Klausurstoff Funktionentheorie

Klausurstoff Funktionentheorie
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Allgemeines
Für die 6 CP Klausur sollten Sie den Vorlesungsstoff bis zum 17. Juni beherrschen. Für
die 9 CP Klausur sollten Sie den gesamten Vorlesungsstoff beherrschen. Bei der 9 CP
(6 CP) Klausur gibt es zwei Aufgaben (eine Aufgabe) zu Beweisen aus der Vorlesung
(vgl. Abschnitt 2), zwei bekannte Aufgaben (eine bekannte Aufgabe) aus den Übungen
(vgl. Abschnitt 3) und eine (eine) unbekannte Aufgabe, die Sie mit dem Wissen aus der
Vorlesung lösen können. Sowohl bei der 6 CP als auch bei der 9 CP Klausur werden
die beiden ersten Aufgabenbereiche mit jeweils 2/5 und die unbekannte Aufgabe mit
1/5 der Gesamtpunkte bewertet.
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Sätze und Beweise
Die folgenden Sätze sollten Sie kennen und beweisen können. Neben den angegebenen
Refererenzen finden Sie diese Sätze in jedem Skript und jedem Buch über Funktionentheorie. Die Erklärungen und Beweisen können leicht variieren. Recht ausführlich, aber
ein wenig anders aufgebaut ist z.B. Funktionentheorie von Fischer-Lieb.
Für die 6 CP und die 9 CP Klausur:
1. Cauchy-Riemann Gleichungen [G, S. 11] [J, 6-7] [R, 46-48]
2. Realteil und Imaginärteil einer holomorphien Funktion sind harmonisch [J, 8] [R,
49-50]
3. Integralsatz von Cauchy für Rechtecke [G, S. 22-25] [J, 11-13]
4. Cauchyformel und Mittelwertsatz [G, S. 28-29] [J, 20-21] [R, 182 - 183]
5. Cauchy-Ungleichungen [J, 23] [R, 215-216]
6. Satz von Liouville [G, 34] [J, 23] [R, 218]
7. Fundamentalsatz der Algebra [J, 23] [R, 235-237]
8. Satz von Morera [J, 24] [R, 211-212]
9. Identitätssatz [G, 42] [J, 29] [R, 203-204]
10. Satz von der Gebietsinvarianz [G, 43] [J, 30] [R, 229-230]
11. Maximumprinzip [J, 30-31] [R, 230-231]
12. Charakterisierung von hebbaren Singularitäten bzw. Riemannscher Hebbarkeitssatz [G, 60, 62] [J, 42] [R, 191, 272]
13. Charakterisierung von Polstellen [G, 62] [R, 272-273]
14. Satz von Casorati-Weierstraß [G, 61] [J, 42-43], [R, 274-275].
15. Existenz holomorpher Logarithmen und holomorpher n-ter Wurzeln [Ly, Satz
2.1], [R, 245-248]
Für die 9 CP Klausur außerdem:
1. Holomorphe injektive Abbildungen auf punktierten Gebieten [Ly, Lemma 5.1],
[R, Satz 10.2.1]
2. Die Gruppen der Biholomorphismen von C und C∗ [Ly, Folgerung 5.2, Lemma
6.1, Lemma 6.2], [R, Satz 10.2.2 und Satz 10.2.3]
3. Lemma von Schwarz, [J, Satz 15], [R, Lemma 9.2.1]
4. Konvergenzsatz von Weierstraß, [G, 125ff], [J, 91-92], [R, Satz 8.4.1]
5. Implikationen 1) nach 2) und 1) nach 3) im allgemeinen Satz von Cauchy, [Ly,
Abschnitt 7.1].
6. Residuensatz [Ly, 8.1].
7. Erster Teil im Beweis des Riemannschen Abbildungssatzes: Ist G 6= C ein homologisch triviales Gebiet, so gibt es eine biholomorphe Abbildung f : G → f (G),
deren Bild f (G) in der Einheitsscheibe D enthalten ist (vgl. Aufgabe 43 a)) [G,
140-142].
[G]: Geiges, Vorlesungsskript
[J]: Jänich, Klaus, Funktionentheorie, Springer-Lehrbuch, 1993, ISBN: 3-540-56337-7
[R]: Remmert und Schumacher, Funktionentheorie 1, Springer Verlag, 5. Auflage
[Ly]: Lytchak, Notizen zur Vorlesung (siehe Vorlesungshomepage)
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Übungsaufgaben
Für die 6 CP und die 9 CP Klausur:
Aufgabe 2, Aufgabe 4, Aufgabe 7, Aufgabe 8 a)-b), Aufgabe 9 a), Aufgabe 10, Aufgabe 12, Aufgabe 13, Aufgabe 14, Aufgabe 15, Aufgabe 17, Aufgabe 18, Aufgabe 20,
Aufgabe 22, Aufgabe 23, Aufgabe 24 Aufgabe 27, Aufgabe 28, Aufgabe 29, Aufgabe
32, Aufgabe 33, Aufgabe 35,
Für die 9 CP Klausur außerdem:
Aufgabe 37, Aufgabe 39, Aufgabe 40 a), Aufgabe 42, Aufgabe 43, Aufgabe 45, Aufgabe
46 a), Aufgabe 47 a), Aufgabe 49, Aufgabe 50 a), Aufgabe 51

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