1 §1. 複素変数の関数の積分

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§1. 複素変数の関数の積分
複素積分関数 f(z) = u(x; y) + v(x; y)i および曲線 C : z = z(t)(a î t î b) を考える。f(z) の曲線に
沿っての複素積分を、 C に沿っての線積分を用いて(1)
Z
Z
f(z) dz = (u + vi)(dx + dy i)
Z
C
Z
C
=
(u dx Ä v dy) + i
C
(v dx + u dy)
C
で定義する。さて、次のことが成り立つ。
z = z(t)
について
@x
@y
@z
=
+i
@t
@t
@t
∴
Z
これと（1）によって、(2)
Z
b
f(z(t))
f (z) dz =
Z
a
C
となる。積分
@z
dt = dx + dy i
@t
d z(t)
dt
f (z) dz について曲線 C をその積分路という。例題１次の複素積分を求めよ。
Z
C
z 2 dz
C : z = t + 2t i (0 î t î 1)
C
dz
= 1 + 2i から、公式(2) によって
dt
Z
Z 1
Z 1
1
z 2 dz =
(t + 2t i)2 (1 + 2i)dt = (1 + 2i)3
t2 dt = (1 + 2i)3
3
C
0
0
[解答] 直線 y = 2x に沿う積分である。
問１次の積分を求めよ。ただし、0 î t î 1 とする。
Z
(1)
z dz; C : z = t + t2 i
Z
(1 + z)2 dz;
(2)
C
C : z = ti
C
例題２次の等式を証明せよ。ただし C は円 jz Ä aj = r であり、円 C は正の回転の向き(反時計回り) を
持つとする。
Z
Z
dz
dz
(1)
= 2ôi
(2)
=0
(n = 2; 3 ÅÅÅ
)
z
Ä
a
(z
Ä
a)n
C
C
［証明］円 C は z = a + reií で表され、
(1)
Z
(2)
C
dz
= ireií (0 î íî 2ô) である。
dí
Z
Z 2
dz
1
=
ô ií ií
z
Ä
a
re
ire
dí
C
0
dz
i
= nÄ 1
(z Ä a)n
r
Z
Z
=i
2
ôdí= 2ôi
0
2
ôeÄ i(nÄ 1)ídí=
0
1
i
1
[Ä
eÄi(nÄ 1)í]
r( n Ä 1) i(n Ä 1)

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