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随伴関手定理
alg-d
http://alg-d.com/math/kan_extension/
2016 年 8 月 22 日
定義. F : C −→ D，E : C −→ U を関手として左 Kan 拡張 F † E が存在して，F † E が任
意の関手 H : U −→ V と交換するとき，F † E は絶対左 Kan 拡張であるという．
定義から明らかに次が成り立つ．
命題 1. F : C −→ D，E : C −→ U ，L : D −→ U を関手，η : E =⇒ L ◦ F を自然変換
とする．
D
=⇒
L
F
η
C
E
U
このとき ⟨L, η⟩ が F に沿った E の絶対左 Kan 拡張である
⇐⇒ 任意の圏 V と関手 K : D −→ V ，H : U −→ V ，自然変換 θ : HE =⇒ KF に対し
て，ある自然変換 τ : HL =⇒ K が一意に存在して，次の等式が成り立つ．
=⇒
F
η
C
=⇒
τ
V
H
=
F
θ
L
E
K
D
U
C
V
=⇒
K
D
E
H
U
定理 2. F : C −→ D を関手とするとき以下の条件は同値である．
(1) F は右随伴を持つ．
1
(2) 絶対左 Kan 拡張 ⟨F † idC , η⟩ が存在する．
(3) F に沿った idC の左 Kan 拡張 ⟨F † idC , η⟩ が存在し，F が左 Kan 拡張 F † idC と交
換する．
D
D
η
C
=
†
F
F idC
C
idC
=⇒
=⇒
F
id
D
F
F †F
=⇒
F ◦(F † idC )
C
C
idC
D
F
またこのとき F ⊣ F † idC であり η がその unit である．
証明. (1 =⇒ 2) F ⊣ G を随伴として，その unit を η ，counit を ε とする．任意の圏 X
と関手 K : C −→ X ，H : D −→ X ，自然変換 θ : K =⇒ HF を取る．
idD
:=
X
=⇒
ε
τ
H
D
=⇒
D
F θ
G
C
K
C
idC
と定義すれば
C
F
idC
C
C
X
F θ
η
G
H
D
K
=
F
idC
C
idC
C
=⇒
X
=⇒
τ
F
K
η
C
H
D
=
F
θ
X
K
G
idC
K
θ
C
=⇒
H
X
G
である．逆に τ が
D
H
=⇒
η
ε
=
D
=⇒
K
idD
D
=⇒
=⇒
=⇒
τ
F
X
=⇒
H
D
C
C
2
idC
C
idC
C
を満たせば
C
η
C
idD
D
K
ε
=
idC
C
X
F θ
G
G
H
D
=⇒
τ
F
G
D
=⇒
H
D
=⇒
ε
=
K
G
idD
D
=⇒
=⇒
τ
X
=⇒
H
D
C
idC
K
C
となるから，このような τ は一意である．故に ⟨F † idC , η⟩ は絶対左 Kan 拡張である．
(2 =⇒ 3) 明らか．
(3 =⇒ 1) G := F † idC と置く．これの絶対性から左 Kan 拡張 F † F = F ◦F † idC = F G
も存在する．F † F の普遍性により ε : F G =⇒ idD が一意に存在して εF ◦ F η = idF が成
り立つ．
=⇒
F
η
C
=⇒
ε
D
idD
D
F
=
D
=⇒
idD
D
idF
F
F
G
C
idC
C
idC
C
故に後は Gε ◦ ηG = idG を示せばよい．その為には，左 Kan 拡張 ⟨G, η⟩ の普遍性から
C
G
idC
C
G
=
η
idC
C
F
η
C
D
=⇒
F
=⇒
=⇒
η
idD
D
=⇒
ε
F
D
=⇒
idD
D
idG
G
G
idC
C
idC
を示せばよいが，それは明らか．
系 3. 圏 C に対して
