Journal für die reine und angewandte Mathematik
Herausgegeben v o n H e l m u t Hasse u n d H a n s R o h r b a c h
Verlag Walter de Gruyter & Co., Berlin 30
Sonderabdruck aus Band 226, 1967. Seite 175 bis 183
Elementarteilertheorie über Maximalordnungen
V o n Manfred Knebusch i n H a m b u r g
Die Elementarteilertheorie über Dedekindringen (s. [4], S. 31 ff. u n d die dort angegebene L i t e r a t u r , ferner etwa [8], S. 214ff.) läßt sich, wie i n dieser Note demonstriert
werden soll, weitgehend auf Gitter über Maximalordnungen halbeinfacher assoziativer
Algebren übertragen.
Für anregende Diskussionen b i n i c h H e r r n H . Jacobinski zu Dank verpflichtet.
Bezeichnungen und Problemstellung
Sei o ein Dedekindring, K sein Quotientenkörper, C halbeinfache Algebra endlicher
Dimension über K, D eine M a x i m a l o r d n u n g von C über o. Die M i n i m a l n o r m v o n C über
K bezeichnen w i r m i t N(x).
M u n d N < M seien fest vorgegebene, endlich erzeugte D - L i n k s m o d u l n , die als
O-Moduln torsionsfrei seien (,,Gitter"). W i r denken uns M i n V: = K ® M eingebettet:
0
V = KM. W e i l D hereditär ist (s. [1], S. 5), sind M, N nicht nur über o, sondern sogar
über D projektiv. (Es läßt sich leicht ein freier D - M o d u l konstruieren, der M umfaßt.)
Ferner läßt sich M i n eine direkte Summe v o n M o d u l n zerlegen, die z u Linksidealen
von D isomorph sind ([7], S. 330, [3], S. 13).
W i r fragen n u n nach Zerlegungen v o n M dieser A r t , die auch auf N direkte Zerlegungen induzieren, ferner nach durch geeignete Simultanzerlegungen definierbaren
Invarianten des Modulpaares (M, N).
M/KN
KN r\ M ist direkter Summand v o n M.
r\ M zerfällt die exakte Sequenz
Denn wegen der Projektivität v o n
0-> KN ^ M-> M - > M\KN ^ j | f - > 0 .
Daher können w i r v o n vornherein KN = KM
annehmen.
Besitzt D Nullteiler, so läßt sich jede Zerlegung v o n M durch die entsprechende
Zerlegung eines zugehörigen . ^ - G i t t e r s M beschreiben, wobei Q eine durch D gegebene
nullteilerfreie Maximalordnung ist (s. § 2 Anfang). Trotzdem ist es nicht zweckmäßig,
nur nullteilerfreie Maximalordnungen z u betrachten, denn bei Lokalisierung nach P r i m idealen von o treten i m allgemeinen doch wieder Nullteiler auf. Ebensowenig ist es zweckmäßig, gleich nach Simultanzerlegungen i n unzerlegbare M o d u l n zu fragen, weil auch
Unzerlegbarkeit keine unter Lokalisierungen invariante Eigenschaft ist. Statt dessen
setzen w i r zunächst ( § 1 ) voraus, daß V freier C - M o d u l ist und suchen nach Zerlegungen
des Paares (ilf, iV), deren Summanden über K z u C isomorph werden.
x
x
E s zeigt sich, daß solche Zerlegungen stets existieren (Satz 1). E s gibt also eine
freie Basis
v o n V über C u n d Linksideale 91*, 93, v o n £), die über K ganz C
aufspannen (,,volle Linksideale"), so daß
(*)
M = %
X
+ •• • + 9t z ,
n
l
N = 9 3 ^ + •••+ 9 3
n
Ä
w i r d . Wegen M > N sind die i m Brandtschen G r u p p o i d gebildeten
9t,: = 9t^~ 93 (i = 1, . . w) ganz, u n d es läßt sich überdies erreichen, daß
1
Quotienten
i
(**)
NW )
N(3t )
X
H
ist. Ist i n D jedes volle Linksideal Hauptideal, so läßt sich (*--#) sogar z u der Beziehung
9 ^ > • • • > 9t» verbessern (s. Absatz vor Satz 4).
