解答例

線形代数学Ⅱ 講義内実施演習問題の解答
2016 年度後期
工学部・未来科学部 1 年
担当: 原隆 (未来科学部数学系列・助教)
演習問題. 行列式の基本 3 性質
1◦ . 多重線形性
2◦ . 歪対称性
3◦ . 単位行列の行列式は 1
のみを用いて以下の行列式を計算しなさい。
)
0 3
(1) det
−2 5
(
1
(2) det
3
(
【解答例】
(1) (
)
0 3
1◦
det
= −2
−2 5
y


(


0
1◦
= −2 3 det

1

(
1
2◦
= − (−6) det
0
(
1
(2) det
3
=
1 0

(3) det 0 0
1 1
(
1
= 4 det
0
0
1
(
)

1

(4) det 2
0

0 3
−1 0
1 1
)
(( )
( )
)
0 3
0
0
det
= −2
より
−2
1
1 5

y

(
)
)
(( )
( )
( )
)
1
0 0 
3
1
0
+ 5 det =3
+5
より
5
0
1
0
1 1 

)
0
3◦
= 6
1
(
(
)
)
)
◦
2
1
2
0
2
1
= det
+3 det
4
0 4
1 4
(
2◦

1
1
0
(

)
(
) }


1 1
1 0
2 det +4 det
+3 2

0 1
0 0

{
1◦
2
4

)
1
− 6 det
0
0
1
)
)
(( ) ( )
( )
1
1
0
より
=
+3
0
0
1

y 
y

(
(
)
)
0 0 
0 1
det
+4 det 1 0
1 1 

(( )
( )
( )
)
2
1
0
=2
+4
より
4
0
1
3◦
= −2



)
0 1
0 0 1 ((1) (1) (0)
 

0 = 0 + 0 より
0 1 + det 0 0 1
1
0
1
1 1 0
1 1
1 0 
y 
y




(( ) ( ) ( )
)
1 0 1
1 0 0
1
1
0
1◦
 


1 = 0 + 1 より
= det 0 0 0 + det 0 0 1
0
0
0
0 1 0
0 1 0


1 0 0
2◦

 3◦
= − det 0 1 0 = −1

1 0
(3) 
det 0 0


1
1
 1◦

1 = det 0
0
0
0 0
1




3
0 0 3
(4) 
 1◦




det 2 −1 0 = det 0 −1 0 +2 det 1 −1 0
0 1 1
0 1 1
0 1 1
(( ) ( )
( )
)
1
1
0
2 = 0 + 2 1 より
0
0
0





 



 
1 0 3
1 0 3
0 0 3
0 0 3








1◦




 


= − det 0 1 0 + det 0 0 0
+ 2 − det 1 1 0 + det 1 0 0








0 0 1
0 1 1
0 1 1
0 0 1
(( )
( ) ( )
)
0
0
0
−1 = − 1 + 0 より
1
0
1



  

 



1 0 0
1 0 1
1 0 1
1 0 0








 
1◦





= − 3 det 0
1 0 + det 0 1 0
+ 3 det 0
0 0 + det 0
0 0



 



0 0 1
0
0 0 0
0 1
0 1 1
y
y



y

y









 




0 0 1
0 0 0






 
+ 2 3 det 1 0 0 + det 1 0 0




0 1 1


0
1
0










( ) ( )
)
(( )
3
1
0
0 = 3 0 + 0 より
1
0
1




1 0 0
1 0 0
2◦



 3◦
2
= − det 0 1 0 + (−1) 6 det 0 1 0 = −1 + 6 = 5
1
0
3
0

0

1
1
0
0 0
1
babababababababababababababababababab
混乱せず最後まで計算するために
1. 多重線形性 1◦ を用いる際は
最初の列のベクトルから順番に、ひとつずつばらばらにするべし
横着して全ての列のベクトルを一気に「展開」しようとすると、大抵混乱して失敗します。
2. 同じベクトルを含むものが登場したらその都度すぐに消すべし
(4) のように、一般には多重線形性 1◦ を用いて「展開」すればする程大量の項が出現します
ので、0 になると分かっているものは早々に消しておかないと収拾がつかなくなります。
3. 沢山項が出て来て嫌になっても落ち着いて、自分を信じて最後まで計算するべし
次回以降、もう少し計算しやすい方法を学習していきますが、今後行列式の理解を深めていき
たいのであれば今の段階で苦労して計算出来るようにしておくことは避けては通れません。
本演習問題と確認問題くらいは何度も繰り返し練習して、確実に解けるようにしておこう!

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