6.1-B

Anwendungs- und Optimierungsaufgaben (Nichttechnik)
1. Eine zylinderförmige Trommel besitzt die Gesamtober‡äche 2400
cm2 . Der Klang der Trommel
hängt auch von der Ober‡äche und dem Volumen ab. Die Boden- und Deck‡äche der Trommel sind
mit Fell bespannt. Durch die erhältlichen Fellgröß
en ergibt sich, dass ein Radius r von 12 cm bis
30 cm möglich ist. Führen Sie die folgenden Rechnungen ohne Einheiten durch. (AP 2009)
(a) Stellen Sie eine Gleichung für das Volumen V (r) der Trommel in Abhängigkeit von r auf.
(b) Berechnen Sie r so, dass das Volumen V der Trommel den größ
ten Wert (und damit die
Trommel den tiefsten Ton) annimmt.
2. Die Gebührenordnung des Paketdienstes Paket Ahoi enthält folgende Klausel: Bei Päckchen in Zylinderform darf die Summe aus der Höhe h des Zylinders und dem Durchmesser d des Grundkreises
100 cm nicht überschreiten. Auf Einheiten wird im Folgenden verzichtet. (AP 2009)
(a) Berechnen Sie das Volumen V (d) eines solchen Päckchens, wenn die in der Gebührenordnung
erwähnte Summe genau 100 cm beträgt. Bestimmen Sie auch eine geeignete De…nitionsmenge.
(b) Bestimmen Sie nun die Maß
e desjenigen zylinderförmigen Päckchens, das dabei maximales
Volumen aufweist.
3. Aus einem Stück Draht der Länge 72 cm sollen die Kanten eines Quaders geformt werden, dessen
Grund‡äche ein Rechteck mit den Seitenlängen a bzw. 2a ist. (AP 2008)
(a) Berechnen Sie zunächst das Volumen V (a) des Quaders in Abhängigkeit von der Länge a.
Bestimmen Sie auch eine sinnvolle De…nitionsmenge.
(b) Bestimmen Sie nun denjenigen Wert von a, für den das Volumen V des Quaders sein absolutes
Maximum annimmt. Berechnen Sie auch das maximale Volumen.
4. Ein Doppelrundbogenfenster wird von drei Seiten eines Rechtecks sowie von zwei Halbkreisen (jeweils Radius r) begrenzt. Der Umfang des Fensters beträgt 10 m. Auf Einheiten wird in der Rechnung verzichtet. (AP 2008)
(a) Stellen Sie den Flächeninhalt A(r) des Fensters in Abhängigkeit vom Radius r der Halbkreise
dar und bestimmen Sie eine sinnvolle De…nitionsmenge.
(b) Berechnen Sie auf 3 Nachkommastellen genau denjenigen Wert von r, für den der Flächeninhalt
des Fensters seinen größ
ten Wert annimmt. Wie viel Prozent des Inhalts nimmt in diesem Fall
der rechteckige Teil des Fensters ein?
5. In einen dreieckigen Dachgiebel soll symmetrisch zur Mittelachse (y-Achse) ein rechteckiges Fenster
eingebaut werden (siehe Skizze). Das Fenster soll auf einem Sims der Höhe 1 m aufsitzen. (AP 2007)
(a) Stellen Sie den Flächeninhalt A(a) des Fensters in Abhängigkeit von a (siehe Skizze) dar und
bestimmen Sie eine sinnvolle De…nitionsmenge.
(b) Bestimmen Sie nun a so, dass der Flächeninhalt des Fensters den größ
ten Wert annimmt.
Ermitteln Sie auch Breite und Höhe dieses Fensters.
6. Gegenüber einem Würfel der Kantenlänge x sind die Kanten der Boden‡äche eines Quaders um
3 LE größ
er, seine Höhe um 3 LE geringer. (AP 2006)
(a) Bestimmen Sie das Volumen V (x) des Quaders in Abhängigkeit von x und bestimmen Sie eine
sinnvolle De…nitionsmenge.
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(b) Berechnen Sie die Kantenlänge x des Würfels so, dass Quader und Würfel gleiches Volumen
haben.
7. Aus einem quadratischen Stück Blech mit der Seitenlänge a = 100 cm soll durch Abschneiden von
zwei Dreiecken und zwei Quadraten (siehe Skizze links) und anschließ
endes Aufbiegen der Seitenteile
eine Schaufel gefertigt werden (siehe Skizze rechts). (AP 2005 NT)
(a) Stellen Sie die Maß
zahl des Volumens V (h) der Schaufel („halbierter Quader“) in Abhängigkeit
von der Höhe h dar. Bestimmen Sie zudem eine sinnvolle De…nitionsmenge.