Trotz der Forderung (-#-#) können die iV(9ti) bei verschiedenen Zerlegungen verschieden ausfallen. S t i m m t o m i t dem Z e n t r u m v o n £) überein, so t r i t t dieses Phänomen
über £) genau dann auf, wenn v o n den Komplettierungen v o n D nach den Primidealen
von o mindestens eine Nullteiler besitzt.
M a n kann Eindeutigkeit der iV(9^) dennoch erzwingen, indem man sich auf
„kanonische Zerlegungen von (M, N) (s. Definition S. 178) beschränkt.
44
A u s den genannten Resultaten gewinnen w i r i n § 2 m i t Leichtigkeit entsprechende
Sätze über Simultanzerlegungen v o n M u n d N i n unzerlegbare Gitter.
In § 3 gehen w i r noch kurz auf die Theorie der endlich erzeugten Torsionsmoduln
über einer M a x i m a l o r d n u n g ein.
§ 1. V sei freier C-Modul
Satz 1. Es gibt eine freie Basis x , . . ., x von V über C und volle Linksideale
(i = 1, . . ., n) von D , so daß
x
n
M = 9 1 ^+ ••- + 9l z ,
(*)
n
N = 9 3 ^ + • • • + 93 z
n
n
91^, 93
n
ist und für die Idealquotienten 9 t : = 9fr 93*
1
£
{**)
NWtJ
> • • • > N(?R )
n
gilt
E h e w i r diesen Satz beweisen, studieren w i r die A b s p a l t u n g direkter, zu vollen
Linksidealen v o n isomorpher Summanden v o n einem Gitter M.
Sei x € V freies Element v o n 7 , d. h. es sei cx #= 0 für jedes c 4= 0 aus C. 9t bezeichne den „Koeffizienten
44
Koeff (x, M):
= {c € C \ cx € M)
v o n x bezüglich M. M rs Cx = 91a;.
W e i l M/SHx projektiv ist, haben w i r direkte Zerlegungen
(1. 3)
m
it
V': =
M = 91* 0 M',
V = Cx 0 V
KM'.
Ausgehend v o n einer beliebigen Zerlegung V = Cx 0 V" v o n F (# frei), fragen w i r
umgekehrt: W a n n ist M = S&x ^ M' m i t M': = V ^ Af ? Das ist genau dann der F a l l ,
wenn es z u der exakten Sequenz
0-+ M'
M ——>
<p \ M
«o>(s) ^ 0
1
(<p: = kanonische A b b i l d u n g v o n V auf V/V, 9t: = Koeff (<p{x), <p(M))) einen Schnitt
S8Lq>{x) -> M m i t tp(x)-+x gibt. Dieser Schnitt läßt sich nur auf eine Weise definieren und
existiert genau dann, wenn 9t£ < M, d. h. 9t < 9t ist. Andererseits ist stets 9t < 91. W i r
fassen zusammen:
Lemma 1. V = Cx 0 V sei direkte Zerlegung von V in freie Summanden,
kanonische Abbildung von V auf V/V. Dann gilt für 91: = Koeff (x, M) und
q? die
9t: = Koeff (q>(x),<p(M)):
(1. 4)
9t < 91,
(1. 5)
9t = 9t
M = 91a; 0 (V ^
M).
Sei p Primideal =#0 von o, o der Bewertungsring zu p i n K. Allgemein bezeichnen
wir für ein o-Gitter G m i t G die Lokalisierung o ® G = o G c # G v o n G an der
p
p
Stelle p. Für unser D-Gitter M ist M
von V:
ein D - G i t t e r . E s gilt für ein freies Element x
p
p
(1. 6)
p
p
Koeff (x, M ) = ' Koeff (z, il/) .
p
p
Lemma 2. Ist x freies Element von V, p ein Primideal
(4=0) von o, SO
jedes
Element x einer kleinen Umgebung von x bezüglich der zu p gehörigen Topologie von V
wieder freies Element mit Koeff (x, M ) = Koeff (x
M ).
x
x
p
ly
p
Beweis. x läßt sich zu einer freien Basis x , . . ., x von V über C ergänzen, so daß
M = 9t z + • • • + W n
geeigneten vollen Linksidealen 91* v o n D i n C.
Liegt x = X x + - • • A :r (A, € C) bezüglich p nahe an x d. h. X nahe an 1, die anderen
X nahe an N u l l , so ist X sicher invertierbares Element v o n C. Daher ist dann x frei.
