年 番号 1 A と B は,赤球 2 個と白球 1 個が入った袋をそれぞれ 1 つずつ持っている.次のような試行を 氏名 考える. 2 A と B が,それぞれ自分の持っている袋の中から無作為に球を 1 つ選び,色を見てからもとの 袋に戻す. 座標平面上に点 P があり,次のルールにより,点 P は移動する. a; b; c の文字がそれぞれ 1 つずつ書かれた球 3 個が入った袋から,1 個取り出してそこに書 かれている文字を読み,その文字が このとき,次の各問に答えよ. a のとき,点 P は x 軸の正の方向へ 1 だけ移動し, (1) 1 回の試行で,A と B が取り出した球の色が一致する確率を求めよ. b のとき,点 P は x 軸の負の方向へ 1 だけ移動し, (2) 上の試行を 3 回繰り返したとき,3 回の試行の中で A と B が取り出した球の色が一致すること c のとき,点 P は y 軸の正の方向へ 1 だけ移動する. が少なくとも 1 回起こるが続けては起こらない確率を求めよ. 最初,点 P は原点 O にあるものとする.この試行を,取り出した球を元に戻しながら,5 回続 (3) 上の試行を 4 回繰り返したとき,4 回の試行の中のどこかで,A と B が取り出した球の色が一 致することが 2 回続けて起こり,かつ 3 回以上続けて起こらない確率を求めよ. ( 宮崎大学 2016 ) けて行う.例えば,これによって得られた 5 個の文字が順に b ! a ! c ! c ! a であるとすれ ば,上のルールにより,点 P の位置の座標は, (0; 0) ! (¡1; 0) ! (0; 0) ! (0; 1) ! (0; 2) ! (1; 2) と変化する. このとき,次の各問に答えよ. (1) y 軸上で点 P の移動が終了する場合,終了したときの位置の座標をすべて求めよ. (2) 点 P の移動が終了する位置の相異なる座標の個数を求めよ. (3) 点 P の移動が終了する位置の座標 (x; y) が x 5 1,1 5 y 5 2 となる確率を求めよ. ( 宮崎大学 2015 ) 3 A,B,C の 3 人がそれぞれある地域の東公園,西公園および北公園のいずれかに行こうとして いる.この 3 人は次のように,硬貨の表裏によって,どの公園に行くのかを決める. 4 最初に袋の中に,赤球と白球が 3 個ずつ,合計 6 個入っている.この状態から次の 1∼3 の一 連の操作を行う. ² A は手持ちの硬貨を 1 枚投げて,表が出たら東公園に行く.裏が出たら西公園に行く. 1 袋の中から無作為に 3 個の球を取り出す. ² B は手持ちの硬貨を 1 枚投げて,表が出たら西公園に行く.裏が出たら,もう 1 度その硬貨を 2 1 で取り出した球は袋に戻さず,取り出した赤球の数だけ白球を袋に補充し,取り出した白球 の数だけ赤球を袋に補充する. 投げて,表が出たら東公園に行き,裏が出たら北公園に行く. ² C は手持ちの硬貨を 1 枚投げて,表が出たら北公園に行く.裏が出たら,もう 1 度その硬貨を ただし,補充する赤球と白球は十分にあるものとする.1∼3 の操作の後に,袋の中にある赤 投げて,表が出たら東公園に行き,裏が出たら西公園に行く. ただし,3 人が使用する硬貨は,表,裏がそれぞれ 3 1; 2 の操作をもう一度繰り返す. 1 の確率で出るものとする.このとき,次 2 球の個数を a とする.このとき,次の各問に答えよ. (1) a = 3 となる確率を求めよ. の各問に答えよ. (1) A と B が同じ公園に行く確率を求めよ.ただし,C はどの公園に行ってもよいものとする. (2) B と C が同じ公園に行く確率を求めよ.ただし,A はどの公園に行ってもよいものとする. (3) 3 人が同じ公園に行く確率を求めよ. (4) 少なくとも 2 人が同じ公園に行く確率を求めよ. ( 宮崎大学 2014 ) (2) a の期待値を求めよ. ( 宮崎大学 2013 ) 5 5 人の生徒が袋を 1 つずつ持っている.