4線形代数

5.線形代数
ベクトル
• n次元実ベクトル・・・実数を n個並べる
• 物理学だと3(時間も入れると4)次元まで
• 経済学だと何次元でも自然に出てくる
りんごの値段 


みかんの値段


ビールの値段 


 米の値段 






• n次元複素ベクトル・・・複素数を n並べる
ベクトルの記法
• 縦に並べて太文字にする
 x1 
 
x2 

x
 
 
 xn 
• 横ベクトルに転置する(transpose )
xT   x1
x2
xn 
x '   x1
x2
xn 
ベクトルの和
 x1 
 
x2 

x
 
 
 xn 
 y1 
 
y2 

y
 
 
 yn 
• 要素ごとに足す
• 同様に
 x1  y1 


x

y
2
xy  2




 xn  yn 
 x1  y1 


x

y
2
2

xy 




 xn  yn 
ベクトルのスカラ倍
 x1 
 
x2 

x
 
 
 xn 
a : 実数
• 要素ごとに実数倍
• 交換則と分配則
xy  yx
ax  bx   a  b  x
 ax1 


ax
ax   2 




 axn 
和とスカラ倍の図示
ax, a  1
x
y
xy
ベクトルの内積
りんごの値段 


 みかんの値段 
ビールの値段 


 米の値段 






りんごの数量 


 みかんの数量 
ビールの数量 


 米の数量 






全体の金額
=りんごの値段×りんごの数量
＋みかんの値段×みかんの数量+
ベクトルの内積(定義)
 x1 
 
x2 

x
 
 
 xn 
 y1 
 
y2 

y
 
 
 yn 
 x, y   x y  x1 y1  x2 y2 
xT y : 行列の書き方
• 交換則と線形性
 x, y    y, x 
 ax  by, z   a  x, z   b  y, z 
 xn yn
複素ベクトルの内積(定義)
 a1  b1i 
 c1  d1i 
 a1  b1i 






a

b
i
c

d
i
a2  b2i 
2 
 2 2  共役ベクトル y   2

x

x












 cn  d ni 
 an  bni 
 an  bni 
 x, y   x y   a1  b1i  c1  d1i  
  an  bni  cn  dni 
行列(Matrix)
• 実行列・・実数を縦横に並べたもの
2
例　

4
2
2 

e 
• 複素行列・・複素数を並べたもの
行列の書き方
 a11 a12

a21 a22

A


 an1 a22
a1m 

a2 m 


anm 
n行m列の行列
nmなら正方行列
• 全体は大文字で書く
• 行(row)は、上から下
• 列(column)は、左から右
• 上からi行目で、左jから番目の要素が aij
行列の書き方(続き)
 a11 a12

a21 a22

A


 an1 a22
a1m 

a2 m 


anm 
行ベクトル、あるいは、列ベクトルの並んだもの
 a 1T 
 T
a2 

A   a1 ,..., a m  


 T 
a n 
列ベクトルと行ベクトルは、
1列ないしは1行の行列
行列の和
 a11 a12

a21 a22

A


 an1 a22
a1m 

a2 m 


anm 
 b11 b12

b21 b22

B


 bn1 bn 2
 a11  b11 a12  b12

a21  b21 a22  b22

A B 


 an1  bn1 an 2  bn 2
• 要素の和
a1m  b1m 

a2 m  b2 m 


anm  bnm 
b1m 

b2 m 


bnm 
行列のスカラ倍
 a11 a12

a21 a22

A


 an1 a22
 ta11 ta12

ta21 ta22

tA 


 tan1 tan 2
a1m 

a2 m 


anm 
t : 実数
ta1m 

ta2 m 


tanm 
• 要素ごとの実数倍
交換や結合などの法則
A B  B  A
aA  bA   a  b  A
行列とベクトルの積
 a11 a12

a21 a22

A


 an1 an 2
a1m 

a2 m 


anm 
 a11 x1  a12 x2 

a21 x1  a22 x2 

Ax 


 an1 x1  an 2 x2 
 x1 
  行列の列の次元と
x2 

x
  ベクトルの次元が
 
 xm  等しい
  n a1 j x j 
 a1m xm   j 1

  n
 a2 m xm   j 1 a2 j x j 


 