Ferner ist
x
1
p
x
w
x
1
n
x
M
x
i
i
r
d
m
i
n
t
p
n
u
x
x
Koeff (x, M ) =
v
{* I
fl
^ ")
SU" = (
W
1
+ •••+ W ) "
sofern A Einheit der Rechtsordnung von 9t ist und k^r
Das läßt sich bei guter A p p r o x i m a t i o n erreichen, q. e. d.
x
= *
l
t
<• 91^ für i = 2 , . . ., n ist.
1
x
1
Beweis von Satz 1. a) Für ein beliebiges freies Element x v o n V schreiben w i r
9 t : = Koeff (x, M), 93,: = Koeff (x, N), 9 t , : = 9t" 93*. M i t a : = {* 6 o | ocM < iV} gilt
stets a 9t, < 93* < 9t*. Anwendung der M i n i m a l n o r m liefert: a < # ( 3 y c
(r: = Grad
des Minimalpolynoms v o n C). Somit bilden die N(?H ) eine endliche Menge, und es ist
in der üblichen symbolischen Schreibweise
1
z
r
0
X
(1.7)
N(M )==n N(dl ) .
x
a
x p
W i r suchen jetzt zu jedem p | a ein freies Element y v o n F , für das i V ( 9 t ) m a x i m a l
ausfällt. Diese y können wir gleichzeitig, jedes i n der zu dem entsprechenden p gehörigen
Topologie, durch ein Element x von V beliebig genau approximieren (schwacher A p p r o x i mationssatz). Nach L e m m a 2, (1. 6), (1. 7) ist x bei guter A p p r o x i m a t i o n freies Element
von V und N($i )
Teiler jedes anderen
N($l ).
yp
p
p
p
x
x
Xi
x
b) Statt 9t , 93^, 9t,, schreiben w i r jetzt kurz 9 t 93 , 9 V Sei M = 9 1 ^ 0 M'
eine beliebige Zerlegung von M zu x (vgl. (1. 3)). Angenommen es ist nicht
Xi
1?
x
x
N =
93 z 0(M'^7V).
1
1
Nach L e m m a 1 bedeutet dies: Ist <p die kanonische A b b i l d u n g von V auf V\KM\ so ist
%:
x
Journal für Mathematik. Band 226.
=
Koetf(<p(x ),cp(N))>% .
x
x
23
Andererseits zerfällt die exakte Sequenz
d. h . es gibt sicher ein freies x[ i n V m i t <p{x{) = cp(x ), Koeff (x[, N) = )Ö . N a c h (1. 4)
ist Koeff (x[, M) < Sm . N u n zeigt sich der gewünschte W i d e r s p r u c h :
<
x
1
x
also
? iVCSRJ. E s ist also doch
3f =
© M',
N = 9 3 ^ ! 0 Af' ^ i V .
AT u n d M' r\ N lassen sich i n gleicher Weise weiterzerlegen. W i r erhalten so schließlich
eine Zerlegung
(-X--X-) ergibt sich unmittelbar aus dem benutzten Verfahren.
Satz 2 (vgl. [7], S. 479). Sei £) Maximalordnung
einer Divisionsalgebra,
pletter diskreter Bewertungsring.
Dann treten in jeder Zerlegung (-X-) von (M,N),
(-X--X-) oder die damit gleichwertige Aussage
gilt, die gleichen Ideale 3t auf
i
o komfür die
(„Elementarteiler").
Beweis. Jedes Ideal v o n £) ist zweiseitig und Potenz des einzigen maximalen Ideals
v o n £). Die M o d u l n 9t /33 ^ D/St* sind daher alle unzerlegbar. M a n wende den Satz
v o n K r u l l - S c h m i d t auf MjN an.
f
f
Zusatz. Ist (M', N') ein weiteres Modulpaar m i t dem gleichen System v o n E l e m e n tarteilern wie (M, N), so gibt es einen Isomorphismus v o n M auf M', der N auf N'
abbildet.
I m allgemeinen sind jedoch die i V ^ ) i n einer Simultanzerlegung (-*) v o n (M, N),
für die (-*-*) gilt, nicht eindeutig bestimmt, (s. Satz 3). W i r können n u r feststellen,
daß das P r o d u k t NffiJ
• • • iV(9t ) nicht v o n der W a h l der Simultanzerlegung abhängt.
