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基礎物理数学演習第３回
２．１力とポテンシャル（偏微分）
偏微分で表現された物理現象は、様々な分野（講義科目）
に頻出。偏微分を解く、数値計算することが求められる。
力学（運動方程式）、熱力学（熱力学関係式）、
量子力学（波動方程式）、流体力学（エネルギー、物質）、
……
例：力学、電磁気学（力とポテンシャルの関係）
ポテンシャルエネルギー V：スカラー
力 F：ベクトル（方向と向き）
テキスト１３ページ
V(x,y,z)、 F(x,y,z)
位置 (x,y,z)
1
電子の波動関数
（原子の周りの電子分布）
2
3
ポテンシャル（位置）エネルギーと力の関係から偏微分を学ぶ
 mgz
GMm

２．重力によるエネルギー（2体間）
r2
Ze
３．電場によるエネルギー（原子核と電子）  
r
１．重力によるエネルギー（地上）
対応する力（方向と向きを持つ）
１．重力による力（地上）
２．重力による力（2体間）
３．電場による力（原子核と電子）
テキスト１３ページ
 mg
GMm
 2
r2
Ze
 2
r
4
ポテンシャルエネルギーと力（保存力）の関係
ポテンシャルエネルギー V(x,y,z) の定義:
そのポテンシャル内にある物体（ポテンシャルによって力
F が生じる）を、ある位置（x）から別の位置（x+dx）まで移動
させた時、その力のする仕事と定義される。
V ( x  dx, y, z)  V ( x, y, z)   Fx dx
定義
V ( x  dx, y, z )  V ( x, y, z )
Fx   lim
dx0
dx
V ( x, y, z )

x
偏微分
テキスト１４ページ
(2.1)
(2.2)
5
偏導関数（偏微分係数）と呼ぶ。
ポテンシャルエネルギー V(x,y,z) は、 y と z の関数でもあるが、
xに関する偏微分を行う時、 y と z は一定（定数）とみなされる。
これを明示するため、
V ( x, y, z )
Fx  (
) y,z
x
(2.3)
と書かれる。
同様に、y、zの偏微分に関して次のように書かれる。
テキスト１４ページ
V ( x, y, z )
Fy  (
) x, z
y
(2.4)
V ( x, y, z )
Fz  (
) x, y
z
(2.5)
6
例題１
地上での重力の問題（テキスト参照）
例題２
ポテンシャル場内で物体に働く力の問題
まず、x 方向の力について、
V ( x, y, z )
dV r
Fx  (
) y,z  
x
dr x
k
2x
 ( 2 )(
)
r 2 x2  y2  z 2
k
 2
r
テキスト１４ページ
x
k x
 2
2
2
2
r r
x y z
7
例題２続き（ y、zの力（偏微分）も同様に）
k x
Fx  2
r r
k y
Fy  2
r r
k z
Fz  2
r r
F は、ベクトル（向きと方向を持つ）なので、




F  Fx i  Fy j  Fz k

 
k xi  yj  zk
 2
r
r

 

なお、 xi  yj  zk は、大きさ1の r 方向のベクトル。

単位ベクトル n と表記。
r
  

位置ベクトル r  xi  yj  zk
テキスト１５ページ
8
偏微分以外の準備（ベクトル(内積) 、行列、積分）

B
q
内積

A
 
   
A B
cos q   
A  B  A B cos q
AB

2
  2
A A
A A  A
   
A B  B  A
  
   
A  (B  C)  A  B  A  C
9
  
直交座標系の基本ベクトル： i , j , k
     
i i  j  j k k 1
     
i  j  j k  k i  0
基本ベクトルを用いて表現




A  Ax i  Ay j  Az k




B  Bx i  By j  Bz k
 
A  B  Ax Bx  Ay By  Az Bz
2
2
2
2
A  Ax  Ay  Az

A 方向の単位ベクトルについて：

 A

n 
n 1
A




n  n x i  n y j  nz k
2 2
n  nx  ny2  nz2  1
11
関数行列式（ヤコビアン）について
独立変数 x, y, z 、3つの関数 f ( x, y, z ), g ( x, y, z ),
h( x, y, z ) に対して、
f
x
 ( f , g , h) g

