Journal für die reine und angewandte Mathematik Herausgegeben v o n H e l m u t Hasse u n d H a n s R o h r b a c h Verlag Walter de Gruyter & Co., Berlin 30 Sonderabdruck aus Band 226, 1967. Seite 175 bis 183 Elementarteilertheorie über Maximalordnungen V o n Manfred Knebusch i n H a m b u r g Die Elementarteilertheorie über Dedekindringen (s. [4], S. 31 ff. u n d die dort angegebene L i t e r a t u r , ferner etwa [8], S. 214ff.) läßt sich, wie i n dieser Note demonstriert werden soll, weitgehend auf Gitter über Maximalordnungen halbeinfacher assoziativer Algebren übertragen. Für anregende Diskussionen b i n i c h H e r r n H . Jacobinski zu Dank verpflichtet. Bezeichnungen und Problemstellung Sei o ein Dedekindring, K sein Quotientenkörper, C halbeinfache Algebra endlicher Dimension über K, D eine M a x i m a l o r d n u n g von C über o. Die M i n i m a l n o r m v o n C über K bezeichnen w i r m i t N(x). M u n d N < M seien fest vorgegebene, endlich erzeugte D - L i n k s m o d u l n , die als O-Moduln torsionsfrei seien (,,Gitter"). W i r denken uns M i n V: = K ® M eingebettet: 0 V = KM. W e i l D hereditär ist (s. [1], S. 5), sind M, N nicht nur über o, sondern sogar über D projektiv. (Es läßt sich leicht ein freier D - M o d u l konstruieren, der M umfaßt.) Ferner läßt sich M i n eine direkte Summe v o n M o d u l n zerlegen, die z u Linksidealen von D isomorph sind ([7], S. 330, [3], S. 13). W i r fragen n u n nach Zerlegungen v o n M dieser A r t , die auch auf N direkte Zerlegungen induzieren, ferner nach durch geeignete Simultanzerlegungen definierbaren Invarianten des Modulpaares (M, N). M/KN KN r\ M ist direkter Summand v o n M. r\ M zerfällt die exakte Sequenz Denn wegen der Projektivität v o n 0-> KN ^ M-> M - > M\KN ^ j | f - > 0 . Daher können w i r v o n vornherein KN = KM annehmen. Besitzt D Nullteiler, so läßt sich jede Zerlegung v o n M durch die entsprechende Zerlegung eines zugehörigen . ^ - G i t t e r s M beschreiben, wobei Q eine durch D gegebene nullteilerfreie Maximalordnung ist (s. § 2 Anfang). Trotzdem ist es nicht zweckmäßig, nur nullteilerfreie Maximalordnungen z u betrachten, denn bei Lokalisierung nach P r i m idealen von o treten i m allgemeinen doch wieder Nullteiler auf. Ebensowenig ist es zweckmäßig, gleich nach Simultanzerlegungen i n unzerlegbare M o d u l n zu fragen, weil auch Unzerlegbarkeit keine unter Lokalisierungen invariante Eigenschaft ist. Statt dessen setzen w i r zunächst ( § 1 ) voraus, daß V freier C - M o d u l ist und suchen nach Zerlegungen des Paares (ilf, iV), deren Summanden über K z u C isomorph werden. x x E s zeigt sich, daß solche Zerlegungen stets existieren (Satz 1). E s gibt also eine freie Basis v o n V über C u n d Linksideale 91*, 93, v o n £), die über K ganz C aufspannen (,,volle Linksideale"), so daß (*) M = % X + •• • + 9t z , n l N = 9 3 ^ + •••+ 9 3 n Ä w i r d . Wegen M > N sind die i m Brandtschen G r u p p o i d gebildeten 9t,: = 9t^~ 93 (i = 1, . . w) ganz, u n d es läßt sich