1. Leseprobe - STARK Verlag

Übungsaufgaben Analysis
– hilfsmittelfrei –
Aufgabe 1
Der Graph der Funktion
f (x) = − 0,5x 3 + 1,5x 2 + 4,5x − 3,5
hat im Punkt T(–1 | – 6) einen relativen
(lokalen) Tiefpunkt und im Punkt H(3 | 10)
einen relativen (lokalen) Hochpunkt.
a) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion f im
Punkt P(1 | f(1)).
b) Begründen Sie, dass von allen Tangenten an den Graphen der Funktion f die
Tangente im Punkt P diejenige Tangente
ist, die die maximale Steigung hat. Es
darf ausschließlich die 1. Ableitungsfunktion benutzt werden.
Aufgabe 2
Gegeben ist die Funktion
f (x) = 18 x 3 − 54 x 2 + 12 x + 7 = 18 ⋅ (x + 2) ⋅ (x 2 − 12x + 28).
a) Weisen Sie rechnerisch nach, dass die Funktion f die
Nullstelle x = –2 hat.
b) Bestimmen Sie die anderen Nullstellen von f.
c) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente im
Punkt N(–2 | 0).
d) Es sei ga(x) = f(x + a). Bestimmen Sie a so, dass alle
Nullstellen der Funktion g im nichtnegativen Teil
der x-Achse liegen. (Der Funktionsterm muss nicht
ausgerechnet werden.)
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Aufgabe 3
Abb. 1 zeigt einen Ausschnitt des Graphen der Funktion f (x) = 0,5x 3 − x 2 − 3x + 2.
Abbildung 1
Abbildung 2
Abbildung 3
a) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion im
Schnittpunkt mit der y-Achse.
b) Begründen Sie ohne die Berechnung von f '(x), dass keiner der in den Abbildungen 2 und 3 dargestellten Graphen der Graph der 1. Ableitungsfunktion der
Funktion f sein kann.
Aufgabe 4
a) Die nebenstehende Abbildung zeigt den Graphen
der 1. Ableitungsfunktion f ' der Funktion f.
Machen Sie Aussagen über die Funktion f hinsichtlich
• Monotonie,
• Extremstellen,
• Verhalten für betragsgroße x,
die sich aus dem Verlauf des Graphen der Funktion f ' ergeben, und begründen Sie Ihre Aussagen.
b) Die Punkte P(0 | 0) und Q(4 | 4) liegen auf dem
Graphen der Funktion f. Geben Sie begründet an,
in wie vielen Punkten der Graph der Funktion f
die gleiche Steigung hat wie die Gerade durch die
Punkte P und Q. Geben Sie die Stellen, an denen
die gleiche Steigung auftritt, ungefähr an.
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Aufgabe 5
a) Bei der Beobachtung einer Bakterienkultur zeigt sich, dass sich die Anzahl der
Bakterien alle 5 Stunden verdoppelt. Zu Beginn der Beobachtung sind 1 200 Bakterien vorhanden.
Bestimmen Sie eine Exponentialfunktion f(t), die die Anzahl der Bakterien abhängig von der Zeit (in Stunden) angibt. Bestimmen Sie die Anzahl der Bakterien
5 Stunden vor Beobachtungsbeginn.
b) Der unten abgebildete Graph ist der Graph einer Exponentialfunktion.
Überprüfen Sie, ob der Graph zu einer der Aussagen (i) bis (iv) gehört, und
begründen Sie Ihre Entscheidung.
(i) f (x) = 2 x − 1
(ii) f (x) = 2 x − 1
x
1
(iii) f (x) = ⎛⎜ ⎞⎟ − 1
⎝2⎠
(iv) Der Graph wird durch keinen der angegebenen Funktionsterme beschrieben.
Aufgabe 6
a) Die Graphen der Funktionen g(x) = sin (x + 2) und h(x) = –sin (x) – 1 sollen aus
dem Graphen der Funktion f(x) = sin (x) gewonnen werden. Geben Sie an, welche
Operationen hierfür notwendig sind.
b) Die nebenstehende Abbildung zeigt einen
Ausschnitt des Graphen einer allgemeinen
Sinusfunktion f(x) = a ⋅ sin (b ⋅ (x – c)) + d.
Bestimmen Sie die Parameter a, b, c und d.
Aufgabe 7
Der Graph zeigt die Tauchtiefe h eines Tauchgangs als
Funktion der Zeit t (t in
min, h in m).
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a) Geben Sie mit Begründung an, wie lange der Tauchgang gedauert hat und welche
maximale Tauchtiefe erreicht wurde.
b) Berechnen Sie die mittlere Abtauchgeschwindigkeit.
c) Bestimmen Sie näherungsweise den Zeitpunkt, zu dem die Abtauchgeschwindigkeit am größten war, und geben Sie diese ebenfalls näherungsweise an. Benutzen
Sie hierzu obige Abbildung.
d) Skizzieren Sie den Graphen der Ableitungsfunktion h' in der nachfolgenden
Abbildung.
Aufgabe 8
35 x.
Der nachfolgende Graph gehört zur Funktion f (x) = − 19 x 3 + 16 x 2 + 12
a) Bestimmen Sie rechnerisch die Extremstellen der Funktion f.
b) Im Punkt W(0,5 | f(0,5)) ist die Steigung des Graphen am größten. Bestimmen
Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion im Punkt W.
c) Zeichnen Sie den Graphen der Ableitungsfunktion f ' in die obige Abbildung.
Begründen Sie den Verlauf anhand besonderer Punkte.
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Hinweise und Tipps
Aufgabe 1 a
r Die Gleichung der Tangente hat die Form y = mx + b.
r Die Steigung der Tangente ist gleich der Steigung des Graphen der Funktion an der
Stelle x = 1.
r Bestimmen Sie die 1. Ableitung von f mit der Potenz- bzw. Summenregel sowie f(1).
r Bestimmen Sie den y-Achsenabschnitt der Tangente durch Einsetzen bekannter
Werte in die allgemeine Form der Geradengleichung y = mx + b.
Aufgabe 1 b
r Bestimmen Sie, welchen Grad der Funktionsterm der 1. Ableitung von f hat.
r Argumentieren Sie entweder über die Scheitelpunktform oder über die Lage des
Scheitels in Bezug auf die Nullstellen der Funktion.
Aufgabe 2 a
r Ein Produkt ist null, wenn wenigstens ein Faktor null ist.
Aufgabe 2 b
r Betrachten Sie den zweiten angegebenen Funktionsterm.
r Setzen Sie den Funktionsterm null und lösen Sie die entstehende quadratische Gleichung z. B. mit der p-q-Formel.
Aufgabe 2 c
r Die Gleichung der Tangente hat die Form y = mx + b.
r Die Steigung der Tangente ist gleich der Steigung des Graphen der Funktion an der
Stelle x = –2.
r Bestimmen Sie den y-Achsenabschnitt der Tangente durch Einsetzen bekannter
Werte in die allgemeine Form der Geradengleichung y = mx + b.
Aufgabe 2 d
r Sie haben die Nullstellen bereits in Aufgabenteil b bestimmt.
r Sie müssen die kleinste Nullstelle so weit nach rechts verschieben, bis sie im nichtnegativen Teil der x-Achse liegt.
r Für a < 0 erfolgt eine Verschiebung nach rechts.
Aufgabe 3 a
r Die Gleichung der Tangente hat die Form y = mx + b.
r Die Steigung der Tangente ist gleich der Steigung des Graphen der Funktion an der
Stelle x = 0.
r Der y-Achsenabschnitt der Tangente ist mit f(0) gegeben.
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