(b) Bestimmen Sie nun h so, dass das Volumen der Schaufel den größ
ten Wert annimmt. Berechnen
Sie auch das maximale Volumen
8. Um Obstkisten aus Pappe herzustellen, werden aus rechteckigen Kartonplatten an den 4 Ecken
jeweils Quadrate abgeschnitten. Anschließ
end werden die Seitenteile so gefalzt, dass doppelwandige
Seiten mit der Höhe x entstehen. Die Kartonplatten haben zu Beginn eine Länge von 1:20 m und
eine Breite von 0:90 m. (AP 2004 NT)
(a) Stellen Sie die Maß
zahl des Volumens V (x) einer solchen Obstkiste in Abhängigkeit von der
Höhe x dar. Bestimmen Sie zudem eine sinnvolle De…nitionsmenge.
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(b) Bestimmen Sie nun x so, dass das Volumen der Kiste den größ
tmöglichen Wert annimmt.
Berechnen Sie auch das maximale Volumen Vmax .
9. Die folgende Tabelle ist Grundlage der Kalkulation eines Landwirts für den Anbau von Getreide je
Flächeneinheit. Die angegebenen Größ
en sind in Abhängigkeit von der Düngermenge x dargestellt.
(a) Ermitteln Sie die Düngermenge x für den Fall, dass der Ertrag 150 M E beträgt. Bestimmen
Sie hierfür den erzielten Verkaufspreis.
(b) Der Gewinn G in Abhängigkeit von der Düngermenge x lässt sich beschreiben durch
G(x) =
x3
320000
3x2
3x
+
+ 1700 ; x 2 [0; 400] .
800
2
Geben Sie den Zusammenhang dieser Formel mit den Termen E(x), K(x), P (x) in Form einer
Gleichung an. Berechnen Sie nun x so, dass der Landwirt den größ
tmöglichen Gewinn erzielt.
10. Für eine Designerkanne wird der halbmondförmige Gri¤ (siehe Skizze) aus einem rechteckigen
Chromteil herausgestanzt. Die Maß
e sind untenstehender Skizze zu entnehmen, wobei AP B ein
Halbkreis mit dem Mittelpunkt M und ASB ein Parabelbogen mit dem Scheitel S ist.
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Gri¤es auf ganze mm2 gerundet. Während der Rechnung ist
auf Einheiten zu verzichten. (AP 2002 NT)
11. Unten stehende Abbildung zeigt den Querschnitt eines auf dem Kopf stehenden Schi¤srumpfes.
Er soll durch ein Trapez aus Balken stabilisiert werden. Der genannte Querschnitt wird durch den
Graphen der Funktion
h:x7 !
1 2
x + 1 mit x 2 [ 2; 2]
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sehr gut beschrieben.
Berechnen Sie die Abszisse u 2 ]0; 2[ des Punktes P (u; h(u)) so, dass der Flächeninhalt des Trapezes
sein absolutes Maximum annimmt. (AP 2001 NT)
12. Herr K. plant den Einbau eines Dachfensters. Dieses soll die Form eines Rechtecks mit darübergesetztem gleichschenklig-rechtwinkligem Dreieck haben (siehe Skizze). Der Umfang U des gesamten
Fensters beträgt 6 m. (AP 2000 NT)
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(a) Stellen Sie zunächst die Maß
zahl G(x) der Gesamt‡äche des Fensters in Abhängigkeit von der
Rechtecksbreite x dar. Ermitteln Sie auch die De…nitionsmenge der Funktion G.
(b) Berechnen Sie dann denjenigen Wert von x, für den die Flächenmaß
zahl G(x) ihren absolut
größ
ten Wert annimmt. Runden Sie dabei auf drei Nachkommastellen.
13. Eine Fabrik stellt Blechgefäß
e her, welche die Gestalt eines Zylinders mit einer aufgesetzten Halbkugel haben (siehe Skizze). Das Volumen eines solchen Gefäß
es beträgt V = 15 dm3 . Die Dicke der
Gefäß
wand wird vernachlässigt. (AP 1999 NT)
(a) Stellen Sie zunächst die Maß
zahl O(r) der Ober‡äche des Blechgefäß
es in Abhängigkeit vom
Radius r des Zylinders dar. Ermitteln Sie auch die De…nitionsmenge der Funktion O.
(b) Berechnen Sie denjenigen Radius r, für den der Materialverbrauch für diese Gefäß
e seinen
absolut kleinsten Wert annimmt. Runden Sie Ihr Ergebnis auf drei Nachkommastellen.
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