どの生徒の袋の中にも,赤球,青球,白球がそれぞれ 1 個ずつ計 3 個入っている. 6 A と B の 2 つの箱がある.箱 A には,赤玉が 1 個,青玉が 4 個,黄玉が 5 個入っている.箱 B には,当たりくじが 3 本,はずれくじが 7 本入っている. 5 人同時に各自の袋の中から 1 個の球を取り出したとき,取り出した球の色が他の 4 人の取り出 した球の色と異なっている人の数を k とする.ただし ,どの色の球も同じ確率で取り出される 箱 A から玉を 1 つ取り出し,それが赤玉のときは箱 B からくじを 5 本,青玉のときは 3 本,黄 玉のときは 2 本引くとする. ものとする.このとき,次の各問に答えよ. (1) 青玉を取り出し,当たりくじを少なくとも 1 本引く確率を求めなさい. (1) 赤球,青球,白球を取り出した人が,それぞれ 1 人,1 人,3 人である確率を求めよ. (2) k = 2 である確率を求めよ. (2) 当たりくじを少なくとも 1 本引く確率を求めなさい. (3) 当たりくじをちょうど 1 本引く確率を求めなさい. (3) k = 1 である確率を求めよ. ( 大分大学 2016 ) (4) k の期待値を求めよ. ( 宮崎大学 2012 ) 7 100 から 999 までの自然数の集合を全体集合 U とし,そのうち 14 で割ると 3 余るものの集合を A,9 の倍数の集合を B とおく. 8 次の問いに答えなさい. (1) 正の整数 n について #x + (1) A; B の要素の個数を求めなさい. (2) #x + 1 + (2) A \ B の要素のうち,最小のものと最大のものを求めなさい. (3) U の要素が 1 つずつ書かれた玉の入った袋から玉を 2 個取り出す.このとき,2 個の玉に書か れている数がいずれも 14 で割ると 3 余り,かつ 9 で割り切れない場合の確率を求めなさい. ( 大分大学 2014 ) 1 n ; の展開式に,定数項が含まれるための n の条件を求めなさい. x 1 7 ; の展開式における定数項を求めなさい. x ( 大分大学 2010 ) 9 10 次の各問に答えよ. 男子 8 人,女子 2 人の合わせて 10 人がいる.次の各問に答えよ. (1) 全員を一列に並べるとき,女子が隣り合う並べ方は何通りあるか. (1) 1 個のさいころを振る試行を繰り返す.出た目の和が 6 以上になったら,この試行を終了する. (2) 3 人,3 人,4 人の 3 つの組に分けるとき,女子 2 人が同じ組に入るような分け方は何通りある か.ただし,3 人の組は区別しないものとする. ‘ 3 回目に和がちょうど 6 になってこの試行を終了する確率を求めよ. ’ この試行が 3 回以内に終了する確率を求めよ. ( 崇城大学 2015 ) (2) 等差数列 fan g,fbn g の一般項が,それぞれ an = 3n ¡ 2,bn = 7n + 4 であるとき,この 2 つ の数列に共通な項を小さい方から順に並べてできる数列を fcn g とする.次の各問に答えよ. ‘ 数列 fcn g の一般項を求めよ. ’ 数列 fcn g の項のうち,4 の倍数でかつ 3 桁の整数となる項の数とその総和を求めよ. ( 崇城大学 2015 ) 11 次の各問いに答えよ. (1) SATTUN という 6 文字を並びかえて得られる順列のうち,最初が子音文字になるものの総数 を求めよ. (2) 半径 r の円 O0 が半径 2r の円 O に点 P で内接し ,さらに円 O0 は円 O の弦 AB に点 Q で接し ている.線分 PQ の延長が円 O と交わる点を M とする.ÎPQB = 60± のとき,線分 QM の長 さを求めよ. (3) 1 次不定方程式 37x + 32y = 1 の整数解を 1 組求めよ. ( 鹿児島大学 2015 )
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