Ist nämlich ohne Einschränkung der Allgemeinheit C zentral einfach über K v o n der
Dimension m , so gilt für das Ordnungsideal (M: N) v o n M/N, betrachtet als o-Modul
(s. [5], S. 80):
n
2
(1. 8)
(M: N) = (iV(3ft ) • • • iV(SR )) .
A
m
M
Die Eindeutigkeit der Ideale NffiJ
läßt sich dennoch erzwingen, indem m a n sich auf
Zerlegungen (-*) beschränkt, die nach dem i m Beweis v o n Satz 1 benutzten Verfahren
gewonnen werden können.
Definition. KN = KM = V sei freier C - M o d u l . Für jedes freie Element x v o n V
bezeichne 9 ^ den Quotienten Koeff (x, M)~ Koeff (x, N).
l
E i n e Simultanzerlegung (-*) v o n M, N heiße kanonisch, wenn über (-#-*) hinaus
g i l t : iV(9t,) teilt N($l ) für jedes freie Element x v o n Cx + • • • + Cx .
x
x
n
Satz l a . Ein Paar (M, N) von D-Gittern mit N<M
und KN = KM = freier
C-Modul besitzt stets kanonische Simultanzerlegungen
(-X-). Die Nffii) fallen bei jeder solchen
Zerlegung gleich aus.
Beweis. E s ist n u r noch die eindeutige Bestimmtheit der iV^St,) z u zeigen. Z u einem
P r i m i d e a l p 4= 0 v o n o erhält m a n aus einer kanonischen Zerlegung v o n (M, N)
sofort
eine kanonische Zerlegung der zugehörigen komplettierten Lokalisierungen M ,
p
N
p
(s. L e m m a 2). Gehören z u der Zerlegung v o n (M, N) die Ideale iV(9ti), so zur letzteren
Zerlegung deren Komplettierungen iV(9t,) .
p
Z u m Beweis der Eindeutigkeitsaussage i n Satz 1 a können w i r daher annehmen,
daß o diskreter kompletter Bewertungsring ist, ferner, wie m a n sich leicht überlegt,
r
daß C zentral einfach über K ist. D a n n ist £) =
m i t Matrixeinheiten e u n d
i
M a x i m a l o r d n u n g ü eines kompletten Schiefkörpers (s. z. B . [5], S. 100).
2
t,
tj
i =
Unsere Behauptung ergibt sich n u n als Folge des Elementarteilersatzes für üM o d u l n (s. Satz 2).
Zunächst können w i r i n der Simultanzerlegung (-#) v o n M, N annehmen:
» ! = « , = ••• = » „ = £ > .
M a n braucht dazu n u r die x m i t geeigneten Skalaren z u multiplizieren. D i e i V ^ )
ändern sich dabei nicht.
t
Die 33 sind v o n der F o r m
f
(1.9)
i
33,=
1
V =
f
m i t I = 2 Qe
1= i
v
}v
u n d ß-Idealen £ °. Indem w i r die x noch u m eine E i n h e i t v o n D
(
r
i
r
der F o r m 2
V =
e ,„( m i t passender Permutation n der Indizes 1, . . ., r abändern, erreichen
v
1
V)
wir:
(1.10)
(1 = 1 , . . . , * ) -
A u s der Maximalität der
N(%) = h
(1. H )
(N = N o r m v o n
N (iP)
0
0
KQfK)
V = 1
folgt weiter
(1.12)
8«^*?
+ 1
>
=
denn z. B . für
X =
6 X
11
i
-f-
t -\,r-\ i
* * • +
r
X
H~~
rl i+l
e
x
ergibt sich
# (».)
Die ^
= N (Z?)
0
• • • tf (*£i) ^ o ( 4
0
i+1)
) ^ #(«<) .
sind somit die Elementarteiler des ß-Moduls
eN
n
= © {^ e x
)
ll
i
© • •• ©
^ „ a ; , )
i= l
bezüglich
n
e 7 l f = © (Qe x
n
ll
i
© •••©
Qe^Xi)
i n der richtigen Reihenfolge. Daher sind die gj? u n d nach (1. 11) ebenso die iV(9t,) durch
(M, N) eindeutig bestimmt.
Nffii)
Definition. Die bei einer kanonischen Simultanzerlegung v o n (ilf, N) auftretenden
wollen w i r die Elementarnormen
des Modulpaares (ilf, N) nennen.