überdies erreichen, daß 1 Quotienten i (**) NW ) N(3t ) X H ist. Ist i n D jedes volle Linksideal Hauptideal, so läßt sich (*--#) sogar z u der Beziehung 9 ^ > • • • > 9t» verbessern (s. Absatz vor Satz 4). Trotz der Forderung (-#-#) können die iV(9ti) bei verschiedenen Zerlegungen verschieden ausfallen. S t i m m t o m i t dem Z e n t r u m v o n £) überein, so t r i t t dieses Phänomen über £) genau dann auf, wenn v o n den Komplettierungen v o n D nach den Primidealen von o mindestens eine Nullteiler besitzt. M a n kann Eindeutigkeit der iV(9^) dennoch erzwingen, indem man sich auf „kanonische Zerlegungen von (M, N) (s. Definition S. 178) beschränkt. 44 A u s den genannten Resultaten gewinnen w i r i n § 2 m i t Leichtigkeit entsprechende Sätze über Simultanzerlegungen v o n M u n d N i n unzerlegbare Gitter. In § 3 gehen w i r noch kurz auf die Theorie der endlich erzeugten Torsionsmoduln über einer M a x i m a l o r d n u n g ein. § 1. V sei freier C-Modul Satz 1. Es gibt eine freie Basis x , . . ., x von V über C und volle Linksideale (i = 1, . . ., n) von D , so daß x n M = 9 1 ^+ ••- + 9l z , (*) n N = 9 3 ^ + • • • + 93 z n n 91^, 93 n ist und für die Idealquotienten 9 t : = 9fr 93* 1 £ {**) NWtJ > • • • > N(?R ) n gilt E h e w i r diesen Satz beweisen, studieren w i r die A b s p a l t u n g direkter, zu vollen Linksidealen v o n isomorpher Summanden v o n einem Gitter M. Sei x € V freies Element v o n 7 , d. h. es sei cx #= 0 für jedes c 4= 0 aus C. 9t bezeichne den „Koeffizienten 44 Koeff (x, M): = {c € C \ cx € M) v o n x bezüglich M. M rs Cx = 91a;. W e i l M/SHx projektiv ist, haben w i r direkte Zerlegungen (1. 3) m it V': = M = 91* 0 M', V = Cx 0 V KM'. Ausgehend v o n einer beliebigen Zerlegung V = Cx 0 V" v o n F (# frei), fragen w i r umgekehrt: W a n n ist M = S&x ^ M' m i t M': = V ^ Af ? Das ist genau dann der F a l l , wenn es z u der exakten Sequenz 0-+ M' M ——> <p \ M «o>(s) ^ 0 1 (<p: = kanonische A b b i l d u n g v o n V auf V/V, 9t: = Koeff (<p{x), <p(M))) einen Schnitt S8Lq>{x) -> M m i t tp(x)-+x gibt. Dieser Schnitt läßt sich nur auf eine Weise definieren und existiert genau dann, wenn 9t£ < M, d. h. 9t < 9t ist. Andererseits ist stets 9t < 91. W i r fassen zusammen: Lemma 1. V = Cx 0 V sei direkte Zerlegung von V in freie Summanden, kanonische Abbildung von V auf V/V. Dann gilt für 91: = Koeff (x, M) und q? die 9t: = Koeff (q>(x),<p(M)): (1. 4) 9t < 91, (1. 5) 9t = 9t M = 91a; 0 (V ^ M). Sei p Primideal =#0 von o, o der Bewertungsring zu p i n K. Allgemein bezeichnen wir für ein o-Gitter G m i t G die Lokalisierung o ® G = o G c # G v o n G an der p p Stelle p. Für unser D-Gitter M ist M von V: ein D - G i t t e r . E s gilt für ein freies Element x p p (1. 