1
INHALTSVERZEICHNIS
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
4
2 Analysis
2.1 Überbestimmte Gleichungssysteme: Der analytische Blickwinkel .
2.2 Harmonische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Grundlegendes zum Thema . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Die Mittelwerteigenschaftenharmonischer Funktionen . . .
2.2.3 Geometrische Eigenschaften harmonischer Funktionen . . .
2.3 Neue Darstellungen der Eulerschen Zahl mit rascher Konvergenz
2.4 Eine Anwendung der Eulerschen Formel . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Eine funktionentheoretische Herleitung ... . . .Z. . . . . . . . . . .
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∞
2
2.6
Zum Wallisschen Produkt und dem Integral
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
2.15
2.16
Einige Anwendungen der Eulerschen Formeln . . .
Bemerkungen zur partiellen Integration . . . . . . .
Ein bestimmtes Integral aus der Stochastik . . . . .
Iteratives Lösen quadratischer Gleichungen . . . . .
Harmonische Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eine interessante Proportion . . . . . . . . . . . . .
Eine ästhetische Wendestellenformel . . . . . . . . .
Drei besondere Kurvenscharen . . . . . . . . . . . .
Über Umfänge und Oberflächeninhalte . . . . . . .
Substitutionsregel-Sektorformel-Hyperbelfunktionen
e−x · dx . . . . . . . . . 39
0
3 Stochastik
3.1 Lineare Regression . . . . . . . . .
3.2 Quadratische Regression . . . . . .
3.3 Ergänzungen zur quadratischen und
3.4 Zur χ2 -Verteilung . . . . . . . . . .
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zur linearen
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Regression
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4 Zahlentheorie
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4.1 Periodenlängen von Stammbrüchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.2 Divisionen und geometrische Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5 Algebra
5.1 Zum arithmetischen, geometrischen und harmonischen Mittel . . . .
5.2 Mehr zum arithmetischen, geometrischen und harmonischen Mittel
5.3 Drehungen im Rn und die SO(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Ein alternativer Weg zur SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Konstruktion der SO(4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Exaktes grafisches Lösen quadratischer Gleichungen via Kreis . . .
5.7 Ein aus den Kugelkoordinaten generiertes Vektorprodukt des R3 . .
5.8 Eine kurze Bemerkung zur kleinen Lösungsformel . . . . . . . . . .
5.9 Eine zweite kurze Bemerkung zur kleinen Lösungsformel . . . . . .
5.10 Ein etwas ungewöhnlicher Blick auf quadratische Gleichungen ... . .
5.11 Eine weitere Bemerkung zu quadratischen Gleichungen . . . . . . .
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2
INHALTSVERZEICHNIS
5.12
5.13
5.14
5.15
5.16
5.17
5.18
5.19
5.20
5.21
5.22
5.23
Eine besondere lineare Abbildung . . . . . . . . . . . . .
Ein genetischer Zugang zur Cardano-Formel . . . . . .
Eine interessante Untergruppe der SO(3) . . . . . . . . .
Summenformeln, Teil 1: Kombinatorik . . . . . . . . . .
Summenformeln, Teil 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Summenformeln, Teil 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Summenformeln, Teil 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Summenformeln, Teil 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Summenformeln, Teil 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Summenformeln, Teil 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Summenformeln, Teil 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eine alternative Parametrisierung pythagoreischer Tripel
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6 Geometrie
6.1 Ein (geo)metrisch motivierter Zugang zum Skalarprodukt . . . . . . .
6.2 Ein (geo)metrisch motivierter Zugang zur Determinante . . . . . . . .
6.3 Überbestimmte Gleichungssysteme: Der geometrische Blickwinkel . .
6.4 Dreiecksgeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1 Höhenschnittpunkte und Kegelschnitte . . . . . . . . . . . . .
