電磁気学

＜平成28年度前期＞
前回のまとめより
磁場中で運動する荷電粒子に働く力
F = qv × B
(29.1)
［ q：電荷，　v：速度，　B：磁場（磁束密度）］
・・・・ローレンツ力
磁気力の大きさ
電磁気学
F = qvB sinθ
θ = 0, 180°
θ = 90°
第13回
井上　真澄
(29.2)
→
→
（最小）
F =0
F = qvB （最大）
磁場（磁束密度）の単位
・・・ T （テスラ）
これはWb/m2 （ウェーバー/m2）に等しい
 N 
 Wb 
 N 
 N 
1 [T ] = 1  2  = 1 
=1 
=1 


 A ⋅ m 
m 
 C ⋅ m/s 
 (C/s) ⋅ m 
(29.3)
そして・・・
磁気力の問題を考える際に重要なこと：　各ベクトルの方向の関係
を間違えないように図をイメージする（絵を描く）
図をイメージする（絵を描く）ように心がける
図をイメージする（絵を描く）
こと。
電流の流れる導体に作用する磁気力
内容：
単一の荷電粒子・・・磁場の中を運動すると力を受ける
13. 磁場中の電流に作用する力
→　電流（多数の運動する荷電粒子の集合）が流れる導線は磁場中
で力を受ける
電流の流れる導体に作用する磁気力
外部磁場中に置かれた一様な断面を持つ直線状の導線に働く力，
外部磁場中に置かれた一様な断面を持つ任意形状の導線に働く力
電流無し
上向きの電流
（磁場：紙面の手前から奥へ）
下向きの電流
外部磁場中に置かれた一様な断面を持つ直線状の導線に働く力
前述の実験結果の定量化：
電流Iが流れる直線状の導体（断面積A）を考える。
長さlの導線に作用する力 F　・・・　Fp×（粒子の数）
導線の体積：　Al
単位体積あたりの粒子数：　n
F = Fp (nAl) = (qvd × B)nAl
= (qvd ⋅ nAl ) × B
考え方・・・
荷電粒子が受ける力
→　導線を構成する原子との
衝突を通じて導線に作用
1つの粒子に作用する力 Fp　・・・
導線内の電流：　（電流密度： J）
→　電流Iの方向に向く長さlのベクトルをlとすると
外部磁場：　B
荷電粒子のドリフト速度：　vd
荷電粒子の電荷：　q
qvd ⋅ nAl = nqvd ⋅ Al = JA l = Il
F = (qvd ⋅ nAl) × B = I l × B
∴
1つの粒子に作用する磁気力：
極めて微小な要素dsに働く力dF
s = aからs = b までの導線に作用する
全合力F
∫ s= a dF = ∫ a I ds × B = I ∫ a ds × B
b
b
b
F = I ∫ ds × B = I  ∫ ds  × B
a
a


 b ds  = l ′
 ∫a 
∴ F = I l′× B
(29.6)
（I dsは電流要素という。）
s= b
○場合I：　電流Iの流れる湾曲した導線
磁場は一様なので積分の外へ出す。
(29.8)
aからbへ至るべくトルをl´とすると
→　(29.5)のlをdsにして
F=
(29.5)
Fp = qvd × B
外部磁場中に置かれた一様な断面を持つ任意形状の導線に働く力
dF = I ds × B
I = JA = nqvd A
○場合II：　電流Iの流れる任意形状のループ
b
(29.7)
磁場は一様なので積分の外へ出す。
積分は閉じたループ一周について行う。
（外部磁場Bは一様とする。）
○場合I：　電流Iの流れる湾曲した導線
○場合II：電流Iの流れる任意形状のループ
( )
F = I ∫ ds × B = I ∫ ds × B
b
a
二つの特別な場合に適用してみる。
(29.9)
積分の始点と終点が同じなので，始点から
終点へ至るべくトルはゼロ。
∴
∴
∫ ds = 0
F =0
(29.10)
一様な磁場の中に置かれた任意の電流ループに作用する全磁気力はゼロ。
半円形部分に作用する力 F2：
［例題29.2］（半円形の導体に作用する力）
要素dsに作用する力dF2 を考える。
半径Rの半円形状に曲げられた導線と
その直径で閉じた回路を作成し，電流I
を流す。この回路はxy平面内にあり，図
に示すように正のy方向に向いた一様な
磁場が存在する。この導線の直線部およ
び半円形部に作用する磁気力を求めよ。
Bと要素dsとの角度をθとする。
ds　・・・　θの微小変化dθに対応
→　dsの大きさは
各要素に作用する力の向きは同じ
・・・紙面に垂直で表から裏に向か
う向き
＜解＞
直線部分に作用する力 F1：
導線の長さ・・・
ds = R dθ
dF2 = I | ds × B | = I (ds B sin θ ) = IB sin θ ds
= IB sinθ ( R dθ ) = IRB sin θ dθ
→　dF2の大きさは
l = 2R
導線はBに垂直
F2 = IRB∫ sin θ dθ = IRB [− cosθ ]
合力F2　・・・　d F2を，θ：0～π の範囲で積分
→　作用する力の大きさは
π
F1 = IlB = 2IRB
0
力の向きは　の向きなので，紙面に垂直で裏から表に向かう
l×B
向き。
π
0
= − IRB(cos π − cos 0) = − IRB(−1 − 1)
= 2IRB
力の向きは，紙面に垂直で表から裏に向かう向き。
まとめ
外部磁場中に置かれた電流が流れる直線状導体に作用する力
F = Il × B
(29.5)
［ I：電流，　l ：電流方向の長さlのベクトル，　l ：導体の長さ
B：磁場（磁束密度）］
外部磁場中に置かれた電流が流れる微小要素に作用する力
dF = I ds × B
(29.6)
［ ds：導線上の微小要素　（I dsは電流要素という）］
任意形状導線に作用する合力を求めるには上式を積分
○一様な外部磁場中の電流が流れる任意形状のループに作用する
正味の磁気力・・・ゼロ
○一様な外部磁場中の電流が流れる任意形状の有限な導線に作用
する正味の磁気力
(29.9)
F = I l′× B
［ l´ ：導線の始点から終点に至るベクトル］
F1 と F2 は大きさ
が同じで向きが
反対。
ループ全体に作
用する合力は　。
F
1 + F2 = 0

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