6) p p Koeff (x, M ) = ' Koeff (z, il/) . p p Lemma 2. Ist x freies Element von V, p ein Primideal (4=0) von o, SO jedes Element x einer kleinen Umgebung von x bezüglich der zu p gehörigen Topologie von V wieder freies Element mit Koeff (x, M ) = Koeff (x M ). x x p ly p Beweis. x läßt sich zu einer freien Basis x , . . ., x von V über C ergänzen, so daß M = 9t z + • • • + W n geeigneten vollen Linksidealen 91* v o n D i n C. Liegt x = X x + - • • A :r (A, € C) bezüglich p nahe an x d. h. X nahe an 1, die anderen X nahe an N u l l , so ist X sicher invertierbares Element v o n C. Daher ist dann x frei. Ferner ist x 1 p x w x 1 n x M x i i r d m i n t p n u x x Koeff (x, M ) = v {* I fl ^ ") SU" = ( W 1 + •••+ W ) " sofern A Einheit der Rechtsordnung von 9t ist und k^r Das läßt sich bei guter A p p r o x i m a t i o n erreichen, q. e. d. x = * l t <• 91^ für i = 2 , . . ., n ist. 1 x 1 Beweis von Satz 1. a) Für ein beliebiges freies Element x v o n V schreiben w i r 9 t : = Koeff (x, M), 93,: = Koeff (x, N), 9 t , : = 9t" 93*. M i t a : = {* 6 o | ocM < iV} gilt stets a 9t, < 93* < 9t*. Anwendung der M i n i m a l n o r m liefert: a < # ( 3 y c (r: = Grad des Minimalpolynoms v o n C). Somit bilden die N(?H ) eine endliche Menge, und es ist in der üblichen symbolischen Schreibweise 1 z r 0 X (1.7) N(M )==n N(dl ) . x a x p W i r suchen jetzt zu jedem p | a ein freies Element y v o n F , für das i V ( 9 t ) m a x i m a l ausfällt. Diese y können wir gleichzeitig, jedes i n der zu dem entsprechenden p gehörigen Topologie, durch ein Element x von V beliebig genau approximieren (schwacher A p p r o x i mationssatz). Nach L e m m a 2, (1. 6), (1. 7) ist x bei guter A p p r o x i m a t i o n freies Element von V und N($i ) Teiler jedes anderen N($l ). yp p p p x x Xi x b) Statt 9t , 93^, 9t,, schreiben w i r jetzt kurz 9 t 93 , 9 V Sei M = 9 1 ^ 0 M' eine beliebige Zerlegung von M zu x (vgl. (1. 3)). Angenommen es ist nicht Xi 1? x x N = 93 z 0(M'^7V). 1 1 Nach L e m m a 1 bedeutet dies: Ist <p die kanonische A b b i l d u n g von V auf V\KM\ so ist %: x Journal für Mathematik. Band 226. = Koetf(<p(x ),cp(N))>% . x x 23 Andererseits zerfällt die exakte Sequenz d. h . es gibt sicher ein freies x[ i n V m i t <p{x{) = cp(x ), Koeff (x[, N) = )Ö . N a c h (1. 4) ist Koeff (x[, M) < Sm . N u n zeigt sich der gewünschte W i d e r s p r u c h : < x 1 x also ? iVCSRJ. E s ist also doch 3f = © M', N = 9 3 ^ ! 0 Af' ^ i V . AT u n d M' r\ N lassen sich i n gleicher Weise weiterzerlegen. W i r erhalten so schließlich eine Zerlegung (-X--X-) ergibt sich unmittelbar aus dem benutzten Verfahren. Satz 2 (vgl. [7], S. 479). Sei £) Maximalordnung einer Divisionsalgebra, pletter diskreter Bewertungsring. Dann treten in jeder Zerlegung (-X-) von (M,N), (-X--X-) oder die damit gleichwertige Aussage gilt, die gleichen Ideale 3t auf i o komfür die („Elementarteiler"). Beweis. Jedes Ideal v o n £) ist zweiseitig und Potenz des einzigen maximalen Ideals v o n £). Die M o d u l n 9t /33 ^ D/St* sind daher alle unzerlegbar. M a n wende den Satz v o n K r u l l - S c h m i d t auf MjN an. f f Zusatz. Ist (M', N') ein weiteres Modulpaar m i t dem gleichen System v o n E l e m e n tarteilern wie (M, N), so gibt es einen Isomorphismus v o n M auf M', der N auf N' abbildet. I