6.4.2 Ein schöner Dreieckssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.3 Ein weiterer schöner Dreieckssatz . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Die Raute als Generator für Skalarprodukt und Determinante . . . .
6.6 Schmankerln aus der technischen Mathematik . . . . . . . . . . . . .
6.6.1 Der Mohrsche Spannungskreis . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.2 Die Mohrsche Sicherheitsparabel . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7 Hessesche Abstandsformel, Winkelfunktionen und eine Bemerkung
Stochastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8 Ein alternativer Zugang zur Flächeninhaltsformel des Trapezes . . . .
6.9 Gleichseitige Dreiecke und parallele Geraden . . . . . . . . . . . . . .
6.10 Bemerkung zu den Doppelwinkelformeln des (Co)-Sinus . . . . . . . .
6.11 Trigonometrische Summensätze und Geodäsie . . . . . . . . . . . . .
6.12 Projektive Geometrie, lineare Algebra & Analysis . . . . . . . . . . .
6.13 Ein wenig algebraische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.13.1 Ein interessanter Satz über kubische Kurven . . . . . . . . . .
6.13.2 Über kubische Kurven und komplexe Elemente . . . . . . . . .
6.14 Weitere neue Pythagoras-Beweise . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.14.1 Ein erster neuer Beweis des Satzes von Pythagoras . . . . .
6.14.2 Ein zweiter neuer Beweis des Satzes von Pythagoras . . . .
6.14.3 Ein dritter neuer Beweis des Satzes von Pythagoras . . . .
6.14.4 Ein vierter neuer Beweis des Satzes von Pythagoras . . . .
6.14.5 Ein fünfter neuer Beweis des Satzes von Pythagoras . . . .
6.14.6 Ein sechster neuer Beweis des Satzes von Pythagoras . . . .
6.14.7 Ein siebenter neuer Beweis des Satzes von Pythagoras . . .
6.15 Kegelschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.15.1 Eine eine feste Ellipse oskulierende Parabelschar . . . . . . . .
6.15.2 Mongesche Leitkreise/Klassifikation von Kurven 2. Grades . .
6.15.3 Ein Hyperbelsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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229
3
INHALTSVERZEICHNIS
6.15.4
6.15.5
6.15.6
6.15.7
6.15.8
6.15.9
6.16
6.17
6.18
6.19
6.20
Harmonische Punktequadrupel und Kegelschnitte . . . . . . . . .
Eine neue Krümmungskreiskonstruktion für die Parabel . . . . . .
Entartete Kegelschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zur Klassifikation von Kegelschnitten . . . . . . . . . . . . . . . .
Flächeninhalte von Ellipsen in allgemeiner Lage . . . . . . . . . .
Ein Satz von Grassmann über Dreiecksgeometrie und gleichseitige
Hyperbeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.15.10 Aus Ellipsen wird eine Parabel - projektive Geometrie! . . . . . .
6.15.11 Eine einer Ellipse zugeordnete gleichseitige Hyperbel . . . . . . .
6.15.12 Einhüllende einer Ellipsenschar . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.15.13 Zur Reflexionseigenschaft der Parabel(tangente) . . . . . . . . . .
6.15.14 Parabelpolaren alternativ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.15.15 Eine bemerkenswerte Eigenschaft der Parabel . . . . . . . . . . .
6.15.16 Ein besonderes Ellipsen-Hyperbelpaar . . . . . . . . . . . . . . . .
6.15.17 Die Ellipse und das harmonische Mittel . . . . . . . . . . . . . . .
Interessante aus Pythagoras-Beweis-Figuren generierte Kurven . . . .
6.16.1 Eine Kurve aus dem ersten Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.16.2 Eine aus dem zweiten Beweis generierte Strophoide . . . . . . . .
Harmonisches und Fraktales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eine interessante Hüllkurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eine Schar rotierender Ellipsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Traktrix und Pseudosphäre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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287
289

Lösungen Arbeitsaufgaben

Beweis_3

Addieren Sie zwei beliebige Quadratzahlen und verdoppeln Sie das

Beweise folgende - Universität Ulm

AB 9 Omar Khayyams Lösung kubischer Gleichungen

¨Ubungen 8 zur Graphentheorie 2 1. Wie ist n definiert im ersten

Theorie Thaleskreis

Holzliste Nr. Länge Durchmesser Volumen Sortierung

Lösung eines Teils von Aufgabe 7