地理情報科学教育用スライド ©久保田李光一第4章空間解析 2

第4章空間解析
2.ネットワーク分析
(3) ネットワーク構造分析
久保田光一
[email protected]
地理情報科学教育用スライド ©久保田李光一
ネットワーク構造分析の道具
• グラフ・ネットワークの頂点の探索方法
– 深さ優先探索，DFS，スタックLIFO
– 幅優先探索，BFS，キューFIFO
• グラフ・ネットワークの接続構造
– 木，DAG
– 直径，連結性，連結成分
– 近接度，近接性
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グラフの探索の基本
• グラフ中の頂点を一つ指定し，その頂点から
辿れる頂点を適当な順番に辿る方法のひと
つ
• 深さ優先探索，あるいは，縦型探索
– Depth First Search (DFS)
• 幅優先探索，あるいは，横型探索
– Breadth First Search (BFS)
• 混合タイプ，反復深化（iterative deepening)
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深さ優先探索（DFS)
探索開始頂点
1
2
3
4
番号は探索順序を表す
8
6
5
9
7
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10
深さ優先探索（DFS)
探索開始頂点
1
2
3
4
番号は探索順序を表す
8
6
5
9
7
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10
深さ優先探索（DFS)
• 各頂点 u に探索済みかどうかを表す真偽値変数
u.flag を用意し，最初はそれを false にする．
• 探索開始頂点を u をスタック（LIFO）にプッシュ．
while stack.empty() ≠ true do
v = stack.pop()
v.flag = true
/* 頂点 v に関する処理 */
for all u such that 枝(v,u)が存在
if u.flag ≠ true do stack.push(u)
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スタック（FILO, or, LIFO）
• FILO: First In Last Out 先に入れたものが後に
出てくる抽象構造
• 二つの操作が可能
– stack.push(x)
– stack.pop()
: スタックに x を入れる
: スタックから取り出す
– 山積みするようにしてものを出し入れする方法
3
2
1
stack
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1
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幅優先探索（BFS)
探索開始頂点
1
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4
7
番号は探索順序を表す
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5
8
6
9
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幅優先探索（BFS)
探索開始頂点
1
2
4
7
番号は探索順序を表す
3
5
8
6
9
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幅優先探索
• 各頂点 u に探索済みかどうかを表す真偽値変数
u.flag を用意し，最初はそれを false にする．
• 探索開始頂点を u をキュー（FIFO）にプッシュ.
while queue.empty() ≠ true do
v = queue.pop()
v.flag = true
/* 頂点 v に関する処理 */
for all u such that 枝(v,u)が存在
if u.flag ≠ true do queue.push(u)
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キュー（FIFO）
• FIFO: First In First Out 先に入れたものが先
に出てくる抽象構造
• 二つの操作が可能
– queue.push(x)
– queue.pop()
: キューに x を入れる
: キューから取り出す
– パイプにものを入れて，押し出す方法
3
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1
queue
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3
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1
グラフの構造(木，DAG)
• 木（き），Tree
– グラフの n 個の頂点を繋げるn-1本の枝からなる
グラフ
• DAG (Directed Acyclic Graph) 無閉路有向グラフ
– 有向グラフであって，閉路が無いもの
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グラフの構造（道，有向道）
• 道（無向グラフ，有向グラフ）
– 頂点 v0 (始点）から，枝を辿って頂点 vq （終点）に至る頂点と枝の系列．
– q+1個の頂点 v0, v1, …, vq と q 個の枝 e1, e2, …, eq の系列として (v0, e1,
v1, e2, v2, …, eq, vq) と表すとき，ek={vk-1, vk} ，ek=(vk-1,vk), または，ek={vk,
vk-1} , ek=(vk, vk-1) となるもの
枝の向き無視
• 有向道（有向グラフ）
– 頂点 v0（始点）から，有向枝を辿って頂点 vq （終点）に至る頂点と枝の系列.
– q+1個の頂点 v0, v1, …, vq と q 個の枝 e1, e2, …, eq の系列として (v0, e1,
v1, e2, v2, …, eq, vq) と表すとき，ek=(vk-1, vk) となるもの
枝の向き重要
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グラフの構造（連結性）
• 連結性（無向グラフ，有向グラフ）
– グラフGのどの二つの頂点に対しても，一方を始点，他方を終点とす
る道が存在するとき，グラフG を連結グラフという．
– 連結でないグラフを非連結グラフという．
連結グラフ
非連結グラフ
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グラフの構造（２連結性）
• 2連結性（無向グラフ）
– 任意の2個の頂点を選び，その2個の頂点を結ぶ2本の有向道（同じ
頂点を経由しないもの）が存在するとき，そのグラフは2連結性がある
という
２連結グラフ
２連結グラフではない
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グラフの構造（連結成分）
• 連結成分
– 連結性を満たす頂点の集合で元のグラフを分割したとき，各部分集
合を連結成分という
全体で1個の連結成分
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2個の連結成分
グラフの構造（近接度）
• ネットワーク上の頂点を固定し，その頂点が他の頂点にどの
程度近いのかという近さを表す指標として，近接度がある
• 2頂点間の最短距離を d(u,v) と記す．頂点 u の近接度は，u から u 以外
の全ての頂点への最短経路の値の総和で定義される．
Au 
 d (u, v)
vはu以外の全ての頂点
– ウォーシャル・フロイド法で d(u,v) を計算すればよい．
池
池袋
新宿
御茶ノ水
秋葉原
東京
新御秋東近接性
0 6 11 13 15
6 0 15 17 19
11 15
0
2
4
13 17
2
0
2
15 19
4
2
0
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