賢い発言の論理学

賢い発言の論理学
ゲーデル文入門
ロボットRの約束
•  Rは千円札と万札を１枚ずつ持っている
•  貴方はRに発言する
•  発言が偽ならば、どちらもくれない（約束１）
•  真であれば、少なくとも１枚くれる（約束２）
–  千円札だけ／万札だけ／両方、いずれかは分か
らない
問題１
•  貴方が賢い発言をすれば、Rは貴方に万札を
あげざるをえない
•  さて、貴方は何と言えばよいか？
解答１
•  「Rは私に千円札をくれない」と言えばよい
–  この発言が偽ならば、Rは貴方に千円札をくれる、と
いうことになる
–  しかし、約束１により、偽なる発言には千円札も万札
もくれないので、矛盾
–  よって、上の発言は真
–  つまり、千円札をくれないのは真
–  すると、約束２により、真なる発言に対し、Rは少なくと
も１枚はあげなければならない
–  したがって、Rは貴方に万札をあげざるをえない
記号化
•  「Rは千円札をくれる」を J
•  「Rは万札をくれる」を K
•  貴方の発言を Sとすると、
•  約束１：　¬S⇒¬J∧¬K
•  約束２：　S⇒J∨K
解答１の真偽表
•  S=¬J
約束１
約束２
J K ¬J∧¬K J∨K S ¬S⇒¬J∧¬K S⇒J∨K
T T
F
T
F
T F
F
T
F
F T
F
T
T
F F
T
F
T
解答１の真偽表
•  S=¬J
約束１
約束２
J K ¬J∧¬K J∨K S ¬S⇒¬J∧¬K S⇒J∨K
T T
F
T
F
F
T F
F
T
F
F
F T
F
T
T
T
F F
T
F
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T
解答１の真偽表
•  S=¬J
約束１
約束２
J K ¬J∧¬K J∨K S ¬S⇒¬J∧¬K S⇒J∨K
T T
F
T
F
F
T
T F
F
T
F
F
T
F T
F
T
T
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T
F F
T
F
T
T
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解答１の真偽表
•  S=¬J
約束１
約束２
J K ¬J∧¬K J∨K S ¬S⇒¬J∧¬K S⇒J∨K
T T
F
T
F
F
T
T F
F
T
F
F
T
F T
F
T
T
T
T
F F
T
F
T
T
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解答１の真偽表
•  S=¬J
約束１
約束２
J K ¬J∧¬K J∨K S ¬S⇒¬J∧¬K S⇒J∨K
T T
F
T
F
F
T
T F
F
T
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F T
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F F
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問題２
•  Rが貴方に千円札と万札の両方をあげざるを
えないような発言が可能である
•  さて、貴方は何と発言すればよいか？
解答２
•  「Rは両方くれるか、両方ともくれないかのどち
らかだ」と言えばよい
–  この文が偽になる唯一の方法は、Rが貴方に千
円札だけか万札だけをあげることだ
–  約束１により、偽なる発言には両方ともくれない
–  よって、上の文は偽になりえず、真となる
–  一方、約束２により、真なる発言には少なくとも１
枚はあげなければならない
–  したがって、Rは貴方に両方をあげるしかない
問題３
•  Rが約束を守ることが不可能な発言がある
•  さて、貴方は何と言えばよいか？
解答３
•  「Rは両方ともくれない」と言えばよい
–  Rが貴方に１枚以上あげると、偽の発言なのにあ
げる、ということになって約束１違反
–  両方ともあげないと、真の発言なのにあげない、
ということになって約束２違反
–  何れにしても約束違反するしかない
問題４
•  約束を守る限り、Rが貴方に１億円をあげざる
をえなくなる発言が可能である
•  さて、貴方は何と言えばよいか？
解答４
•  「Rは貴方に千円札も万札も１億円もあげない」と
言えばよい
–  この発言が真ならば、約束２により、千円札か万札を
あげなければならないが、そうすると発言内容が偽
になってしまい、矛盾
–  よって、上の発言は偽
–  すると、発言内容から、少なくともどれかはあげなけ
ればならない
–  しかし、約束１により、偽なる発言に対しては千円札
も万札もあげるわけにはいかない
–  したがって、１億円をあげるしかなくなる

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