演習(10)解答例
１．次の定数係数２階非斉次常微分方程式の特解を求めなさい．
(a) y ′′ − y = x [2 点]
(b) y ′′ + 2 y ′ − 3 y = cos x [3 点]
【解】
(a) 非斉次項の形から，特解を x の１次式 y = ax + b と仮定して代入すると， y ′′ = 0 より，
– (ax + b) = x，すなわち a = –1，b = 0．
特解は y = –x である．
(b) 非斉次項の形から，特解を y = asinx + bcosx と仮定して代入する．
− (a sin x + b cos x ) + 2(a cos x − b sin x ) − 3(a sin x + b cos x ) = cos x
整理すると，
− (4a + 2b )sin x + (2a − 4b ) cos x = cos x
係数を比較して，
4a + 2b = 0 ， 2a − 4b = 1
これを解いて，
a = 1/10，b = –1/5
特解は y =
1
1
sin x − cos x である．
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微分方程式 2016

演習問題1