m allgemeinen sind jedoch die i V ^ ) i n einer Simultanzerlegung (-*) v o n (M, N), für die (-*-*) gilt, nicht eindeutig bestimmt, (s. Satz 3). W i r können n u r feststellen, daß das P r o d u k t NffiJ • • • iV(9t ) nicht v o n der W a h l der Simultanzerlegung abhängt. Ist nämlich ohne Einschränkung der Allgemeinheit C zentral einfach über K v o n der Dimension m , so gilt für das Ordnungsideal (M: N) v o n M/N, betrachtet als o-Modul (s. [5], S. 80): n 2 (1. 8) (M: N) = (iV(3ft ) • • • iV(SR )) . A m M Die Eindeutigkeit der Ideale NffiJ läßt sich dennoch erzwingen, indem m a n sich auf Zerlegungen (-*) beschränkt, die nach dem i m Beweis v o n Satz 1 benutzten Verfahren gewonnen werden können. Definition. KN = KM = V sei freier C - M o d u l . Für jedes freie Element x v o n V bezeichne 9 ^ den Quotienten Koeff (x, M)~ Koeff (x, N). l E i n e Simultanzerlegung (-*) v o n M, N heiße kanonisch, wenn über (-#-*) hinaus g i l t : iV(9t,) teilt N($l ) für jedes freie Element x v o n Cx + • • • + Cx . x x n Satz l a . Ein Paar (M, N) von D-Gittern mit N<M und KN = KM = freier C-Modul besitzt stets kanonische Simultanzerlegungen (-X-). Die Nffii) fallen bei jeder solchen Zerlegung gleich aus. Beweis. E s ist n u r noch die eindeutige Bestimmtheit der iV^St,) z u zeigen. Z u einem P r i m i d e a l p 4= 0 v o n o erhält m a n aus einer kanonischen Zerlegung v o n (M, N) sofort eine kanonische Zerlegung der zugehörigen komplettierten Lokalisierungen M , p N p (s. L e m m a 2). Gehören z u der Zerlegung v o n (M, N) die Ideale iV(9ti), so zur letzteren Zerlegung deren Komplettierungen iV(9t,) . p Z u m Beweis der Eindeutigkeitsaussage i n Satz 1 a können w i r daher annehmen, daß o diskreter kompletter Bewertungsring ist, ferner, wie m a n sich leicht überlegt, r daß C zentral einfach über K ist. D a n n ist £) = m i t Matrixeinheiten e u n d i M a x i m a l o r d n u n g ü eines kompletten Schiefkörpers (s. z. B . [5], S. 100). 2 t, tj i = Unsere Behauptung ergibt sich n u n als Folge des Elementarteilersatzes für üM o d u l n (s. Satz 2). Zunächst können w i r i n der Simultanzerlegung (-#) v o n M, N annehmen: » ! = « , = ••• = » „ = £ > . M a n braucht dazu n u r die x m i t geeigneten Skalaren z u multiplizieren. D i e i V ^ ) ändern sich dabei nicht. t Die 33 sind v o n der F o r m f (1.9) i 33,= 1 V = f m i t I = 2 Qe 1= i v }v u n d ß-Idealen £ °. Indem w i r die x noch u m eine E i n h e i t v o n D ( r i r der F o r m 2 V = e ,„( m i t passender Permutation n der Indizes 1, . . ., r abändern, erreichen v 1 V) wir: (1.10) (1 = 1 , . . . , * ) - A u s der Maximalität der N(%) = h (1. H ) (N = N o r m v o n N (iP) 0 0 KQfK) V = 1 folgt weiter (1.12) 8«^*? + 1 > = denn z. B . für X = 6 X 11 i -f- t -\,r-\ i * * • + r X H~~ rl i+l e x ergibt sich # (».) Die ^ = N (Z?) 0 • • • tf (*£i) ^ o ( 4 0 i+1) ) ^ #(«<) . sind somit die Elementarteiler des ß-Moduls eN n = © {^ e x ) ll i © • •• © ^ „ a ; , ) i= l bezüglich n e 7 l f = © (Qe x n ll i © •••© Qe^Xi) i n der richtigen Reihenfolge. Daher sind die gj? u n d nach (1. 