C が終対象 1 を持つ ⇐⇒ colim(idC ) が存在する．
また，このとき colim(idC ) ∼
= 1 が成り立つ．
証明. 終対象とは対角関手 ∆ : C −→ C 0 = 1 の右随伴である．
1
C
=⇒
1
∆
idC
3
C
C
(=⇒) 終対象 1，即ち ∆ の右随伴が存在するから，定理 2 により左 Kan 拡張 ∆† idC が
存在する．ところで ∆† = colim だったから colim(idC ) が存在することが分かる．
(⇐=) 定理 2 により ∆ が colim(idC ) と交換することを示せばよいが，それは明らか．
colim(idC ) ∼
= 1 も明らかである．
定義. 関手 K : I −→ J が final
⇐⇒ C を圏，F : J −→ C を関手とする．余極限 colim F ，colim F K のどちらかが存
在すればもう片方も存在し，普遍性から得られる射 colim F K −→ colim F が同型を与
える．
定義. C を圏，a, b ∈ C を対象とする．a と b を結ぶ zigzag とは
a → c0 ← c1 → · · · ← cn−1 → cn ← b
の形の図式のことをいう．
定義. 圏 C が連結 ⇐⇒ C ̸= 0 で，任意の対象 a, b ∈ C を結ぶ zigzag が存在する．
命題 4. 関手 K : I −→ J が final ⇐⇒ 任意の j ∈ J に対して j ↓ K が連結．
証明. (=⇒) j ∈ J とする．F := HomJ (j, −) : J −→ Set とすれば，K が final だから
)
(⨿
∼
∼
F
Ki
/∼ だから，ある i ∈ I に対
colim F K ∼
colim
F
1
である．
colim
F
K
=
=
=
i∈I
して F Ki ̸= ∅ でなければならない．即ち HomJ (j, Ki) ̸= ∅ だから j ↓ K ̸= 0 が分かる．
また，colim F K ∼
= colim F ∼
= 1 となるためには任意の f ∈ F Ki0 ，g ∈ F Ki1 に対し
て f ∼ g とならなければならない．よって j ↓ K が連結となることが分かる．
(⇐=) C を圏，F : J −→ C を関手として余極限 µ : F K =⇒ ∆(colim F K) が存
在するとする．i ∈ I に対して µi : F Ki −→ colim F K は C の射である．j ∈ J を
取る．j ↓ K ̸= 0 だから，ある対象 ⟨i, f ⟩ ∈ j ↓ K が存在する．この i と f を使って
τj := µi ◦ F f : F j −→ colim F K と定める．
i
j
f
Ki
Fj
Ff
F Ki
µi
colim F K
この τj は well-defined である．
. .
. ) ⟨i, f ⟩, ⟨i′ , f ′ ⟩ ∈ j ↓ K に対して µi ◦ F f = µi′ ◦ F f ′ を示せばよい．j ↓ K が連結
だから zigzag ⟨i, f ⟩ → ⟨i0 , f0 ⟩ ← ⟨i1 , f1 ⟩ → · · · → ⟨in , fn ⟩ ← ⟨i′ , f ′ ⟩ が存在する．
4
このとき次の図式は可換である．
i
Ki
f
i0
F Ki
Ff
Ki0
i1
f1
Ki1
fn
..
.
j
..
.
in
F f1
Fj
F fn
Kin
f′
i′
µi0
F f0
f0
F f′
Ki′
µi
F Ki0
F Ki1
..
.
µi1
colim F K
µin
F Kin
µi′
F Ki′
故に µi ◦ F f = µi′ ◦ F f ′ である．
この τj は自然変換 τ : F =⇒ ∆(colim F K) を定める．
. .
