ハッピー数に関する擬似概念 白柳研究室 5512027 加藤 奈美 研究の背景 ハッピー数 与えられた自然数の各桁を１桁ずつに分解し、その２乗和 を取る操作を繰り返して、最終的に１に到達する数字のこと である。 （例）１９の場合 12 + 92 = 82 → 82 + 22 = 68 → 62 + 22 = 100 → 12 + 02 + 12 = 1 → 12 = 1 … ハッピー数について初めて考えられたのは、１９７０年代 のロシアにおいてであると考えられる。１０進数の場合、 ある自然数がハッピー数である確率は約１/７であることが 知られている。 はじめの１００個のハッピー数 １ ７ １０ １３ １９ ２３ ２８ ３１ ３２ ４４ ４９ ６８ ７０ ７９ ８２ ８６ ９１ ９４ ９７ １００ １０３ １０９ １２９ １３０ １３３ １３９ １６７ １７６ １８８ １９０ １９２ １９３ ２０３ ２０８ ２１９ ２２６ ２３０ ２３６ ２３９ ２６２ ２６３ ２８０ ２９１ ２９３ ３０１ ３０２ ３１０ ３１３ ３１９ ３２０ ３２６ ３２９ ３３１ ３３８ ３５６ ３６２ ３６５ ３６７ ３６８ ３７６ ３７９ ３８３ ３８６ ３９１ ３９２ ３９７ ４０４ ４０９ ４４０ ４４６ ４６４ ４６９ ４７８ ４８７ ４９０ ４９６ ５３６ ５５６ ５６３ ５６５ ５６６ ６０８ ６１７ ６２２ ６２３ ６３２ ６３５ ６３７ ６３８ ６４４ ６４９ ６５３ ６５５ ６５６ ６６５ ６７１ ６７３ ６８０ ６８３ ６９４ 一昨年・昨年度、先輩の研究 ２乗交互ハッピー数・・・ハッピー数では、すべてを加算してい るところを、加算と減算を交互に行う。 ステップワイズハッピー数・・・各桁を２乗したものに、 一の位から1,2,3,…とかけたものを加算する。 3 3 2乗ハッピー数・・・各桁に分解した後に、２乗ではなく 2乗 する。 → 定理を発見 N進ハッピー数・・・１０進数ではなく、ｎ進数に変換して２乗 ハッピー数に関する擬似概念 ｘ乗ハッピー数 与えられた自然数の各桁を１桁ずつに分解しｘ乗和を取る。 これを繰り替えし、最終的に１に到達する数字がｘ乗ハッ ピー数である。 （例）３乗ハッピー数の場合 １１２→１3 + １3 + ２3 = １０ → １3 + ０3 = １ → １3 = １ ⇒１１２は３乗ハッピー数である。 計算機実験 数式処理システムMaple１４を用いて、さまざまな擬似ハッ ピー数を出力する。 時間短縮のため範囲を設定する。 本研究では１００００以下の数で実験を行った。 ３乗ハッピー数、４乗ハッピー数、５乗ハッピー数まで実験。 ３乗ハッピー数の出力結果 1 10 100 112 121 211 778 787 877 1000 1012 1021 1102 1120 1189 1198 1201 1210 1234 1243 1324 1342 1423 1432 1579 1597 1759 1795 1819 1891 1918 1957 1975 1981 2011 2101 2110 2134 2143 2314 2341 2413 2431 2779 2797 2977 3124 3142 3214 3241 3412 3421 4123 4132 4213 4231 4312 4321 5179 5197 5719 5791 5917 5971 7078 7087 7159 7195 7279 7297 7519 7591 7708 7729 7780 7792 7807 7870 7915 7927 7951 7972 8077 8119 8191 8707 8770 8911 9118 9157 9175 9181 9277 9517 9571 9715 9727 9751 9772 9811 10000 １以外のサイクルに到達する場 合 サイクルA サイクルB サイクルC サイクルD サイクルE サイクルF サイクルG サイクルH １３３→５５→２５０ ２１７→３５２→１６０ ２２４→１３６ ９１９→１４５９ ３５１→３５１ ３７０→３７０ ３７１→３７１ ４０７→４０７ ４乗ハッピー数 １、１０、１００、１０００，１００００のみ １に到達しない場合 サイクルA １３１３９→６７２５→４３３８ →４５１４→１１３８→４１７９→９２１９→１３ １３９ サイクルB ８２０８→８２０８ サイクルC ６５１４→２１７８→６５１４ サイクルD １６３４→１６３４ サイクルE ９４７４→９４７４ ５乗ハッピー数 １，１０，１００，１０００，１００００のみ １に到達しない場合 サイクルA 66414→17601→24585→40074→18855→71787→83190→92061 →66858→84213→34068→41811→33795→79467→101463→90 45→63198→99837→167916→91410→60075→27708→66414 サイクルB 