Kurvendiskussion mit dem CAS

Kurvendiskussion mit dem CAS
Die Bewegung eines Fahrstuhls wird in der Zeit zwischen 4 Sekunden und 8 Sekunden durch
folgende Funktion beschrieben:
f ( x)  x 3  18 x 2  104 x  188
x: Zeit in Sekunden
f(x): Weg in Meter
Ziel ist es herauszufinden, in welchen Höhen und zu welchen Zeiten die Fahrtrichtung gewechselt wird, d. h. wo die lokalen Minima (Tiefpunkte) und Maxima (Hochpunkte) liegen.
Die Berechnungen werden mit dem CAS ausgeführt:
  1. Abspeichern der Funktion in f(x):
  2. Berechnung der 1. Ableitung f ' ( x) und abspeichern in f1(x):
  3. Berechnung der 2. Ableitung f ' ' ( x) und abspeichern in f2(x):
  4. Bestimmung der Nullstellen der 1. Ableitung (Notwendige Bedingung für eine Extremstelle: Die Ableitung der Funktion hat an der Extremstelle eine Nullstelle. D. h. wenn wir die Nullstellen der 1. Ableitung bestimmen, haben wir mögliche
Kandidaten für eine Extremstelle der Funktion gefunden):
Es gibt also zwei mögliche Extremstellen bei x=4,84
bzw. x=7,15. Nun muss getestet werden, ob dies wirkliche Extremstellen oder Sattelpunkte sind.
  5. Test auf die hinreichende Bedingung mit der zweiten Ableitung:
Wenn die 2. Ableitung bei 4,84 kleiner als Null ist,
haben wir einen Hochpunkt, wenn sie größer als Null
ist, einen Tiefpunkt. Ist sie gleich Null, könnten wir
einen Sattelpunkt haben.
Die zweite Ableitung bei 4,84 ist -6,96 < 0, d. h. an der Stelle 4,84 ist ein Hochpunkt. Da die
zweite Ableitung an der Stelle 7,15 größer als Null ist, haben wir dort einen Tiefpunkt.
  5a. Test auf die hinreichende Bedingung mit dem Vorzeichenwechselkriterium. Wechselt das Vorzeichen in der Nähe der Nullstelle der ersten Ableitung von + zu -, dann liegt ein Hochpunkt
vor. Wir testen also den Wert der 1. Ableitung links
und rechts von 4,84 und 7,15:
Bei der Stelle 4,84 wechselt das Vorzeichen der 1. Ableitung von + zu – (0.10 zu -0.03), bei der Stelle 7,15 das Vorzeichen der 1. Ableitung von zu + (-0.10 zu 0.03), d. h. bei 4,84 ist ein Hochpunkt, bei 7,15 ein Tiefpunkt.
  5b. Test auf die hinreichende Bedingung mit der zweiten Ableitung mit einer Listenvariablen:
Möchte man das Quadrat von 3 Werten ausrechnen,
kann man wie folgt vorgehen:
Weniger Tipparbeit kann man durch eine Listeneingabe erreichen:
Man kann Zahlen in einer Listenvariable speichern
und dann die Funktion aufrufen:
Entsprechend speichern wir das Ergebnis der Nullstellensuche in eine Listenvariable mit Namen „nullst“,
und berechnen dann den Wert der zweiten Ableitung
an den Stellen:
  6. Bestimmung der y-Koordinaten der Hoch- bzw. Tiefpunkte:
Dazu muss der Funktionswert an den Nullstellen der 1.
Ableitung berechnet werden:
Damit haben wir folgendes Ergebnis (Werte auf zwei
Stellen gerundet):
Hochpunkt:
Tiefpunkt:
HP(4,85 | 7,08)
TP(7,15 | 0,92)
  7. Zeichnung:
Im Y-Editor wird als Funktion bei Y1 eingegeben:
f(x):
Es interessieren die Werte zwischen 4 und 8 Sekunden, d. h. wir wählen in der Window-Einstellung
xmin=4 und xmax=8:
Anschließend gucken wir uns den Graphen mit ZoomFit an:
Geogebra-Darstellung:
f ' ( x)
f (x)
f ' ' ( x)
f ' ' (7,15)  0
Hochpunkt (4,85 | 7,08)
f ' ' (4,85)  0
Nullstellen der 1.
Ableitung, VZW
Tiefpunkt (7,15 | 0,92)
Der Fahrstuhl wechselt bei 4,85 Sekunden und 7,08 Meter Höhe die Fahrtrichtung. Bei 4,85
Sekunden hat er die Geschwindigkeit Null. Danach fährt er mit negativer Geschwindigkeit
(nach unten!). Bei 7,15 Sekunden und 0,92 Meter Höhe hat er die Geschwindigkeit Null und
wechselt die Fahrtrichtung nach oben.
Aufgabe: Wann hat der Fahrstuhl die größte negative Geschwindigkeit?

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