. ) s : j −→ j ′ とする．⟨i, f ⟩ ∈ j ↓ K ，⟨i′ , f ′ ⟩ ∈ j ′ ↓ K を取れば τj = µi ◦ F f ，
τj ′ = µi′ ◦ F f ′ となる．
i
f
j
Ki
Fj
s
i′
j
′
f′
Ki′
Ff
Fs
F f′
′
Fj
F Ki
µi
F Ki′
µi′
colim F K
このとき well-defined の証明と同様に連結性から µi ◦ F f = µi′ ◦ F f ′ ◦ F s となるこ
とが分かる．故に τ は自然変換である．
この τ が F から ∆ への普遍射であることを示せばよい．その為に c ∈ C を対象，
θ : F =⇒ ∆c を自然変換とする．このとき θK : F K =⇒ ∆c は自然変換である．故に
colim F K の普遍性から射 h : colim F K −→ c が存在し (∆h) ◦ τ = θ となる．また
colim F K の普遍性から h の一意性も分かり，τ は F から ∆ への普遍射である．
系 5. I が終対象 1 を持てば，関手 F : I −→ C の余極限は存在し colim F ∼
= F 1 となる．
証明. 関手 K : 1 −→ I を K(∗) := 1 で定める．任意の i ∈ I に対して i ↓ K = 1 だから
K は final である．colim F K = F 1 が存在するから，前定理により colim F ∼
= F 1 であ
5
る．
定理 6 (General Adjoint Functor Theorem). C, D を圏，C は余完備で関手 F : C −→ D
は余連続であるとする．更に，任意の d ∈ D に対してある集合 S ⊂ Ob(F ↓ d) が存在し
て次を満たすとする (この条件を solution set condition と呼ぶ):
任意の ⟨c, f ⟩ ∈ F ↓ d に対してある ⟨s, k⟩ ∈ S と射 ⟨c, f ⟩ −→ ⟨s, k⟩ が存在する
Fs
k
f
Fc
d
Fs
k′
′
このとき F は右随伴を持つ．
π
証明. 各 d ∈ D に対して colim(F ↓ d −
→ C) が存在することを示せばよい．
. .
idC
. ) この余極限 colim(F ↓ d → C) = colim(F ↓ d → C −−→
C) が存在したとする．
d
D
=⇒
1
F ↓d
π
F
C
idC
C
idC
このとき各点左 Kan 拡張 F † idC が存在し，F † idC (d) = colim(F ↓ d → C −−→ C)
である．今 F が余連続だから，F は各点左 Kan 拡張 F † idC と交換する．従って定
理 2 により F は右随伴を持つ．
d ∈ D とする．solution set condition を満たす集合 S ⊂ Ob(F ↓ d) を取る．S ⊂ F ↓ d
を充満部分圏とみなす．K : S −→ F ↓ d を包含関手とすれば，S が small で C は余完備
K
π
だから，余極限 colim(S −→ F ↓ d −
→ C) が存在する．故に K が final であることを示せ
π
K
π
ば colim(F ↓ d −
→ C) ∼
→ C) の存在が分かる．
= colim(S −→ F ↓ d −
⟨c, f ⟩ ∈ F ↓ d とする．⟨c, f ⟩ ↓ K が連結であることを示せばよい．S の取り方から
明らかに ⟨c, f ⟩ ↓ K ̸= 0 である．⟨⟨s0 , k0 ⟩, g0 ⟩, ⟨⟨s1 , k1 ⟩, g1 ⟩ ∈ ⟨c, f ⟩ ↓ K とする．即ち
6
g0 : ⟨c, f ⟩ −→ ⟨s0 , k0 ⟩，g1 : ⟨c, f ⟩ −→ ⟨s1 , k1 ⟩ である．
s0
F g0
g0
F s0
k0
f
c
Fc
g1
d
F g1
s1
F s1
k1
C が余完備だから，左の図式の pushout p が存在する．また F が余連続だから，F p も
pushout である．
s0
F g0
g0
p
c
F s0
Fp
Fc
g1
k0
d
F g1
s1
F s1
k1