W i r fragen jetzt: Für welche Maximalordnungen ist jede Simultanzerlegung
eines beliebigen Modulpaares (Af, iV), für die (-*-#) gilt, kanonisch?
(-*)
Zunächst notieren wir das aufgrund des Beweises von Satz 1 evidente
Korollar zu Satz l a . Eine Zerlegung (-*) von M, N bei der für jedes i = 1, . . ., n
die i-te Elementarnorm
von M, N ist ), ist kanonisch.
Nffii)
1
Beweis. Wegen der Maximalität von i V ^ ) können w i r für eine kanonische Zerlegung x als erstes Basiselement benutzen. Weiter können wir den komplementären
Summanden von SH x i n M beliebig wählen (s. Beweis v o n Satz 1). W i r wählen i h n als
%x
+ • • • + 2l ^nmaximale N o r m N($t ) mit freiem x aus Cx + • • • + Cx
ist die zweite Elementarnorm iV(3ft ). W i r können also x als zweites Basiselement
wählen, etc.
x
1
2
2
n
1
D i e
x
2
2
n
2
Satz 3. C sei zentral einfach über K.
1. Ist für jedes Primideal p 4= 0 von o die Komplettierung D von D nullteilerfrei,
so ist jede Simultanzerlegung
(-#) eines Paares (M, N) von D~ Moduln
mit N <z M,
KN = KM = freier C-Modul, für die (-#-*) gilt, kanonisch.
p
mit
2. Anderenfalls gibt es in jedem freien C-Modul V c± C Paare (M, N) von
KN = KM = V, die unkanonische Zerlegungen (-#) besitzen, für die
(**)
D-Gittern
immerhin
gut.
Bemerkung. Satz 1. a und Satz 3. 1 liefern für D = o den Elementarteilersatz über
D ed ekindringen.
Beweis. 1) A u s Satz 2 und dem soeben formulierten K o r o l l a r folgt sofort, daß jede
Zerlegung (-#) von (M, N), für die
gilt, kanonisch ist, sofern o kompletter diskreter
Bewertungsring und £) Divisionsalgebra ist. W e i l allgemein eine Zerlegung (#-) genau
dann kanonisch ist, wenn die zugehörigen Zerlegungen der komplettierten M o d u l n
M,
N für jedes P r i m i d e a l p 4= 0 von o kanonisch sind (s. L e m m a 2), ist d a m i t der
erste T e i l der Behauptung klar.
p
p
2) Sei V =
© Cx ,
Dp Nullteiler besitzt: D
W i r betrachten ein P r i m i d e a l (3 # 0
n^>2.
x
das
2
Üe m i t Matrixeinheiten e {r 2> 2) und Q = M a x i m a l i, 7 = 1
_
Ordnung einer Divisionsalgebra über K (s. z. B . [5], S. 100). W i r definieren D - G i t t e r
p
=
von o, für
tj
{j
p
M':=
Dp^H
+
£) x„,
v
(1.13)
Die 93* seien dabei ganze £> -Ideale, die wir so wählen, daß (-X--X-) und für die den 93*
vermögen (1. 9) zugeordneten ß-Ideale 3 (1. 10) gilt, aber (1. 12) für mindestens ein i
verletzt w i r d . Die Zerlegung (1. 13) ist dann sicher unkanonisch (s. Beweis von Satz 1. a).
W i r bilden weiter
p
( {)
v
(1. 14)
M:=
Dx -1
t
mit den durch
x
) Wegen (1. 8) genügt es, (n — 1) der N(%)
zu kennen.
(-
Dx„
Abschließend sei bemerkt, daß, falls in D jedes volle Linksideal Hauptideal ist, bei einer
kanonischen Zerlegung (•#) eines beliebigen Gitterpaares (M, N) die x sich u m skalare
F a k t o r e n so abändern lassen, daß über (-##-) hinaus
i
gilt. Über einer beliebigen Maximalordnung D gilt nämlich
Satz 4. M und N <. M seien $0-Gitter mit KM = KN = freier C-Modul.
kanonische Zerlegung von M, N, bei der alle 93 * = D seien ). Dann ist
(-)(-) sei
Beweis. Ist (-*) kanonische Zerlegung v o n (itf, TV), so ist für beliebige
i , / = 1, . . ., r m i t i < j
Indizes
2
M
if
:=
+
:= »
N
tj
+ 93^-
Ä
kanonische Zerlegung des so definierten Gitterpaares (M ,N ).