 ( x, y, z ) x
h
x
f
y
g
y
h
y
f
z
g
z
h
z
と定義される。
12
行列式の計算（[問題2.7]、 [問題2.8] ）
f
x
g
x
h
x
f
y
g
y
h
y
f
z
fx
g
 gx
z
hx
h
z
fy
fz
gy
gz
hy
hz
 f x g y hz  f z g x hy  f y g z hx
 f x g z hy  f y g x hz  f z g y hx
13
ヤコビアン J の使用例
変数変換（2次元直交座標系→極座標系）
y
x  r cos q
q
D
[問題2.7]
R
x
y  r sin q
 ( x, y )
J
r
(r ,q )
円の面積 =

dxdy  

2
D
2
0
0

R
0

R
0
J drdq
rdrdq
R2
2
 2
 R
2
14
積分について（力とポテンシャルエネルギーの関係）

 
V (r )
F (r )   
r
 
r

 
V (r )   F (r )  dr
r0
(2.6)
(1.20)を積分して

 
  
r2  
r

 
1
r1 F (r )  dr  r0 F (r )  dr  r0 F (r )  dr


2
2
r2
d r  r1 d r 
  m 2 dr   m 2 dr
r0
r0
dt
dt


2
2
t2
t1
d r dr
d r dr
 m 2
dt   m 2
dt
t0
t0
dt dt
dt dt

r2
テキスト p15
15


t2 d  1
t1 d  1
dr 2 
dr 2 

m( ) dt  
m( ) dt


t 0 dt 2
t 0 dt 2
dt 
dt 




1 dr 2
1 dr 2
 m( )
 m( )
2 dt t t2 2 dt t t1



r2

r1

   1 dr 2
1 dr 2
F (r )  dr  m( )
 m( )
2 dt t t2 2 dt t t1
一方(2.6)より
テキスト p15


r2

r1
  


F (r )  dr  V (r1 )  V (r2 )
16




1 dr 2
1 dr 2
 m( )
 V (r2 )  m( )
 V (r1 )
2 dt t t2
2 dt t t1
力学的エネルギーは保存
（運動エネルギー＋ポテンシャルエネルギー）
例題３保存力（テキスト参照）
テキスト p16
17
偏導関数の意味： 2変数関数 f(x,y) について
f
f ( x  h, y)  f ( x, y)
fx 
 lim
x h0
h
f
f ( x, y  k )  f ( x, y)
fy 
 lim
y k 0
k
(2.7)
(2.8)
z=f(x,y) とおけば、曲面が得られる。（図2.2）
曲面上の点 A(x,y) からみて、fx 、 fy はそれぞれ、x 方向、
y 方向を眺めた時の曲面の“傾き”を表わす。


f  f 
f  i 
j  f xi  f y j
x
y
テキスト p17
(2.11)
18
点 A(x,y) から x 軸と角度 q をなす方向を眺めた時の、
“傾き”は、
f ( x  s cos q , y  s sin q )  f ( x, y )
lim
s 0
s
(2.9)
 f x cos q  f y sin q
で与えられる。

n
ここで、角度
q
をなす方向の単位ベクトル




n  cos q i  sin q j を導入すると、 n 方向
の傾きは、次式で表わされる。

(f )  n
テキスト p17
(2.10)
[問題2.3]
19


f  f 
f  grad f  i 
j  f xi  f y j
x
y
(2.11)
グラディエント f 、あるいは、f の勾配とよぶ。

(2.10)式は、 n 方向の傾きの大きさを表わす。

その最大値は、 f と n が平行の時。すなわち、
f は、曲面の最大の傾きの方向を向き、その傾き
の大きさを持つベクトルである。[問題2.1] [問題2.2]
3変数関数では、
f  f  f 
f  grad f  i 
j k
x
y
z
テキスト p18
(2.12)
20
 
一般に、あるベクトル A(r ) が、
 

A(r )   (r )
 

と表わされる時、  (r ) は A(r ) の“スカラーポテンシャル”
呼ばれる。

この表記法で“力 F ”と“ポテンシャルエネルギー V ”
の関係を表わせば、次式となる。
 


F (r )   grad V (r )  V (r )
テキスト p18
(2.13)
21
[問題2.6]について
ファンデルワ―ルスの式（気体の状態方程式）
P
P
臨界点
v
理想気体
v
ファンデルワ―ルス気体
22
23

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