 

 anm xm   n

a
x

nj
j
 j 1

行列とベクトルの積(別の表現)
 a 1T 
 x1 
 T
 
x2 
a2 


x
A
 


 
 T 
 xm 
a
 n 
 a 1T   x1    a 1 , x  

 T   
a 2   x2    a 2 , x  

Ax 



  

 T    
 a n   xm    a n , x  
内積を縦に並べたもの
行列とベクトルの積(イメージ図)
行列とベクトルの積(別の表現2)
A   a1,..., am 
 x1 
 
x2 

x
 
 
 xm 
 x1 
 
x2 

Ax   a1,..., a m 
 x1a1  ...  xma m
 
 
 xm 
行列の列ベクトルの一次(線形)結合
 x1, x2 ,...., xm 
x1
a1  x2
a2
 ..．  xm am
a1 a2
am
 x1 
x 
 2
 
 
 xm 
m次元実空間からn次元実空間への線形写像f
s, t  R, f  sx  ty   sf  x   tf  y 
z  Axは線形写像
逆に線形写像はある行列Aを使って z  Axとかける
 x1 
1
 0
 0
 
 
 
 
x
0
1
0
2 






x
 x1
 x2
 ..  xm
 
 
 
 
 
 
 
 
0
 0
1
 xm 
 x1 
1
0
 
 
 
x
0
1
2 




f x  f
 x1 f
 x2 f
 ..  xm f
 
 
 
 
 
 
0
0
 xm 
 1 0
 0    x1 
    
  x 
0
1
0 2 






 f
,f
,..., f
    
  
    
    
 1    xm 
 0 0
0
 
0
 
 
1
行列の積
 a11 a12

a21 a22

A


 al1 al 2
a1m 

a2 m 


alm 
 b11 b12

b
b22
B   21


 bm1 bm 2
b1n 

b2 n 


bmn 
 a11b11  a12b21  ...  a1mbm1 a11b12  a12b22  ...  a1mbm 2

a b  a b  ...  a2 mbm1 a21b12  a22b22  ...  a2 mbm 2
AB   21 11 22 21


 al1b11  al 2b21  ...  almbm1 al1b12  al 2b22  ...  almbm 2
m
  m a1 j b j1  m a1 j b j 2
a1 j b jn 

k

1
k

1
k

1


m
m
m

a2 j b j1  k 1 a2 j b j 2
a2 j b jl 


k

1
k

1




 m

m
  alj b j1  m alj b j 2
 k 1 aljb jm 
k 1
 k 1
Aの列数とBの
行数は一致
a11b1n  a12b2 n  ...  a1mbmn 

a21b1n  a22b2 n  ...  a2 mbmn 


al1b1n  al 2b2 n  ...  almbmn 
行列の積(別の表現)
B   b1 ,..., bm 
AB   Ab1 ,..., Abm 
行列とベクトルの積を横に並べたもの
行列の積(イメージ図)
行列の積の補足
ABの  i, k  要素 :  j 1 aij b jk
m
g : R  R の線形写像で対応する行列がB
n
m
f : R  R の線形写像で対応する行列がA
m
l
f  g    : R  R の線形写像で対応する行列がAB
n
l
f  g  x    ABx
行列の積は、線形写像の合成に対応
行列の積の性質
A  B  C   AB  AC
A  BC    AB  C
結合則・分配則は成立
AB  BAは、定義できて、同じ大きさ
の行列でも一般には成立しない
正方行列のトレース
 a11 a12

a21 a22

A


 an1 al 2
a1n 

a2 n 


ann 
trA  a11  ...  ann  i 1 aii
n
ABが正方行列  BAが正方行列  tr  AB   tr  BA
trAB   k 1
m