Satz für n = 2 zu beweisen. A u s der kanonischen Zerlegung
{j
M =
+ 9I :r ,
2
iV = D ^ +
2
Somit genügt es, den
{j
£x
2
liest m a n n u n für x = x + x a b : 91, = Six ^ 9 l , 93, = D . Somit ist
x
2
2
SRJI
^
=
Wegen der Maximalität v o n NffiJ
^ a
< «
2
= an- .
1
x
muß 9t ^ a = 9 ^ , also 9 l ^ 91 sein.
x
2
2
q. e. d.
x
§ 2. V beliebiger C-Modul
W i r suchen jetzt nach Simultanzerlegungen v o n M, N i n unzerlegbare Summanden
und nehmen ohne wesentliche Einschränkung der Allgemeinheit C als einfach an.
C ist voller M a t r i x r i n g über einer Divisionsalgebra D. N a c h W a h l einer beliebigen
M a x i m a l o r d n u n g Q i n D können w i r 0 i n der Gestalt
(2.1)
m i t Matrixeinheiten e
D =
{j
©i®," ^
i
1
i,;' = l
und Rechtsidealen & von ß schreiben (s. [4], S. 18).
t
&v bezeichne die Linksordnung v o n ©
Jede Zerlegung des D-Gitters M spiegelt
sich i n der entsprechenden Zerlegung des ß -Gitters M := e M wider. E s ist nämlich
v
(1)
(2. 2)
M=
2]e M=
{1)
&,
e
1
ii
r'
i=
=l
n
n
1
Indem w i r Satz 1. a, das K o r o l l a r dazu u n d Satz 3 auf i l f , 7V anwenden, erhalten w i r
mühelos die folgenden Sätze 5 und 6. W i r definieren d a z u :
(1)
(1)
W sei unzerlegbarer C-Teilraum #=0 von V, x bezeichne
(M rs W: N
W) v o n M rs WjN ^ W, aufgefaßt als o-Modul.
das Ordnungsideal
w
E i n e Simultanzerlegung
(2. 3)
M = M
x
N = N
x
2
) Gebraucht wird nur, daß alle 93* gleich sind.
0 •••0
M
0 •••0 N
t
t
(N
t
=
M^N)
i n unzerlegbare M o d u l n M , N\ heiße kanonisch, falls x : = (M : N ) Teiler v o n x für
jeden unzerlegbaren Teilraum ff+O v o n KM
+
h KM ist. Insbesondere ist dann
{
{
t
i
(2.4)
t
w
t
t^-'-^r,.
Satz 5. C sei einfach, M und N < M seien D-Gitter
mit KM
—
KN.
Dann gilt: M, N besitzen kanonische Simultanzerlegungen
in unzerlegbare
Moduln.
Die x fallen dabei stets gleich aus („Elementar indizes" von (M, N)). Eine
Simultanzerlegung (2. 3) von (M, N), bei der (M : N ) der i-te Elementarindex von (M, N) für jedes
i = 1, . . ., t ist, ist kanonisch.
t
t
t
Satz 6. Sei C zentral einfach über K. Sei D die zu C gehörige
Divisionsalgebra.
1. Ist für jedes Primideal p 4= 0 von o die Komplettierung D von D
nullteilerfrei,
so ist jede Simultanzerlegung
(2. 3) eines beliebigen Paares (M, N) von D-Gittern
mit
N < M, KN = KM, für die (2. 4) gilt, kanonisch.
p
2. Anderenfalls gibt es in jedem zerlegbaren C-Modul
V ein Paar von
D-Gittern
(M, N) mit KN = KM, das eine unkanonische Zerlegung (2. 3) besitzt, für die trotzdem
(2. 4) gilt.
§ 3. Torsionsmoduln
A u s Satz 1 folgt, daß jeder endlich erzeugte D - M o d u l T, der über o nur Torsionselemente besitzt („Torsionsmodul über £)"), direkte Summe von M o d u l n 31/93 m i t vollen
Linksidealen 9t ^ 93 ist.
Die Lokalisierung T : =
ü
ihrer
_
Komplettierung
T ®
rv von T zu einem P r i m i d e a l p von o s t i m m t m i t
0
T •= 7 ® cL überein.