よって pushout の普遍性により，射 F p −→ d が一意に伸びる．
F g0
F s0
k0
Fp
Fc
d
F g1
F s1
k1
k
2
S の性質により，この射 F p −→ d はある ⟨s2 , k2 ⟩ ∈ S を使って F p → F s2 −→
d と書
ける．
F g0
F s0
k0
Fp
Fc
F s2
F g1
F s1
k1
7
k2
d
このとき次の図式を得る．
s0
s2
c
F s0
F g0
g0
k0
g1
k2
F s2
Fc
d
F g1
s1
F s1
k1
この図式は可換である．故に ⟨c, f ⟩ ↓ K が連結であることが分かる．
補題 7. C, D, U を圏で U は co-wellpowered で余完備，F : C −→ D ，S, T : C −→ U
を関手，φ : S =⇒ T をエピな自然変換とする．このとき Kan 拡張 F † S が存在するなら
ば F † T も存在する．
D
=⇒
F †S
F
η
S
U
φ
⇒
C
T
π
T
証明. d ∈ D に対して colim(F ↓ d −
→C−
→ U ) が存在することを示せばよい．
π
S
各点 Kan 拡張により F † S(d) = colim(F ↓ d −
→C−
→ U ) である．⟨c, f ⟩ ∈ F ↓ d に対
して，標準的な射を σ⟨c,f ⟩ : Sc −→ F † S(d) と書く．これと自然変換 φ : S =⇒ T を合わ
せて，次の可換図式を得る．
F † S(d)
id
F † S(d)
σ⟨ci ,fi ⟩
Sci
σ⟨cj ,fj ⟩
φcj
Scj
φci
T cj
T ci
今 U は余完備だから，次の図式のように pushout を取ることができる．また，pushout
8
の普遍性から点線の射が延びる．
mj
F † S(d)
uj
id
mi
F † S(d)
φcj
Scj
Sci
ui
T cj
T ci
φci
仮定から φci はエピ射で，エピ射の pushout はエピ射だから，mi もエピ射である．U が
co-wellpowered だから，mi たちの余極限 v を取ることができる．
F † S(d)
uj
v
†
ui
F S(d)
Scj
Sci
π
φcj
T cj
T ci
φci
T
v = colim(F ↓ d −
→C−
→ U ) であることを示そう．その為に任意の θ : T ◦ π =⇒ ∆w を
取る．
w
F † S(d)
uj
v
F † S(d)
ui
Scj
Sci
φci
φcj
θ⟨cj ,fj ⟩
T cj
T ci
9
θ⟨ci ,fi ⟩
このとき θ ◦ φ : S ◦ π =⇒ ∆w が得られるから，普遍性により F † S(d) −→ w が一意に延
びる．よって pushout の普遍性から ui −→ w が一意に延びる．よって v の普遍性から
π
T
v −→ w が一意に延びる．以上により v = colim(F ↓ d −
→C−
→ U ) である．
定理 8 (Special Adjoint Functor Theorem). C, D が圏で，C は余完備，co-wellpowered
で，small generating set S を持つとする．このとき関手 F : C −→ D に対して
F が余連続 ⇐⇒ F が右随伴を持つ．
証明. (⇐=) 明らか．
(=⇒) Kan 拡張 F † idC が存在することを示せばよい．
generating set S ⊂ C を充満部分圏とみなし，i : S −→ C を包含関手とする．S が
small で C が余完備だから Kan 拡張 i† i，(F ◦ i)† i が存在する．
D
=⇒
=⇒
=⇒
=⇒
=⇒
F
C ■
■
i
■
S
(F ◦i)† i
i† i
η
C
i
故に F † (i† i) も存在して，F † (i† i) = (F ◦ i)† i が成り立つ．また idC : C −→ C を考えれ
ば，Kan 拡張の普遍性により φ : i† i =⇒ idC が一意に取れる．
idC
C
i† i
=⇒
=⇒
i
φ
η
S
i
idi
C
φ はエピ射である．
. .