n

a b jk  j 1
j 1 kj
n

m
k 1
b
a
jk kj
  trBA
単位行列
1 0

0 1

In 


0 0
0

0


1
対角要素が1で
それ以外が0の
n次正方行列
I n A  A : Aは任意の  n, m 行列
BI n  B : Bは任意の l , n  行列
次数が明らかなときは、添え字を略して I
ベクトルの一次独立、一次従属
一次独立
a1 , a 2 ,..., a m : R のベクトル
n
1a1   2a2  ...   mam  0  1   2  ...   m  0
一次従属・・・一次独立でない
ある 1   2  ...   m  0でない
1 , 2 ,...,  m に対して
1a1   2a2  ...   mam  0
一次独立
すべてのベクトルがバラバラな方向を向く
一次従属
例
一つのベクトルは他のベクトルの線形結合で表さ
れる
1 0
  ,  は一次独立
0 1
 1   0   1
 1   0   1
  ,   ,  は一次従属  1   1   1   0
 0   1   1
 0   1   1
(実)部分空間
R の部分集合Lで
x  L, a  R  ax  L
n
x, y  L  x  y  L
例・・二次元平面における原点を通る線や、三
次元での、原点を通る面や線
部分空間の次元
Lがm次元部分空間
⇕
Lが最大m個の一次独立なベクトルを含む
m次元部分空間の基底
a1 , a 2 ,..., a m :
m次元部分空間Lの一次独立なベクトル

x  L  1 ,  2 ...,  m  R,
x  1a1   2a 2  ...   ma m
Lは1a1  2a2  ...  mamで表される点全体
a1 , a2 ,..., amはLの一つの基底( a basi s of L)
Gram Schmittの直交化を使うと長さが1で互いに直
交する(内積が0)の基底が取れる
基底と座標
1
0
0
 
 
 
0
1
0





n
a1 
, a2 
,..., a n 
 
 
 
 
 
 
0
0
1
 x1 
1
 0
 0
 
 
 
 
x
0
1
0
2






x
 x1
 x2
 ....  xn
 x1a1  x2a2  ....  xna n
 
 
 
 
 
 
 
 
x
0
 0
 1  標準的な座標
 n
LR
a1 , a2 ,..., am : Lの一つの基底
x  1a1  2a2  ...  nan 一つの座標を与える
行列のランク
 a11

a
21

A


 an1
a12
a22
an 2
a1m 
a 



a2 m 
a 

  a1 ,..., a m  



 T 

anm 
a n 
T
1
T
2
a1 , a 2 ,..., a mから取れる
一番大きい一次独立のベクトルの数が
行列Aのランク
a 1T , a 2T ,..., a nT から取れる
一番大きい一次独立のベクトルの数と同じ
行列式
• 当面は0かどうかでのみ使う
A
a11
a12
a1n
a21
a22
a2 n
an1
an 2
ann
• Aは正方行列
• 絶対値とは違う
行列式の性質
伸ばす、
縮める
(1)ある行、または、列をα倍するとα倍になる
(2) ある行、または、列に別の行または、列のα倍を加
ひしゃける
えても、変化しない。
(3) ある行と別の行、あるいは、ある列と別の列を入れ
替えると符号がかわる。
ひっくり返す(符号
(4) 単位行列の行列式は1である。
が変わる)
a1 ,..., a nと原点を辺とする平行多面体の
体積に符号を付けたもの
行列式の計算例
ひしゃける
2
3
2
2 3