11) ebenso die iV(9t,) durch (M, N) eindeutig bestimmt. Nffii) Definition. Die bei einer kanonischen Simultanzerlegung v o n (ilf, N) auftretenden wollen w i r die Elementarnormen des Modulpaares (ilf, N) nennen. W i r fragen jetzt: Für welche Maximalordnungen ist jede Simultanzerlegung eines beliebigen Modulpaares (Af, iV), für die (-*-#) gilt, kanonisch? (-*) Zunächst notieren wir das aufgrund des Beweises von Satz 1 evidente Korollar zu Satz l a . Eine Zerlegung (-*) von M, N bei der für jedes i = 1, . . ., n die i-te Elementarnorm von M, N ist ), ist kanonisch. Nffii) 1 Beweis. Wegen der Maximalität von i V ^ ) können w i r für eine kanonische Zerlegung x als erstes Basiselement benutzen. Weiter können wir den komplementären Summanden von SH x i n M beliebig wählen (s. Beweis v o n Satz 1). W i r wählen i h n als %x + • • • + 2l ^nmaximale N o r m N($t ) mit freiem x aus Cx + • • • + Cx ist die zweite Elementarnorm iV(3ft ). W i r können also x als zweites Basiselement wählen, etc. x 1 2 2 n 1 D i e x 2 2 n 2 Satz 3. C sei zentral einfach über K. 1. Ist für jedes Primideal p 4= 0 von o die Komplettierung D von D nullteilerfrei, so ist jede Simultanzerlegung (-#) eines Paares (M, N) von D~ Moduln mit N <z M, KN = KM = freier C-Modul, für die (-#-*) gilt, kanonisch. p mit 2. Anderenfalls gibt es in jedem freien C-Modul V c± C Paare (M, N) von KN = KM = V, die unkanonische Zerlegungen (-#) besitzen, für die (**) D-Gittern immerhin gut. Bemerkung. Satz 1. a und Satz 3. 1 liefern für D = o den Elementarteilersatz über D ed ekindringen. Beweis. 1) A u s Satz 2 und dem soeben formulierten K o r o l l a r folgt sofort, daß jede Zerlegung (-#) von (M, N), für die gilt, kanonisch ist, sofern o kompletter diskreter Bewertungsring und £) Divisionsalgebra ist. W e i l allgemein eine Zerlegung (#-) genau dann kanonisch ist, wenn die zugehörigen Zerlegungen der komplettierten M o d u l n M, N für jedes P r i m i d e a l p 4= 0 von o kanonisch sind (s. L e m m a 2), ist d a m i t der erste T e i l der Behauptung klar. p p 2) Sei V = © Cx , Dp Nullteiler besitzt: D W i r betrachten ein P r i m i d e a l (3 # 0 n^>2. x das 2 Üe m i t Matrixeinheiten e {r 2> 2) und Q = M a x i m a l i, 7 = 1 _ Ordnung einer Divisionsalgebra über K (s. z. B . [5], S. 100). W i r definieren D - G i t t e r p = von o, für tj {j p M':= Dp^H + £) x„, v (1.13) Die 93* seien dabei ganze £> -Ideale, die wir so wählen, daß (-X--X-) und für die den 93* vermögen (1. 9) zugeordneten ß-Ideale 3 (1. 10) gilt, aber (1. 12) für mindestens ein i verletzt w i r d . Die Zerlegung (1. 13) ist dann sicher unkanonisch (s. Beweis von Satz 1. a). W i r bilden weiter p ( {) v (1. 14) M:= Dx -1 t mit den durch x ) Wegen (1. 