(2) f(x) - SUUGAKU.JP

年番号
1
3 次方程式 x3 + ax2 + bx + c = 0 の 3 つの解を ®; ¯; ° とする．下の問
4
いに答えよ．
座標平面上に，点 A(0; ¡2) と円 C : x2 + (y ¡ 2)2 = 4 がある．円 C 上の
点 P に対し，線分 AP の中点を M，M を通り AP に垂直な直線を ` とする．
下の問いに答えよ．
(1) ® + ¯ + ° = ¡a; ®¯ + ¯° + °® = b; ®¯° = ¡c が成り立つことを示せ．
(2) ® + ¯ + ° = 1; ®2 + ¯2 + °2 = 3; ®3 + ¯3 + °3 = 7 のとき，®4 + ¯4 + °4
の値を求めよ．
(1) 点 P が円 C 上を動くとき，点 M の軌跡を求めよ．
(2) 直線 ` が円 C に接するとき，点 M の座標を求めよ．
（東京学芸大学 2012 ）
2
氏名
(3) 点 P が円 C 上を動くとき，直線 ` が通る点全体の領域を求め，図示せよ．
（東京学芸大学 2013 ）
関数 f(x) = (x2 +®x+¯)e¡x について，下の問いに答えよ．ただし，®; ¯
は定数とする．
(1) f0 (x) および f00 (x) を求めよ．
(2) f(x) が x = 1 で極値をとるための ®; ¯ の条件を求めよ．
(3) f(x) が x = 1 で極値をとり，さらに点 (4; f(4)) が曲線 y = f(x) の変
曲点となるように ®; ¯ の値を定め，関数 y = f(x) の極値と，その曲線の
変曲点をすべて求めよ．
下の問いに答えよ．
(1) 方程式 x cos x = sin x は
4¼
< x < 2¼ の範囲にただ 1 つの解をもつこ
3
とを示せ．
(2) (1) の解を ® とおくとき，0 < x < 2¼ において不等式
（東京学芸大学 2012 ）
3
5
実数 x; y; z; w が xy = 1; z + w = 1; xw + yz = 1; yzw = 1 をみた
1
sin x
3
=¡ B
>¡
2
x
4¼
1+®
が成り立つことを示せ．
すとき，下の問いに答えよ．
(1) x Ë 1 であることを示せ．
（東京学芸大学 2013 ）
(2) x; y; z; w の値を求めよ．
（東京学芸大学 2013 ）
6
x = 0 において連続関数 f(x) が不等式
f(x) 5 a +
Z
x
0
2tf(t) dt
2
をみたしているとする．g(x) = aex とするとき，下の問いに答えよ．ただ
し，a は 0 以上の定数である．
Zx
(1) 等式 g(x) = a +
2tg(t) dt を示せ．
Zx 0
2
(2) h(x) = e¡x
2tf(t) dt とするとき，x > 0 において不等式 h0 (x) 5
0
2
2axe¡x
が成り立つことを示せ．
(3) x = 0 において不等式 f(x) 5 g(x) が成り立つことを示せ．
（東京学芸大学 2013 ）

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