1 f(x)=(x ¡ 1)

年番号
1
f(x) = (x ¡ 1) x ¡ 3 ¡ 4x + 12 とする．また，曲線 y = f(x) 上の点
P(1; f(1)) における接線を ` とする．以下に答えなさい．
3
氏名
座標空間の原点を O とし，座標空間内に 4 点 A(1; 3; 3)，B(1; 1; 2)，
C(2; 3; 2)，P(t; t; t) をとる．ただし t は実数である．以下の問いに答え
なさい．
(1) y = f(x) のグラフをかきなさい．
(2) 直線 ` の方程式を求めなさい．
¡! ¡!
(1) t Ë 0 とするとき，AP と OP が直交するような t の値を求めなさい．
(3) 曲線 y = f(x) と直線 ` の点 P 以外の共有点 Q の座標を求めなさい．
(2) AP2 + BP2 + CP2 が最小となるような t の値を求めなさい．
(4) 曲線 y = f(x) と直線 ` で囲まれた図形の面積 S を求めなさい．
(3) 4 点 A，B，C，P が 1 つの平面に含まれるような t の値を求めなさい．
（慶應義塾大学 2015 ）
2
次の
にあてはまる最も適当な数または式を解答欄に記入しなさい．
(1) 等差数列 fan g は，初項から第 5 項までの和は 50 で，a5 = 16 であるとす
る．このとき，一般項 an は，an =
和 Sn は Sn =
イ
ア
となり，初項から第 n 項までの
となる．
(2) (x + 1)8 (x ¡ 1)4 を展開したとき，x10 の項の係数は
た，(x2 + x + 1)6 を展開したとき，x10 の項の係数は
である．ま
ウ
エ
である．
(3) 三角形 ABC において，ÎA = 60± ，AB = 6，AC = 7 のとき，三角形
ABC の面積 S は S =
オ
の外接円の半径 R は R =
，辺 BC の長さは BC =
キ
カ
，三角形 ABC
である．
(4) 12n の正の約数の個数が 28 個となるような自然数 n は，n =
ク
で
ある．
（慶應義塾大学 2014 ）
（慶應義塾大学 2014 ）
4
5
次の問いに答えよ．
(1) a を実数とする．実数 x に対して，[x] は x 以下の最大の整数を表す．方
BC の交点を D，線分 AD を 2 : 1 に内分する点を E とし，直線 BE と直線
AC の交点を F とする．
程式
ÎA が鋭角で AB = 6，AC = 4 の 4ABC がある．ÎA の二等分線と直線
(1) 面積比 4ABE : 4ABC を最も簡単な整数比で表すと，
1
x— = x ¡ a
2
が 0 5 x < 4 の範囲に異なる 2 つの実数解をもつような a の範囲は
5a<
ア
イ
4ABE : 4ABC =
コ
:
サ
である．
である．
1p
を小数で表すとき，小数第 1 位の数字は
4 ¡ 11
p
6
(3) (x2 + 2y) の展開式における x8 y2 の係数はエ
(2)
ウ
である．
である．
(2) 線分比 AF : FC を最も簡単な整数比で表すと，
AF : FC =
シ
:
ス
(4) k を実数とする．2 つの 2 次方程式
x2 ¡ (k ¡ 1)x + k + 2 = 0;
x2 ¡ (k + 1)x + k2 ¡ 5 = 0
が，どちらも 2 つの異なる実数解をもつような k の範囲は
である．
C
8B
(3) 4ABE の面積が
5 であるとき，sin ÎBAC =
5
C
ツ
タ
である．
チ，sin ÎABC =
セ
，BC =
ソ
テ
オ
<k<
カ
キ
また，4ABC の外接円の半径は
ニ
ト
であり，内接円の半径は
C
ナ
¡
である．
であり，少なくともどちらか一方が 2 つの異なる実数解をもつような k の範
（上智大学 2014 ）
囲は
k<
ク
または
ケ
<k
である．
（上智大学 2014 ）
6
4 個の数字 1; 2; 3; 4 を使ってできる 4 ケタの整数を x とする．ただし，同
あ
，
い
，
う
の選択肢：
じ数字をくり返し使ってよい．整数 x の千の位，百の位，十の位，一の位の
数字をそれぞれ a; b; c; d とする．
(1) 整数 x は全部で
ヌ
(a) 1:13
(b) 1:18
(c) 1:23
(d) 1:28
(e) 1:33
(f) 1:38
(g) 1:43
(h) 1:48
個できる．
(2) a = d となる x は全部で
ネ
個できる．
（上智大学 2015 ）
(3) a; b; c; d のうち，3 個以上が同じ数字となる x は全部で
ノ
個で
きる．
(4) a + b + c + d が 12 以上となる x は全部で
(5) 3 の倍数となる x は全部で
部で
フ
ヒ
ハ
個できる．
個できる．また，4 の倍数となる x は全
個できる．
8
（上智大学 2014 ）
AB = 2，BC = 3，CD = 6，DA = 5 である四角形 ABCD があり，この
四角形は円 O に内接している．
(1) cos ÎB = ¡
(2) 円 O の半径は
7
次の問いに答えよ．
(1)
5
6
< log10 7 <
であることを用いると，742 は
6
7
ア
ることがわかる．さらに，72 < 50 であることと log10 2 >
とを用いると，log10 7 <
エ
イ
ウ
桁の整数であ
3
であるこ
10
であることがわかり，これより，741 は
桁の整数であることがわかる．
(2) log10 15 に最も近い値は
あ
であり，
log10 17 に最も近い値は
い
であり，
log10 19 に最も近い値は
う
である．
ただし，近似値として，log10 2 = 0:3010，log10 3 = 0:4771 を用いてよい．
ア
イ
であり，AC =
オ
カ
(3) 四角形 ABCD の面積は
C
ウ
エ
である．
D
ク
キ
サ
C
シ
ケ
である．
コ
である．
(4) 四角形 ABCD は，ある円に外接している．この円の半径は
D
ス
ソ
である．
セ
（東京理科大学 2015 ）
9
数列 fan g を初項 5 log2 3，公差 ¡
1
1
log2 3 ¡
の等差数列とする．この
2
2
とき，
ア
(1) a10 =
ウ
log2 3 ¡
イ
;
エ
a11 = ¡
(n = 1; 2; 3; Ý)
と定めると，これは初項
ク
に内分する点であり，点 Q は線分 BC
に内分する点である．
コ
サ
:
シ
ス
（東京理科大学 2014 ）
カ
キ
ク
，公比
ケ
コ
の等比数列
となる．
(3) 数列 fan g はある n より先は負となる．an が負となる最初の n は
サ
である．
（東京理科大学 2015 ）
10 平面上に同一直線上にない 3 点 A，B，C が与えられているとし，4ABC の
内部の点 P が
¡!
¡
!
¡
! ¡
!
4AP + 7BP + 2CP = 0
を満たしているとする．線分 AP を延長した直線と線分 BC との交点を Q，
線分 BP を延長した直線と線分 AC との交点を R とおく．
ア
イ
:
:
である．
C
¡!
(1) AP =
ケ
S:T=
(2) 数列 fbn g を
bn = 2
を
キ
(3) 4APB の面積を S，四角形 CQPR の面積を T とおくと，
オ
である．
an
(2) 点 P は線分 AQ を
ウ
¡!
AB +
エ
オ
カ
¡!
AC である．

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