9044→61097→83633→41273→18107→49577→96812→99626 →133682→41063→9044 サイクルC 244→2080→32800→33043→1753→20176→24616→16609→746 02→25639→70225→19996→184924→93898→93898→183877→ 99394→178414→51625→14059→63199→126118→40579→80005 →35893→95428→95998→213040→1300→244 サイクルの続き（５乗ハッピー 数） サイクルD ８２９９→１５０８９８→１２７７１１→３３６ ４９→６８３３５→４４１５５→８２９９ サイクルE ８２９４→９２８７３→１０８８９９→１８３６３５ →４４１５６→１２９５０→６２２０７→２４６４７→２６６６ ３→２３６０３→８２９４ サイクルF ７６４３８→５８６１８→７６４３８ サイクルG ４１５０→４１５０ サイクルH ５４７４８→５４７４８ サイクルI ９３０８４→９３０８４ サイクルJ ４１５１→４１５１ サイクルK １０９３３→５９５３６→７３３１８→５００６ ２→１０９３３ サイクルL ６７１００→２４５８４→３７９７３→９３１４９ 奇進ハッピー数 ｎ進ハッピー数において、奇進ハッピー数に限定し、１０００ ０まで範囲を広げ研究を行った結果以下のような結果が得られ た。 ３進：偶数は３進ハッピー数でない。 ５進：偶数は５進ハッピー数でない。 ７進：偶数は７進ハッピー数でない。 ９進：偶数は９進ハッピー数でない。 予想と証明 予想 「１０進数における、すべての偶数は奇進ハッピー数になることは ない。」 証明 １０進における任意の偶数をNとする。 N = 𝑎𝑛 𝑏 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑏𝑛−1 + ⋯ + 𝑎0 (n + 1桁、b進数表示)とおく。 N ≡ 0 mod2 かつb ≡ 1 mod2 ならばN はb進数ハッピー数ではないことを示 す。 N ≡ 0 ↔ 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1 + ⋯ + 𝑎0 ≡ 0 mod2 （∵ 𝑏 𝑘 ≡ 1(mod2) ∀k）↔ 𝑎𝑛2 + 2 𝑎𝑛−1 + ⋯ + 𝑎02 ≡ 0 mod2 （ ∵ 𝑎𝑛 + ⋯ + 𝑎0 2 = 𝑎𝑛2 + ⋯ + 𝑎02 + 2 𝑖<𝑗 𝑎𝑖 𝑎𝑗 ） ∴ 偶数の2乗和は常に偶数となるので1になることはない。 よって、「10進数における任意の偶数（2n）は、奇進ハッピー数（2n+1進 ハッピー数）にはならない。」 が成り立つ。 新定理 「１０進数における、すべての偶数は奇進ハッピー数になること 一般化 予想 「pが素数のとき、10進数におけるすべてのpの倍数は、1(mod p)進 数においてp乗ハッピー数にならない。」 証明 N = 𝑎𝑛 𝑏 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑏𝑛−1 + ⋯ + 𝑎0 n + 1桁、b進数表示 とする。この時 「N ≡ 0 mod p , b ≡ 1 → Nはb進数においてp乗ハッピー数ではない」ことを示す。 N ≡ 0 mod p ↔ 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1 + ⋯ + 𝑎0 ≡ 0 𝑚𝑜𝑑 𝑝 ∵ 𝑏 𝑘 ≡ 1 modｐ ∀k 𝑝 𝑝 𝑝 ↔ 𝑎𝑛 +𝑎𝑛−1 + ⋯ + 𝑎0 ≡ 0 mod p (∵ (𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1 + ⋯ + 𝑎0 )𝑝 の多項定理において、p乗項以外の項の係数は pが素数であることより、pで割り切れる) ∴ p乗和は1になることはない 新定理 「pが素数のとき、10進数におけるすべてのpの倍数は、1(mod p) 進数においてp乗ハッピー数にならない。」 まとめと考察 １００００以下のｘ乗ハッピー数 出現個数一覧表 ３乗ハッピー数について ３乗ハッピー数になる、数には １,１,２ ７,７,８ １,１,８,９ １,２,３,４ １,５,７,９ ２,７,７,９のいずれかのパターン の数によって構成されている。 ４乗ハッピー数＆５乗ハッピー数 １００００までの範囲では、１０の累乗しか発 見することができなかった。 ⇒１０の累乗以外の数に対してハッピー数を得 るために行える指数計算の最大は３乗ではない x乗ハッピー数 個数 2 143 3 101 4 4 5 4 今後の課題 ｘ乗ハッピー数において、指数計算することがで きる最大の値は３乗ではないかという予想の証明。 ３乗ハッピー数の高さやサイクルに到達する個数 について規則性があるかどうか。
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