Doubled geometry ・Generalized geometry

KEK String Advanced Lecture (SAL), 11th July, 2012
Rotating string
in
doubled geometry
with
generalized isometries
ref. arXiv:1205.5549 (accepted by PRD this morning)
菊池徹
(NIMS/KEK)
共同研究者：
岡田崇（京都大学）、酒谷雄峰（京都産業大学
まとめ
と呼ばれるブレーンが作る背景場と、
そのブレーンの周りを回る基本弦の運動を調べた。
（①
ブレーンが作る背景場を再構築した。）
cf. [de Boer-Shigemori, Phys.Rev.Lett. 104 (2010) 251603]
②
ブレーンの周りを回る基本弦の古典解を得た。
③
ブレーンと、その周りを回る基本弦の性
質が、
Double Field Theoryの枠組みでよく理解できること
を示した。
T-fold and
(d次元コンパクト化された時空における)
T-duality変換群
の復習
質量０の点粒子の場合：
コンパクト方向の足
ノンコンパクト方向の足
(ノンコンパクト時空にとっての質量)
弦
弦の場合：巻きつき数の寄与も考えて、
巻きつき数
B場の寄与も含めると…
正準運動量がずれる
i.e.,
Generalized metric
Generalized metricの変換性
変換行列
の種類
① 座標変換
C∈GL(d)
② （B場の）ゲージ変換
Aは反対称
ｄ×ｄ行列
③それ以外（非自明なT-duality群変換）
この
変換が、
どのような奇妙な時空(=T-fold)を自然に生み出すのか見てみよ
T-fold の toy model : H3 on T3
×
[Hull, JHEP 0510 (2005) 065]
with
非周期性
ゲージ変換
(→constant H=dB)
座標変換
（非自明な）
T-duality群変換
T-fold
T-fold の toy model : H3 on T3
(φ,ψ)-torusのgeneralized metric
[Hull, JHEP 0510 (2005) 065]
モノドロミー
大ざっぱな教訓：非周期性がB場だけに因る系に、
２回T-dualityを作用させるとT-foldを得
弦理論の場合： NS5
T
KKM
T
T-fold
brane-web of (type II) string theory
IIA
IIB
全てU-fold!
(codim=2)
記法：
-brane
T-duality
S-duality
の構造
[de Boer-Shigemori, Phys.Rev.Lett. 104 (2010) 251603]
（余分な次元が加わるだけ）
基本的には先ほどの toy model と全く同じ。
i.e., 非自明にファイバーされた2-torusがある。
の構造
＝
(3,4)-torus
時間方向
＋transverse (1,2)平面
＋非自明にファイバーされた(3,4)-torus
(1,2)平面
＋残りの次元
の軸非対称性はO(2,2)変換からくる。
Rotating String
and
Double Field Theory
前節のまとめ：
T-fold (より一般にはnon-geometric background)
弦理論に自然に（必然的に）存在する奇妙な時空
観測者は
どのような世界を見るか？
このような奇妙な背景場における物理（=プローブの挙動）
を調べる。
→ 弦理論には「人間」は存在しないので、プローブとして基本弦を置いて
もともとの動機：
・chargeの非保存？
・離散的なchargeの、連続的な遷移過程
例:：基本弦を
の周りで一周させる。
？
？
？
中途半端なwinding number？
始状態
p3= -1
p4=0
w3=0
w4=1
終状態
p3= -1
p4=0
w3=0
w4=0
背景場の変化に合わせて、
プローブも変化する。
(巻きつき数の非保存？)
話をはっきりさせるために、
周りを、等角速度で回転する基本弦の古典解を求めた
：任意関数
２個の未知関数に対する
６個の方程式。
→
一般解が求まった
結果（当初の目的意識からするとあまり面白くない）
(3,4)-torus
（見やすさのために
長方形で表している）
弦
(1,2)-平面
注：このような解しか存在しない。
と単純だから…
の軸非対称性は、
は「何らかの意味で」軸対称で、
の周りを回る基本弦は、「何らかの意味で」形を変えずに回っているのだ
？
＝
「何らかの意味」 →
doubled geometryの意味
Double Field Theory の骨子
・ Doubled geometry
すべての場はx^Iに依存する
双対座標
コンパクト方向の座標
※このトークでは、簡単のため１０次元すべてをdoubleにす
・Generalized geometry
特に、一般化されたリー微分：
Doubled geometry
cf. [Duff, Nucl.Phys. B335 (1990) 610]
[Kugo-Zwiebach,
