Prof. Dr. I. Steinwart
Dr. R. Walker
Dr. D. Zimmermann
M.Sc. A. Reiswich
Universität Stuttgart
Fachbereich Mathematik
Blatt 12
Höhere Mathematik II
08.07.16
el, kyb, mecha, phys
Gruppenübungen
Abgabe der schriftlichen Aufgaben und Besprechung der Votieraufgaben am 08.07.2016 in den
Übungsgruppen.
Aufgabe 56. (schriftlich)
Consider f : (0, ∞) × R2 → R, with
f (x, y, z) =
yez
.
x
Proceed as follows in order to determine the approximate shape of the level set {(x, y, z)> ∈ R2 :
f (x, y, z) = 2} in a neighbourhood of (1, 2, 0)> .
(a) Show that in a neighbourhood U of (x, y) = (1, 2) the equation f (x, y, g(x, y)) = 2 defines
a unique function g : U → R with g(1, 2) = 0.
(b) Determine the second order Taylor polynomial of g at (1, 2).
Aufgabe 57. Gegeben seien die Geraden
1
1
g = 1 + r −1 , r ∈ R ,
1
1
2
−1
h = 0 + s 1 , s ∈ R .
1
1
Bestimmen Sie den euklidischen Abstand d(g, h) der beiden Geraden sowie die Punkte P ∈ g und
Q ∈ h, so dass d(P, Q) = d(g, h), indem Sie das Problem als Extremwertaufgabe in den beiden
Variablen r und s formulieren.
Aufgabe 58. Es sei A ∈ Rn×n eine symmetrische Matrix und RA : Rn r {0} → R gegeben durch
RA (x) =
hAx, xi
.
hx, xi
Zeigen Sie, dass die kritischen Stellen von RA genau die Eigenvektoren von A sind und die
zughörigen kritischen Werte die entsprechenden Eigenwerte.
Hinweis: Betrachten Sie zunächst hA(x+h), (x+h)i und folgern Sie daraus, dass die Jacobimatrix
der Abbildung x 7→ hAx, xi gegeben ist durch 2(Ax)> .
1
Aufgabe 59. Für positive Zahlen x1 , . . . , xn gilt die Ungleichung vom arithmetischem und geometrischen Mittel,
n
√
1X
n
x1 · x2 · · · xn 5
xi .
n i=1
Zeigen Sie mit Hilfe der mehrdimensionalen Optimierung, dass Gleichheit genau dann eintritt,
wenn alle xj , j = 1, . . . , n, gleich sind.
Hinweis: Bestimmen Sie die kritischen Punkte der Funktion f : (0, ∞)n → R mit
n
f (x1 , . . . , xn ) =
√
1X
xi − n x1 · · · xn
n i=1
.
Aufgabe 60. Gegeben sei fα : R → R mit
fα (x) = x3 + αx2 − x + α2 .
(a) Zeigen Sie, fα für alle α ∈ (−α0 , α0 ) stets drei einfache reelle Nullstellen besitzt, falls α0 > 0
hinreichend klein ist.
(b) Sei n(α) diejenige von α abhängige Nullstelle von fα aus Teil (a) mit n(0) = −1. Bestimmen
Sie das Taylorpolynom zweiter Stufe von n zum Entwicklungspunkt 0.
Hinweise:
• Versuchen Sie nicht, die Aufgabe durch implizites Differenzieren zu lösen. Das wird zu
häßlich.
• Setzen Sie den Ansatz n(α) = −1 + c1 α + c2 α2 + O(α3 ) in die Gleichung fα (n(α)) = 0
ein und eliminieren Sie alle Terme der Ordnungen α und α2 durch geeignete Wahl der
Koeffizienten c1 und c2 .
2
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