１０＝５ １＋２＋３＋４＋５－６＋７－８＋９－１０＝７ １＋２＋３＋４－５＋６＋７－８＋９－１０＝９ つまり、２，４，６，８，１０ができない数である。 15 ８１πｃｍ ｃ ２ （10 点） 点 １回の操作につき、カードの数の合計は１減るので１９回行うと １～２０の和から１９減る。 １＋２＋・・・＋２０＝２１０より、２１０－１９＝１９１ （10 点） チャレンジ問 問題 ５人 人 部屋の広さ さが５㎡から ら１００㎡に に２０倍にな なっているが が、時間 も５分間か から１００分 分間に２０倍 倍になってい いるので、５人の子 どもがいれ れば１００分 分間でそうじ じができる。
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