数学 A2 累次積分と重積分

数学 A2 累次積分と重積分
問題 1. x を定数と見なし, y につ
いて定積分せよ.
∫ 2
(1)
y dy
∫
(2)
[
1
1
0
[
x
=
[
]y=2
=
xy
(3)
y=0
[
2y + y 2
=
[
1
xy + xy 2
2
=
[
2x2 y − xy 3
=
0
]2
y=1
∫
2
∫
2
2
=
問題 2. 累次積分を計算せよ.
∫ 1 ∫ 2
dx
y dy
(1)
3x
∫
0
1
=
0
∫
[ 1
]y=2
dx
y2
2
y=0
2 dx
=
0
]1
2x
0
=2
0
∫
2
=
]y=1
[
dx 2x2 y − xy 3
y=0
1
∫
2
=
1
=
[
= 12
∫ 2 ∫ 1
(5)
dx
(2x2 − 3xy 2 )dy
1
1
(
2x2 − x
)
[ 2
]2
1
x3 − x2
3
2
1
19
=
6
=
y=0
∫
3
(6x2 − 32x)dx
=
0
= −90
]2
0
= 2x − x
[
]y=2
dx 3x2 y − 2xy 4
= 2x3 − 16x2
6x dx
[
3
0
[
0
0
=
1 2 ]y=3
dx xy + xy
2
y=1
2
0
0
2
(3x2 − 8xy 3 )dy
dx
∫
[
=
∫
3
=
1
0
y=0
=4
12x
=
]y=1
0
D
= 24
∫ 2 ∫ 3
(4)
dx
(x + xy)dy
0
]1
4x2
=
∫
0
]y=3
0
(2) D : 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2
∫∫
(3x2 − 8xy 3 )dxdy
2
=
= 6x
∫ 1
(5)
(2x2 − 3xy 2 )dy
0
y=1
12 dx
[
= 12
∫ 3
(4)
(x + xy)dy
2y + y 2
0
=
y=1
1
dx
∫
]y=3
1
8x dx
[
]y=3
]y=2
y=0
0
(2 + 2y)dy
[
2xy 2
dx
∫
3
2
=
[
1
=
1
∫
4xy dy
0
=
∫
dx
0
= 2x
∫ 3
(2 + 2y)dy
(3)
1
∫
0
=1
∫ 2
2
dx
0
]1
2
∫
1
=
2x dx
xdy
0
D
∫
y=0
0
=
=2
∫ 2
]y=2
xy
dx
∫
問題 3. 次の重積分を計算せよ.
(1) D : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2
∫∫
4xy dxdy
xdy
0
∫
=
[ 1
]y=2
=
y2
2
y=0
2
dx
0
0
(2)
∫
1
dx
]3
0
数学 A2 累次積分と重積分
問題 1. x を定数と見なし, y につ
いて定積分せよ.
∫ 2
(1)
y dy
∫
(2)
[
1
1
0
[
x
=
[
]y=2
=
xy
(3)
y=0
[
2y + y 2
=
[
1
xy + xy 2
2
=
[
2x2 y − xy 3
=
0
]2
y=1
∫
2
∫
2
2
=
問題 2. 累次積分を計算せよ.
∫ 1 ∫ 2
dx
y dy
(1)
3x
∫
0
1
=
0
∫
[ 1
]y=2
dx
y2
2
y=0
2 dx
=
0
]1
2x
0
=2
0
∫
2
=
]y=1
[
dx 2x2 y − xy 3
y=0
1
∫
2
=
1
=
[
= 12
∫ 2 ∫ 1
(5)
dx
(2x2 − 3xy 2 )dy
1
1
(
2x2 − x
)
[ 2
]2
1
x3 − x2
3
2
1
19
=
6
=
y=0
∫
3
(6x2 − 32x)dx
=
0
= −90
]2
0
= 2x − x
[
]y=2
dx 3x2 y − 2xy 4
= 2x3 − 16x2
6x dx
[
3
0
[
0
0
=
1 2 ]y=3
dx xy + xy
2
y=1
2
0
0
2
(3x2 − 8xy 3 )dy
dx
∫
[
=
∫
3
=
1
0
y=0
=4
12x
=
]y=1
0
D
= 24
∫ 2 ∫ 3
(4)
dx
(x + xy)dy
0
]1
4x2
=
∫
0
]y=3
0
(2) D : 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2
∫∫
(3x2 − 8xy 3 )dxdy
2
=
= 6x
∫ 1
(5)
(2x2 − 3xy 2 )dy
0
y=1
12 dx
[
= 12
∫ 3
(4)
(x + xy)dy
2y + y 2
0
=
y=1
1
dx
∫
]y=3
1
8x dx
[
]y=3
]y=2
y=0
0
(2 + 2y)dy
[
2xy 2
dx
∫
3
2
=
[
1
=
1
∫
4xy dy
0
=
∫
dx
0
= 2x
∫ 3
(2 + 2y)dy
(3)
1
∫
0
=1
∫ 2
2
dx
0
]1
2
∫
1
=
2x dx
xdy
0
D
∫
y=0
0
=
=2
∫ 2
]y=2
xy
dx
∫
問題 3. 次の重積分を計算せよ.
(1) D : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2
∫∫
4xy dxdy
xdy
0
∫
=
[ 1
]y=2
=
y2
2
y=0
2
dx
0
0
(2)
∫
1
dx
]3
0

Download Report