8) genügt es, (n — 1) der N(%) zu kennen. (- Dx„ Abschließend sei bemerkt, daß, falls in D jedes volle Linksideal Hauptideal ist, bei einer kanonischen Zerlegung (•#) eines beliebigen Gitterpaares (M, N) die x sich u m skalare F a k t o r e n so abändern lassen, daß über (-##-) hinaus i gilt. Über einer beliebigen Maximalordnung D gilt nämlich Satz 4. M und N <. M seien $0-Gitter mit KM = KN = freier C-Modul. kanonische Zerlegung von M, N, bei der alle 93 * = D seien ). Dann ist (-)(-) sei Beweis. Ist (-*) kanonische Zerlegung v o n (itf, TV), so ist für beliebige i , / = 1, . . ., r m i t i < j Indizes 2 M if := + := » N tj + 93^- Ä kanonische Zerlegung des so definierten Gitterpaares (M ,N ). Satz für n = 2 zu beweisen. A u s der kanonischen Zerlegung {j M = + 9I :r , 2 iV = D ^ + 2 Somit genügt es, den {j £x 2 liest m a n n u n für x = x + x a b : 91, = Six ^ 9 l , 93, = D . Somit ist x 2 2 SRJI ^ = Wegen der Maximalität v o n NffiJ ^ a < « 2 = an- . 1 x muß 9t ^ a = 9 ^ , also 9 l ^ 91 sein. x 2 2 q. e. d. x § 2. V beliebiger C-Modul W i r suchen jetzt nach Simultanzerlegungen v o n M, N i n unzerlegbare Summanden und nehmen ohne wesentliche Einschränkung der Allgemeinheit C als einfach an. C ist voller M a t r i x r i n g über einer Divisionsalgebra D. N a c h W a h l einer beliebigen M a x i m a l o r d n u n g Q i n D können w i r 0 i n der Gestalt (2.1) m i t Matrixeinheiten e D = {j ©i®," ^ i 1 i,;' = l und Rechtsidealen & von ß schreiben (s. [4], S. 18). t &v bezeichne die Linksordnung v o n © Jede Zerlegung des D-Gitters M spiegelt sich i n der entsprechenden Zerlegung des ß -Gitters M := e M wider. E s ist nämlich v (1) (2. 2) M= 2]e M= {1) &, e 1 ii r' i= =l n n 1 Indem w i r Satz 1. a, das K o r o l l a r dazu u n d Satz 3 auf i l f , 7V anwenden, erhalten w i r mühelos die folgenden Sätze 5 und 6. W i r definieren d a z u : (1) (1) W sei unzerlegbarer C-Teilraum #=0 von V, x bezeichne (M rs W: N W) v o n M rs WjN ^ W, aufgefaßt als o-Modul. das Ordnungsideal w E i n e Simultanzerlegung (2. 3) M = M x N = N x 2 ) Gebraucht wird nur, daß alle 93* gleich sind. 0 •••0 M 0 •••0 N t t (N t = M^N) i n unzerlegbare M o d u l n M , N\ heiße kanonisch, falls x : = (M : N ) Teiler v o n x für jeden unzerlegbaren Teilraum ff+O v o n KM + h KM ist. Insbesondere ist dann { { t i (2.4) t w t t^-'-^r,. Satz 5. C sei einfach, M und N < M seien D-Gitter mit KM — KN. Dann gilt: M, N besitzen kanonische Simultanzerlegungen in unzerlegbare Moduln. Die x fallen dabei stets gleich aus („Elementar indizes" von (M, N)). Eine Simultanzerlegung (2. 3) von (M, N), bei der (M : N ) der i-te Elementarindex von (M, N) für jedes i = 1, . . ., t ist, ist kanonisch. t t t Satz 6. Sei C zentral einfach über K. Sei D die zu C gehörige Divisionsalgebra. 1. Ist für jedes Primideal p 4= 0 von o die Komplettierung D von D nullteilerfrei, so ist jede Simultanzerlegung (2. 3) eines beliebigen Paares (M, N) von D-Gittern mit N < M, KN = KM, für die (2. 4) gilt, kanonisch. p 2. Anderenfalls gibt es in jedem zerlegbaren C-Modul V ein Paar von D-Gittern (M, N) mit KN = KM, das eine unkanonische Zerlegung (2. 3) besitzt, für die trotzdem (2. 