1
1 
1 4 1 2 4  3 0
2
2
6
6 6
 1 5 2
5 2 0


5
5 5
2
20
0
1
ひしゃける
縮める
6
3
52
5
5 
2
0 1
2
0
51 0
2
5
1
20 1
縮める
二次の行列式
a
a b

c
c d ca
a
a0

b
c
d b
a
0
1
0
b
a
b
c 
c
d b
0 d b
a
a
c b

bd b 
a
0
a  d b c

a 
c
0 d b
c
a
d b
a
c1 0

a
 ad  bc
c  ad b 
a 0 1
0 d b

a
行列式の小行列式展開
a11
a21
a12
a22
a1n
a2 n
an1
an 2
ann
 a11
a22
a22
a22
a22
a2 n
a2 n
an 2
al 2
ann
 a12
a11
a21
a23
a23
a2 n
a2 n
an1
an 3
ann
 ...   1
n
a11
a21
a23
a23
a2 n 1
a2 n 1
an1
an 3
ann 1
繰り返すと値が出るが数値が入っているとき
は、先のような計算(掃きだし)が断然早い
3次の行列式
a11
a12
a13
a21
a22
a23  a11
a31
a32
a33
a22
a23
a32
a33
 a21
a12
a13
a32
a33
 a31
a12
a13
a22
a23
 a11  a22 a33  a23 a32   a21  a12 a33  a13a32   a31  a12 a23  a13a22 
 a11a22 a33  a11a23a32  a21a12 a33  a21a13a32  a31a12 a23  a31a13a22
行列式の性質
• 別の定義
  ,....,   a  a  ....a 



1
n
1
1
2
2
n
n
1 ,...., n
• 線形性
 a1   b1 , a2 ,..., an   a1 , a2 ,..., an   b1 , a2 ,..., an
• 行列式は、平行多面体の嵩で、つぶれる
と0になる。
an  x1a1  ...  xn1an 1
ある頂点が他の辺で作られる平
面の上にのっている
x1a1  ...  xn1an1  an  0は
解  x1 ,..., xn1 , 1   0,..., 0, 0 を持つ
a1,..., an1, an は一次従属
特異行列と正則行列
A   a1 ,..., an1 , an 
一次独立な行がn 以下  A  0  Aが特異
一次独立な行がn  A  0  Aが正則
連立方程式
a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1
a21 x1  a22 x2  ...  a2 n xn  b2
......
an1 x1  an 2 x2  ...  ann xn  bn
• 古典的には鶴亀算
– 鶴と亀があわせて10匹で、足が28本のとき、鶴と
亀が何匹づついるか
• 数値が入っていれば掃き出し法 (消去法)が
速いが以下は、原理的な話
行列による連立方程式の表現
a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1
a21 x1  a22 x2  ...  a2 n xn  b2
......
an1 x1  an 2 x2  ...  ann xn  bn
 a11 a12

a21 a22

A


 an1 an 2
Ax  b
a1m 

a2 m 


anm 
 x1 
 
x2 

x
 
 
 xn 
 b1 
 
b2 

b
 
 
 bn 
逆行列
Ax  b
1 0

0
1
1
A AI 


0 0
0

0
1
となる A があれば


1
1
x A b
A b  A Ax  x
1
A : 逆行列は、 A  0  Aが正則
1
1
のときのみ存在
連立方程式の解の一意性
1
x  A bはAが正則のとき
Ax  bの一意の解
 x1,..., xn  ,  y1,..., yn が解
x1a1  ...  xnan  b, y1a1  ...  ynan  b
 x1  y1  a1  ...   xn  yn  an  0
a1,..., an が一次独立
x1  y1  ...  xn  yn  0, x1  y1 ,..., xn  yn
右逆行列と左逆行列の一致
1
A A  I : 左逆行列で定義
AK  I
A  AK   A I  A  AK  I
1
1
1
A  AK    A A  K  K  A A  I
1
1
1
KA
1
1
AA  I : 右逆行列で定義
クラメールの公式
xi 
a11
a21
a1,i 1 b1
a2,i 1 b2
a1,i 1
a2,i 1
a1n
a2 n
an1
an ,i 1 bn
an ,i 1
ann
A
• 一回行列式を計算するのと連立方程式を解く
のは同程度手間がかかるので、消去法のn倍
時間がかかる
クラメール公式の導出
b1
b2
a12
a22
a13
a11 x1  a12 x2  a13 x3
a23  a21 x1  a22 x2  a23 x3
a12
a22
a13
a23
b3
a32
a33
a31 x1  a32 x2  a33 x3
a32
a33
a11
 x1 a21
a12
a22
a13
a12
a23  x2 a22
a12
a22
a13
a13
a23  x3 a23
a12
a22
a13
a23
a31
a32
a33
a32
a33
a32
a33
a32
a33
2列が同じなので0
逆行列の各要素の行列式表現
 a11 a12

