基礎数学 I 第 8 回解答 (担当：佐々木) 6/6 学籍番号: 氏名: (

基礎数学 I 第 8 回解答 (担当：佐々木) 6/6
学籍番号: 氏名: (1) 以下の関数をマクローリン展開し、x4 の項まで求めよ
f (x) = cosh x.
(1)
丁寧に計算すればよい.
f ′ (x) = sinh x, −→ f ′ (0) = 0,
f ′′ (x) = cosh x, −→ f ′′ (0) = 1,
f ′′′ (x) = sinh x, −→ f ′′′ (0) = 0,
f (4) (x) = cosh x, −→ f (4) (0) = 1,
···
である。ここで cosh x =
ex +e−x
,
2
sinh x =
(2)
ex −e−x
2
f (x) = f (0) +
に注意する。マクローリン展開の一般式は
1 ′
1
f (0) + f ′′ (0) + · · ·
1!
2!
(3)
なので代入して
cosh x = 1 +
1 2 1 4
x + x + ···
2!
4!
(4)
となる。
別解
cosh x =
ex +e−x
2
なので、
1
x+
1!
1
= 1− x+
1!
ex = 1 +
e−x
1 2 1 3 1 4
x + x + x + ··· ,
2!
3!
4!
1 2 1 3 1 4
x − x + x + ···
2!
3!
4!
(5)
を利用して
cosh x = 1 +
1 2 1 4
x + x + ··· .
2!
4!
としてもよい。
1
(6)

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