経済数学 (7/22) の略解今日は, ラグランジュの未定乗数法の演習と

経済数学 (7/22) の略解
今日は, ラグランジュの未定乗数法の演習と, 未定乗数法の経済学への応用につい
て学習しました.
問題 14.1 の解答例. (1) x2 + xy + y 2 = 1 ⇐⇒ x2 + xy + y 2 − 1 = 0 に注意し,
f (x, y) = xy, g(x, y) = x2 + xy + y 2 − 1,
L(x, y; λ) = f (x, y) + λg(x, y) = xy + λ(x2 + xy + y 2 − 1)
とおく.
L(x, y; λ) の一階偏導関数を計算すると,
Lx (x, y; λ) = y + λ(2x + y),
Ly (x, y; λ) = x + λ(x + 2y),
Lλ (x, y; λ) = x2 + xy + y 2 − 1
だから,



Lx (x, y; λ) = 0
(I)


y + λ(2x + y) = 0

⇐⇒ x + λ(x + 2y) = 0


 2
x + xy + y 2 = 1.
Ly (x, y; λ) = 0



Lλ (x, y; λ) = 0
λ を消去するため, (第一式)×(x + 2y)−(第二式)×(2x + y) を計算して, y(x + 2y) −
x(2x + y) = 0. これを整理して y 2 = x2 , 故に y = ±x が成り立つ. これを第三式に代
入する.
y = x のとき 3x2 = 1 だから x = ± √13 . y = x だったので,
(
(x, y) =
1 1
√ ,√
3 3
)
(
)
1
1
−√ , −√
3
3
,
となる.
y = −x のとき連立方程式の第三式から x2 = 1, 故に x = ±1. y = −x だったので,
(x, y) = (1, −1),
(−1, 1)
となる.
次に gx (x, y) = 2x + y, gy (x, y) = x + 2y より,



gx (x, y) = 0
(II)
gy (x, y) = 0



g(x, y) = 0
⇐⇒
1



2x + y = 0



x + 2y = 0
x2 + xy + y 2 = 1.
(第一式)×2−(第二式) より, 3x = 0, つまり x = 0 を得る. これを第一式に代入して,
y = 0. ところが x = y = 0 は第三式を満たさない. 故に, (II) には解がない.
以上より, g(x, y) = 0 の下, f (x, y) が最大値・最小値を取り得るのは,
(
)
(
)
1 1
1
1
(x, y) = √ , √ ,
−√ , −√ ,
(1, −1),
(−1, 1).
3 3
3
3
これらを f (x, y) = xy に代入してみると,
(
)
(
)
1 1
1
1
1
f √ ,√
= f −√ , −√
= ,
3
3 3
3
3
f (1, −1) = f (−1, 1) = −1.
この中で一番大きい 13 が最大値, 一番小さい −1 が最小値である.
以上より, x2 + xy + y 2 = 1 の下, xy は
• (x, y) = ( √13 , √13 ) および (− √13 , − √13 ) のとき最大値 31 ,
• (x, y) = (1, −1) および (−1, 1) のとき最小値 −1
を取る.
問題 14.2 の略解. 第一財の量を x, 第二財の量を y だけ購入すると必要な費用は 2x +
5y となる. 予算は 100 だから, 制約条件は,
x ≥ 0,
y ≥ 0,
2x + 5y ≤ 100
となる. この制約下で u(x, y) = x2 y 3 を最大化したい. つまり, 問題は,
max x2 y 3
s.t. x ≥ 0,
y ≥ 0,
2x + 5y ≤ 100
となる. プリントの例題 (26∼27 ページ) と同様の考察をすると,
max x2 y 3
s.t. x ≥ 0,
y ≥ 0,
2x + 5y = 100
(1)
を解けば十分である. ラグランジュ関数は L(x, y; λ) = x2 y 3 + λ(2x + 5y − 100) で与
えられる. 未定乗数法でこの問題を解くと, (x, y) = (20, 12) のとき最大値 691200 を
取ることが分かる (詳細略). 第 1 財の価格は 2, 第 2 財の価格は 5 だったので, 第 1 財
に予算 20 × 2 = 40, 第 2 財に予算 12 × 5 = 60 だけ振り分けるのが最善である.
2

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