4) gilt. § 3. Torsionsmoduln A u s Satz 1 folgt, daß jeder endlich erzeugte D - M o d u l T, der über o nur Torsionselemente besitzt („Torsionsmodul über £)"), direkte Summe von M o d u l n 31/93 m i t vollen Linksidealen 9t ^ 93 ist. Die Lokalisierung T : = ü ihrer _ Komplettierung T ® rv von T zu einem P r i m i d e a l p von o s t i m m t m i t 0 T •= 7 ® cL überein. Teilt 1 o a : = { A € o | A r = 0} v o n T i n o, so ist T nicht das Annullatorideal = 0 . Daher ist die natürliche A b b i l d u n g p (3.1) p T-> 0 Pia T, v eine Bijektion. (Injektivität: [2], S. 112, Surjektivität m i t starkem Approximationssatz.) Für eine Klassifikation der endlich erzeugten Torsionsmoduln brauchen w i r nach dem Satz v o n K r u l l - S c h m i d t nur die unzerlegbaren unter ihnen zu kennen. Satz 7. Die unzerlegbaren endlich erzeugten Torsionsmoduln 4=0 über Moduln der Form D/^5 mit maximalen Linksideal *ß von D und beliebigem v>0. Dabei bezeichne *ß das eindeutig durch $ bestimmte Produkt * ß $ Brandtschen Gruppoid, bei dem alle Faktoren zusammengehörige Ideale (s. [5], (y) (v) 2 D sind die Exponenten - - - ^ ß „ im S. 77) sind. Ist C einfach, so gilt: (3. 2) £)/$<'> ^ D/Q<"> N{%^) = N(D ). ifi) Beweis. Ist T unzerlegbar, so s t i m m t T aufgrund der B i j e k t i o n (3. 1) m i t seiner einzigen Lokalisierung T p #= 0 überein. W i r können daher von vornherein — auch für den Beweis v o n (3.2) — 0 als kompletten diskreten Bewertungsring voraussetzen ). 3 Ferner können w i r annehmen, daß C einfach ist. D läßt sich deuten als Endomorphismenring eines Linksgitters t) über der M a x i m a l ordnung ü eines Schiefkörpers über o. Die Endomorphismen operieren dabei v o n rechts 8 ) Insbesondere brauchen wir Satz 1 nur für diesen besonders einfachen Fall. auf i>. Die vollen ganzen Linksideale v o n D sind die Mengen Horn (t), tv) von E n d o morphismen v o n t), die ü i n feste ß-Gitter tv < t) abbilden. Horn (ö, ft>) ist genau dann maximales Linksideal von D , falls it) bezüglich rj die Elementarteiler (s. Satz 2) ß , . . . , ß , p besitzt (p = einziges Primideal v o n ß ) . Horn (t), tp) ist daher genau dann ein Ideal *ß , wenn tv die Elementarteiler ß , . . ., ß , pj besitzt. 0 0 (v) D a m i t ist (3. 2) evident. Weiter besitzt ein Modul D / $ reihe, ist also sicher unzerlegbar. n u r eine Kompositions- ( v ) Umgekehrt ist jeder unzerlegbare endlich erzeugte M o d u l nach Satz 1, u n d weil D Hauptidealring ist, v o n der F o r m D/93. Sei 93 = Horn (ü, tv). A u s dem folgenden t r i vialen Hilfssatz liest m a n ab, daß höchstens ein Elementarteiler v o n tv bezüglich t) v o n ß verschieden sein darf. Hilfssatz. Sind S , ® volle Linksideale Abbildung von Q mit & + = so ist die natürliche D/(S ^ © -> D/K 0 D/® M/efeiV. 93 muß also v o n der F o r m sein. Literatur [1] M. Ausländer and 0. Goldman, Maximal orders, Trans. Amer. Math. Soc. 97 (1960), 1—24. [2] N. Bourbaki, Algebre commutative, Chap. II. Act. Sei. Ind. 1290. Paris 1962. [3] H. Cartan and S. Eilenberg, Homological algebra, Princeton 1956. 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