Prog.Theor.Phys. 87 (1992) 801-860]
理由１
不変性（⊃10次元一般座標不変、10次元ゲージ不変）
を明白にしたい。→ 通常の時空の足L,M,N…を含む20次元の足が必
理由２
は弦の運動量と巻きつき数を混ぜる。
実際、
不変な作用が書ける。
作用を書くのに必要な材料：
ゲージ固定
Generalized geometry
Good review:
[Zwiebach, Lect.Notes Phys. 851 (2012) 265-291 ]
Generalized geometryの基本思想：
GとBを対等に扱いたい。
ゲージ変換パラメター：
one-form vector
Gのゲージ変換：
Bのゲージ変換：
GとBで形が異なる
（実に醜い）
この「おつり」を吸収したリー微分を作りたい。
[Hohm-Hull-Zwiebach, JHEP 1008 (2010) 008]
一般化リー微分の見つけ方：
Generalized metric
の変換性を書き下してみる。
vector と one-formに関して対称で美しい式。
注：より演繹的な一般化リー微分の定義の仕方もある。
cf. Generalized complex geometry
(ex. Courant bracket, Hitchin geometry)
Doubled geometry の言葉で、先ほどまでの話を見直してみる。
・
はdoubled geometryの意味で軸対称。
重要な点：
が双対座標に依存している。
そうでなければ、ただの座標変換
言い換えると、
は双対座標を巻き込んだような座標変換
我々の時空
（Doubled geometryの言葉を借りなければ、このようなisometryは記述できない
現段階では、このgeneralized isometryは「目の子」で見つけただけ。
→ 意味の詳しい理解は今後。
・弦はgeneralized Killing vectorに沿って、
形を変えずに平行移動していく。
弦の”形”を表すベクトル
イメージ図２
イメージ図１
doubled空間
方向
射影
我々の時空
我々の時空
doubled空間
doubled弦
通常の弦
(形を変えていく)（形を変えない
関連する話題
＆
Future directions
（放言）
Q-brane
[Greene-Shapere-Vafa-Yau, Nucl.Phys. B337 (1990) 1]
[Bergshoeff-Hartong-Ortin-Roset, JHEP 0702 (2007) 003]
D7-brane
“S-brane”
（特に名前はないブレーン）
一般に“Q-branes”と呼ばれる。
弦理論的な素性は分かっていない。
通常のブレーンの束縛状態？
D7-brane
-brane
U-duality
“S-brane”
“T34-brane”
[TK-Okada-Sakatani, arXiv:1205.5549]
Q-braneの素性は何か？
その周りでのprobeの振る舞いは？
U-folds上のcharge
GHMプロセス
[Gregory-Harvey-Moore, Adv.Theor.Math.Phys.1:283-297,1997]
KKMの周りで基本弦を動かす（off-shell）。
KKMを囲むS^3はHopf S^3
→ 基本弦はlocalにしかS^3に巻き付けない。
（globalには巻きつき数が定義できない）
→ プロセスの最中、基本弦からKKMにwinding chargeが流れ込む
の周りで基本弦を動かす(off-shell)。
のモノドロミーは
→
基本弦はlocalにしか
に巻き付けない。
（globalには巻きつき数が定義できない）
→プロセスの最中、基本弦から
にwinding chargeが流れ込む
渦の存在下でのcharge
7-brane: 弦理論における渦
渦：非自明なサイクルを持ち得る。
cf. Alice string, Cheshire charge
→ 周囲に対する影響力が強いソリトン
[Schwarz, Nucl. Phys. B 208, 141 (1982).]
[Alford-Benson-Coleman-MarchRussel-Wilczek, Nucl. Phys. B 349, 414 (1991)]
cf. Abe homotopy: 渦とモノポール共存状態の分類、 Z→Z2
[小林-小林-川口-新田-上田, Nucl.Phys. B856 (2012) 577-606]
↑ これらは“自明な背景”におけるchargeの分類
U-fold上の”charge”を定義するためには、
dualityによって様々なchargeが渾然一体となっている様
を理解しなければならない（？）
dualityへの理解に対する新しいアプローチ（？）
弦
T
こちらの世界
あちらの世界
一つの世界での出来事
通常の文脈でのduality
U-fold背景におけるduality
consistentな描像 → dualityの理解
名言（？）
「U-foldをめぐる道は、
である。
--岡田崇

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