Teilt
1
o
a : = { A € o | A r = 0} v o n T i n o, so ist T
nicht
das Annullatorideal
= 0 . Daher ist die natürliche A b b i l d u n g
p
(3.1)
p
T-> 0
Pia
T,
v
eine Bijektion. (Injektivität: [2], S. 112, Surjektivität m i t starkem Approximationssatz.)
Für eine Klassifikation der endlich erzeugten Torsionsmoduln brauchen w i r nach
dem Satz v o n K r u l l - S c h m i d t nur die unzerlegbaren unter ihnen zu kennen.
Satz 7. Die unzerlegbaren endlich erzeugten Torsionsmoduln
4=0 über
Moduln der Form D/^5 mit maximalen Linksideal *ß von D und beliebigem
v>0.
Dabei bezeichne *ß das eindeutig durch $ bestimmte Produkt * ß $
Brandtschen Gruppoid, bei dem alle Faktoren zusammengehörige Ideale (s. [5],
(y)
(v)
2
D sind die
Exponenten
- - - ^ ß „ im
S. 77) sind.
Ist C einfach, so gilt:
(3. 2)
£)/$<'> ^ D/Q<">
N{%^)
=
N(D ).
ifi)
Beweis. Ist T unzerlegbar, so s t i m m t T aufgrund der B i j e k t i o n (3. 1) m i t seiner
einzigen Lokalisierung T
p
#= 0 überein. W i r können daher von vornherein — auch für
den Beweis v o n (3.2) — 0 als kompletten diskreten Bewertungsring voraussetzen ).
3
Ferner können w i r annehmen, daß C einfach ist.
D läßt sich deuten als Endomorphismenring eines Linksgitters t) über der M a x i m a l ordnung ü eines Schiefkörpers über o. Die Endomorphismen operieren dabei v o n rechts
8
) Insbesondere brauchen wir Satz 1 nur für diesen besonders einfachen Fall.
auf i>. Die vollen ganzen Linksideale v o n D sind die Mengen Horn (t), tv) von E n d o morphismen v o n t), die ü i n feste ß-Gitter tv < t) abbilden. Horn (ö, ft>) ist genau
dann maximales Linksideal von D , falls it) bezüglich rj die Elementarteiler (s. Satz 2)
ß , . . . , ß , p besitzt (p = einziges Primideal v o n ß ) . Horn (t), tp) ist daher genau dann
ein Ideal *ß , wenn tv die Elementarteiler ß , . . ., ß , pj besitzt.
0
0
(v)
D a m i t ist (3. 2) evident. Weiter besitzt ein Modul D / $
reihe, ist also sicher unzerlegbar.
n u r eine Kompositions-
( v )
Umgekehrt ist jeder unzerlegbare endlich erzeugte M o d u l nach Satz 1, u n d weil D
Hauptidealring ist, v o n der F o r m D/93. Sei 93 = Horn (ü, tv). A u s dem folgenden t r i vialen Hilfssatz liest m a n ab, daß höchstens ein Elementarteiler v o n tv bezüglich t) v o n
ß verschieden sein darf.
Hilfssatz. Sind S , ® volle Linksideale
Abbildung
von Q mit & +
=
so ist die natürliche
D/(S ^ © -> D/K 0 D/® M/efeiV.
93 muß also v o n der F o r m
sein.
Literatur
[1] M. Ausländer and 0. Goldman, Maximal orders, Trans. Amer. Math. Soc. 97 (1960), 1—24.
[2] N. Bourbaki, Algebre commutative, Chap. II. Act. Sei. Ind. 1290. Paris 1962.
[3] H. Cartan and S. Eilenberg, Homological algebra, Princeton 1956.
[4] CI Chevalley, I/arithm6tique dans les algebres de matrices, Act. Sei. Ind. 323. Paris 1936.
[5] M. Deuting, Algebren, Berlin, Göttingen 1935.
[6] /. Kaplansky,
Elementary divisors and modules, Trans. Amer. Math. Soc. 66 (1949), 464—491.
[7] J . Kaplansky,
Modules over Dedekind rings and valuation rings, Trans. Amer. Math. Soc. 72 (1952), 327—340.
[8] 0. T. O'Meara,
Introduction to quadratic forms, Berlin-Göttingen-Heidelberg
Eingegangen 23. November 1965
1963.
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