a21 a22

A


 an1 an 2
bi1 
a1m 

a2 m 


anm 
 b11 b12

b21 b22
1

A 


 bn1 bn 2
a11
a21
a1,i 1
a2,i 1
1
0
a1,i 1
a2,i 1
a1n
a2 n
an1
an ,i 1
0
an ,i 1
ann
A
, bi 2 
b1m 

b2 m 


bnm 
a11
a21
a1,i 1
a2,i 1
0
1
a1,i 1
a2,i 1
a1n
a2 n
an1
an ,i 1
0
an ,i 1
ann
• クラメール公式から出る
A
二次行列の逆行列
 a11 a12 
A

a
a
 21 22 
を入れると
1 a12
0 a12
0 a22 a22
1 a22 a12
b11 

, b12 

A
A
A
A
a11 1
a11 0
a21 0 a21
a21 1 a11
b21 

, b22 

A
A
A
A
 a22 a12 
1
A 



a
a
a11a22  a21a12  21
11 
1
行列が特異なときの連立方程式
A 0
bがたまたま x1a1  ...,  xna nとなるとき
のみ解がある

b  L  z   x1 ,...., xn  , z  x1a1  ...,  xnan
bが  a1 ,...,, an の張る部分空間に属する
• そうでないと解がない
• 未知数より式が多いときも同様

式が未知数より少ない連立方程式
x  2 y  5のように解が
いっぱいあるのが普通
 a11 a12

a21 a12

Ax 


 an1 an 2
...
a1n
a2 n
a1n 1
a2 n 1
ann
ann 1
 x1 


x
... a1m   2   b1 
  

... a2 m  
  b2 
xn  
b


 


 xn 1
 
  bn 
... anm  


x 
 m 
必要なら、未知数の順を変え行列を分解する。
 x1 
 A1 , A2     A1x1  A2 x2  b, A1  0
 x2 
 x1   A11  b  A2 x2  
 : x2は任意が解
 
x2
 x2  

分解行列の積
 A11

 A21
A12  B11

A22  B21
B12   A11B11  A12 B21

B22   A21B11  A22 B21
A11B12  A12 B22 

A21B12  A22 B22 
行と列は適当に合うようになっている。
一次方程式体系の比較静学
a11 x1  a12 x2  b1
a21 x1  a22 x2  b2
の解が𝑏1 が変化したとき如何に変化するか
a11  x1  x1   a12  x2  x2   b1  b1
a21  x1  x1   a22  x2  x2   b2
a11x1  a12 x2  b1
a21x1  a22 x2  0
a11x1  a12 x2  b1
a21x1  a22 x2  0
a22
a21
x1 
b1 , x2  
b1
a11a22  a12 a21
a11a22  a12 a21
x1
a22
x2
a21

,

b1 a11a22  a12 a21 b1
a11a22  a12 a21
解をパラメータの関数として表す
x1  b1 , b2  
a22
a12
a21
a11
b1 
b2 , x2  b1 , b2   
b1 
b2
a11a22  a12 a21
a11a22  a12 a21
a11a22  a12 a21
a11a22  a12 a21
x1  b1 , b2 
x2  b1 , b2 
a22
a21

,

b1
a11a22  a12 a21
b1
a11a22  a12 a21
関数が非線形でも、一次式で近似すると、ほぼ同じ
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