. ) c ∈ C に対して φc : i† i(c) −→ c がエピ射であることを示せばよい．各点 Kan 拡
張の構成を思い出せば，φc は i† i(c) = colim(i ↓ c → S → C) = colim c の普遍性
⟨c,f ⟩∈i↓c
10
から定まる射である．
cj
cj
fj
fj
φc
i† i(c)
c
fk
ck
c
fk
ck
u, v : c −→ d を射で，u ̸= v とする．S が generating set だったから，ある s ∈ S と
g : s −→ c が存在して u ◦ g ̸= v ◦ g となる．このとき ⟨s, g⟩ ∈ i ↓ c である．
cj
fj
u
φc
i† i(c)
c
d
v
fk
ck
よって u ◦ φc ̸= v ◦ φc でなければならない．故に φc はエピ射である．
D
=⇒
F † (i† i)
F
η
⇒
C
i† i
φ
C
idC
よって補題 7 により F † idC が存在する．
双対的に，以下の定理も成り立つ．(証明は同様である．)
定理 9. G : D −→ C を関手とするとき以下の条件は同値である．
(1) G は左随伴を持つ．
(2) G に沿った idD の右 Kan 拡張 ⟨G‡ idD , ε⟩ が存在し，任意の関手 K : D −→ X が
右 Kan 拡張 G‡ idD と交換する．
C
C
K◦(G‡ idD )
D
idD
G‡ idD
D
id
K
=
X
11
G
D
G‡ K
=⇒
η
=⇒
=⇒
G
idD
D
K
X
(3) G に沿った idD の右 Kan 拡張 ⟨G‡ idD , ε⟩ が存在し，G が右 Kan 拡張 G‡ idD と
交換する．
またこのとき G‡ idD ⊣ G であり ε がその counit である．
定理 10 (General Adjoint Functor Theorem). C, D を圏，D は完備で関手 G : D −→ C
は連続であるとする．更に，任意の c ∈ C に対してある集合 S ⊂ Ob(c ↓ G) が存在して
次を満たすとする．(この条件を solution set condition と呼ぶ)
任意の ⟨d, f ⟩ ∈ c ↓ G に対してある ⟨s, k⟩ ∈ S と射 ⟨s, k⟩ −→ ⟨d, f ⟩ が存在する
Gs
k
f
c
Gd
k′
Gs′
このとき G は右随伴を持つ．
定理 11 (Special Adjoint Functor Theorem). C, D が圏で，D は完備，wellpowered で，
small cogenerating set S を持つとする．このとき関手 G : D −→ C に対して
G が連続 ⇐⇒ G が左随伴を持つ．
また，関手の表現可能性について次の定理が分かる．
定理 12. D を完備な圏，G : D −→ Set を連続な関手で solution set condition を満た
すとする．このとき G は表現可能関手である．
証明. General Adjoint Functor Theorem により G は左随伴関手 F : Set −→ D を持
つ．このとき d ∈ D と 1 ∈ Set に対して HomD (F (1), −) ∼
= HomSet (1, G−) ∼
= G であ
る．故に G は表現可能関手である．
定理 13. D を完備，wellpowered な圏で，small cogenerating set S を持つとする．こ
のとき関手 G : D −→ Set に対して以下は同値である．
(1) G が連続である．
(2) G が左随伴を持つ．
(3) G が表現可能関手である．
12
証明. 1 ⇐⇒ 2 は Special Adjoint Functor Theorem である．
(2 =⇒ 3) G の左随伴関手を F : Set −→ D とすれば 1 ∈ Set に対して
HomD (F (1), −) ∼
= HomSet (1, G−) ∼
=G
である．故に G は表現可能関手である．
(3 =⇒ 1) 表現可能関手 HomD (d, −) は連続だから明らか．
定理 14. C を余完備な圏，D を圏とする．A ⊂ C を小さい稠密部分圏とする．このとき
関手 F : C −→ D が余連続 ⇐⇒ F が右随伴を持つ．
証明. (⇐=) 明らか．
(=⇒) Kan 拡張 F † idC が存在することを示せばよい．包含関手 i : A −→ C が稠密だ
から i† i = idC である．また A が小圏で C が余完備だから (F ◦ i)† i も存在する．
D
=⇒
=⇒
=⇒
=⇒
=⇒
F
C ■
■
K
■
A
(F ◦i)† i
idC
idK
K
故に F † idC も存在する．
13
C

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