確認問題1

線形代数学Ⅱ 確認問題 1
2016 年度後期
工学部・未来科学部 1 年
担当: 原隆 (未来科学部数学系列・助教)
(ⅰ)
(ⅱ)
(ⅲ)
(ⅳ)
講義終了時に提出して下さい。チェックして翌週返却します。
何を参照しても構いません。また、相談しながら解いても結構です。
∗ 印のついた問題は若干難しめな問題です。時間に余裕のある人は挑戦して下さい。
If you are not good at writing Japanese sentences, you can write your answer in English.
確認問題 1. 講義中の例題で計算したように、行列式の基本 3 性質
1◦ . 多重線形性
2◦ . 歪対称性
3◦ . 単位行列の行列式は 1
のみを用いて以下の行列式を計算しなさい*1 。
(
)
−1 2
(1) det
2 0

(2)
2 −1

det 0
0
−3 1

0
−1
7

(3)∗

a b c
det d e f 
g h i
(解答は次ページから)
babababababababababababababababababab
本問でも確認したように、行列式の基本 3 性質を丁寧に用いれば最終的には行列式の値に
辿り着くことは出来るが、(2) や (3) の計算でも身に沁みて感じられるように行列のサイズ
が大きくなる程計算の手間が爆発的に増えてくる (よって「飛躍的に面倒臭くなる」)。ま
た、(3) の計算からも見てとれるように、折角多重線形性 1◦ を用いて頑張って「展開」し
ても、結局出て来た項の中には消えてしまうもの（0 になってしまうもの）が沢山出て来
てしまい、計算に無駄が非常に多いことが観察出来る。
流石に毎回こんなに面倒臭い計算をやってはいられないので、次週以降の講義では行列式
をもう少し効率良く計算してゆく方法を学習する。しかし、その何れの方法も、根本を辿れ
ば最終的には行列式の基本 3 性質に行き着くため、今のうちに基本 3 性質は良く記憶し
ておくこと!!
*1
余力があれば、前期の『線形代数学Ⅰ』で学んだ方法でも計算してみて、結果が一致するかどうか確かめてみよう。
【解答】
確認問題 1.
(
(1) det
)
−1 2
2
0
(
1
◦
= − det
)
1 2
0 0
(
(
0
)
2
+2 det
1

y 
y
(
)
0 1
0
)
1 1
= −2 det + 2 · 2 det
0 0
1 0
(
)
1 0
3◦
2◦
= −4
= − 4 det
0 1
1◦

2

det  0
(2) −3
−1
0
1
0


1 −1

 1
−1 = 2 det 0
7
0
◦




1
◦
1

=2 − det 0



0


y
0
0
1

(( )
( )
)
2
1
=2
より
0
0


0 −1


−1 −3 det 0
7
1
0

1
2◦



2
= − 2 · (−1) det 0 1 0 − 3 · (−1) det 0
0 0 1
0
1 0 0

0
0
1
0
0


−1
7
)
)
( )
( )
2
1
0
0 = 2 0 − 3 0 より
−3
0
1
( ) ( )
)
(( )
0
0
0
−1 = − 1 + 0 より
1
0
1



0 0 0
1 0


 

0 −1 + det 0 0 −1


0 7
1 1 7
0
1
((
 



0 −1


1 7


0



− 3 − det 0


1

y



 
0
1 0 0


 

1 +7 det 0 0 0


0 1 1

0



y







0



+ 3 − det 0



1








1 1 0
1
1◦
 

=2 − det 0 0 −1 + det 0


0
0 0 7





0
1
0
(( )
)
( )
( )
−1
1
0
より
=−
+2
2
0
1
)
(( )
( ) ( )
3
1
0
0 = 3 0 + 0 より
1
0
1

y 


y 
y





 

1 0
0 1 0


 

0 1 +7 det 00 0



0 0

1 0 1





0
 3◦
0 = 2 − 3 = −1
1



0 b c





(3) det d e f 
e f  +d det 1 e f  +g det 0 e f 


g h i
0 h i
0 h i
1 h i
( )
( )
( )
(( )
)
a
0
0
1
d = a 0 + d 1 + g 0 より
0
1
0
g






 
1 1 c
1 0 c
1 0 c





1◦





=a b det 0 0 f  +e det 0 1 f  +h det 0 0 f 




0 0 i
0 1 i
0 0 i






 
0 1 c
0 0 c
0 0 c










+ d b det 1 0 f  +e det 1 1 f  +h det 1 0 f 




0 0 i
0 1 i
0 0 i





 


0 1 c
0 0 c
0 0 c









+ g b det 0 0 f  +e det 0 1 f  +h det 0 0 f 




1 0 i
1 0 i
1 1 i
(( )
( )
( )
( )
)
b
1
0
0
e = b 0 + e 1 + h 0 より
0
0
1
h






 
1 0 1
1 0 0
1 0 0






1◦




=ae c det 0 1 0 +f det 0 1 1 +i 0 1 0




0 0 1
0 0 0
0 0 0 
y 
y










1 0 1
1 0 0 
1 0 0










+ ah c det 0 0 0 +f det 0 0 1 +i 0 0 0






 0 1 0

0 1 0
0 1 1

y 
y







 



0 1 1
0 1 0
0 1 0










+ bd c det 1 0 0 +f det 1 0 1 +i 1 0 0






 0 0 0

0 0 1
0 0 0

y

y



y

y

















0
0
0
0
0
0
1
0
0










+ dh c det 1 0 0 +f det 1 0 1 +i 1 0 0








0 1 0
0 1 0
0 1 1









y





y 
y y

















0
1
1
0
1
0
0
1
0










+ bg c det 0 0 0 +f det 0 0 1 +i 0 0 0








1
0
0
1
0
0
1
0 1









y

y











0
0
0
0
1
0
0
0
0










+ eg c det 0 1 0 +f det 0 1 1 +i 0 1 0








1 0 0
1 0 1
1 0 0
( )
( )
( )
)
(( )
c
0
0
1
f = c 0 + f 1 + i 0 より
1
0
0
i


1 0 0
2◦


2
2
= {aei− af h−bdi + (−1) cdh + (−1) bf g− ceg} det 0 1 0
0 0 1
a
3◦
b
c


1
1◦

= a det 0
b
c

= aei + bf g + cdh − af h − bdi − ceg

0
b
c

(これはサラスの公式に他ならない)

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