二体クラスターRGM kernel を用いた 四体Faddeev-Yakubovsky 方程式 --- 4d’ と 4 系への応用 --京大理 藤原義和 1. 2. 3. 4. 5. 6. 導入 二体 RGM kernel を用いた四体 Faddeev-Yakubovsky方程式 同種 4 boson 系の Faddeev-Yakubovsky方程式 Faddeev redundant components 4 boson 系: 4d’ 系と 4 系への応用 まとめ 2013.7.26 rcnp 研究会クラスター現象 1.8 fm for 0 核子サイズ 0.8 fm 原子核物理における素朴な疑問 核子を点粒子として扱い、簡単な有効相互作用を用いて ほぼ正しく核構造、核反応が記述されるのは何故か? それには (いくつかの) 前提がある、それを無視して単純に推論する と、思いがけない落とし穴に陥る場合がある・・・ (自戒の念をこめて) ここで議論すること 3 OCM (北大グループや肥山さんの計算) , 4 OCM (船木 et al. ) では大きな(斥力の) 3 力、4 力が必要, その起源は何か? 核力における 3 体力のヒント? 2 S. Oryu Y. Suzuki, D. Baye 8Be macroscopic model semi-microscopic model present model microscopic model RGM, GCM, ... 2013.7.26 rcnp 研究会クラスター現象 3 7 MeV 12C 4 threshold 14 MeV 3 力: 3 4 12 MeV 4 力: 15 MeV by Funaki 16O 枠組み: 2 体クラスター RGM kernel を用いた 3 体, 4 体 クラスター Faddeev-Yakubovsky方程式 phase shift を再現するような有効 2 体力: Minnesota 3-range force Volkov No.2 force etc. 3 系 Phys. Rev. C70, 024002 (2004), Few-Body Systems 34, 237 (2004) Phys. Lett. B659 (2008) 160; Phys. Rev. C76, 054003 (2007) 3 体にまたがる反対称化の効果 2 MeV 程度の引力 4 系ではどうか? 予想された結果? D.M. Brink and E. Boeker Nucl. Phys. A91, 1 (1967) 大きく overbound する > 30 MeV compact すぎ rms radius 2.0 – 2.2 fm vs. exp. 2.7 fm 多分 3 体, 4 体クラスター間にまたがる反対称化の効果は小さい。 しかし、有効相互作用の問題がある。 問題は単純ではない。いくつかの視点が必要。 2013.7.26 rcnp 研究会クラスター現象 Itagaki et al., Prog. Theor. Phys.94 (1995) 1019 Descouvemont et al., J. Phys. G25 (1999) 933 1. 反対称化の効果 (3 RGM, 4 RGM との比較によって可能) Pauli 原理の dual role (玉垣 PTP Supplement 52, 1972) healing を通じた一体場の形成の論理 (G-行列理論) damped inner oscillation (構造的斥力) clustering を加速 Wigner の spin-isospin supermultiplet と空間 SU3 対称性 (00) の特殊性 2. 有効相互作用の問題 tensor force の役割: 重い核ほど中心力引力への2次の繰込みが減少 RGM では Majonara mixture parameter u (Minnesota force) or m (Volkov force) で調整。しかし、これは odd force の強さの調整で別物。 Hasegawa-Nagata-Yamamoto force の が対応。 クラスターの崩れと LS 力の役割。特に, 3 で重要。(Itagaki) 3 クラスターの広がりパラメータの選択: 自然な の広がりでO.K.か? 基底状態と励起クラスター状態との一貫性? 2, 3, 4 を通じて, rms radius と EB を同時に 再現する様な有効相互作用は存在しないのか? 2013.7.26 rcnp 研究会クラスター現象 多クラスター Faddeev-Yakubovsky方程式の満たすべき要件 1. 2. 3. 4. 変分法 (h.o. basis, SVM, Gauss 展開法, 等) と (同一のinput で) 同じ結果 を与える。 現象論的2 体クラスター間ポテンシャルではなく, 構成粒子間の 2 体力か ら出発して RGM kernel を作る Pauli forbidden state u は “クラスター 相対運動に対する直交条件” として自然に出る。… 2 体RGM kernel を用 いた対直交条件型 (堀内型) OCM 例えば2, 3, 4 と通して議論できる。 Induced 3-body force (3 クラスター にまたがる反対称化の効果) や 2 クラスター間力の off-shell変換の効果 ( エネルギー依存性を除去したことによる 1/√N の効果, 等) を議論できる。 … 核力における Vlow-k や SRG 変換に対するヒントを与える? 2体クラスター間にパウリ禁止状態があるときの Faddeev redundant component が適切に処理できて、方程式が実際解けること。3体は簡単だ が、4体以上では自明でない。…) 2013.7.26 rcnp 研究会クラスター現象 4 case i<j |ui,j ui,j|ψ=|ψ = 0 : パウリ許容 > 0 : パウリ禁止 in |ψ [4] Þ = |ψ ψ | Projection operator onto the (pairwise) Pauli-allowed state |ψ= (1/) i<j |ui,j ui,j|ψ P [ E H 0 (VRGM )i , j ]P 0 i j : 4-cluster OCM using energy-independent VRGM G0 ( E )T ( E h0 ) P[(1 P(34) ) ] G0 ( E )T ( E h0 ) P[(1 P(34) ) ] : 4-cluster Faddeev-Yakubovsky equation using RGM T-matrix T or t where u | [1 G ( )T ( )] [1 T ( )G P P(12) P(23) P(13) P(23) , P P(13) P(24) Total wave function P (1 P){[1 P(34) (1 P)] (1 P)} ui , j | 0 () 0 () 0 ( )] | u 0 Cf. Non [4]-symmetric trivial solutions in the 4α system are removable. 2013.7.26 rcnp 研究会クラスター現象 (Faddeev redundant components) 4 体同種 Fermion/Boson 粒子系の Faddeev-Yakubovsky 方程式 G0tP[(1 P(34) ) ] (3 body case) G0tP G0tP[(1 P(34) ) ] with t V RGM V RGM G0t , Total wave function (1 P) P P(12) P(23) P(13) P(23) , P P(13) P(24) Total wave function (1 P){[1 P(34) (1 P)] (1 P )} q3 p3 12 ( 2013.7.26 rcnp 研究会クラスター現象 12+ 3+ 12s12)I12 4, 12+ 3 Imax= 6 34+ ( sum) by A. Nogga, Ph.D. thesis m Faddeev redundant components 1) Y-type 座標における 3体部分系の redundant component : (1+P)|uf=0 2) 2体 - 2体の H-type 座標における core exchange type の redundant component : (1+P)|uu=0 3) genuine 4体系の redundant component : | uF P[(1 P(34) )uF uG ] | uf uf | (1 P(34) )uF uG uu | (1 P )uF uG | uG P[(1 P )uF uG ] | uu (34) we can prove (34) with 1 uf | uF 0 , uf | (1 P(34) )uF uG 0 | (1 P )uF uG 0 | uG 0 , uu uu (34) and (1 P){[1 P(34) (1 P)]uF (1 P )uG} 0 2013.7.26 rcnp 研究会クラスター現象 trivial solution 4) modified Faddeev-Yakubovsky equation : G0tP[(1 P(34) ) ] | uf uf | (1 P(34) ) | uF (1 P(34) )uF uG | (1 P(34) ) | (1 P ) G0tP[(1 P(34) ) ] | uu uu (34) | uG (1 P(34) )uF uG | (1 P(34) ) we can prove u | 0 and uf | 0 , uf | (1 P(34) ) 0 uu | 0 , uu | (1 P(34) ) 0 for identical 4-boson systems 2013.7.26 rcnp 研究会クラスター現象 4d’ case isospin 自由度を無視した 4 の模型 d’ d’ RGM の parameter (Pauli forbidden state: (0s) only) v = v0 e-r2(1+Pr)/2 (pure Serber) with = 0.46 fm-2 = 0.12 fm-2, v0 = 153 MeV (151 152 MeV で bound) S. Saito, S. Okai, R. Tamagaki and M. Yasuno, Prog. Theor. Phys. 50 (1973) 1561 4 case RGM の parameter (Pauli forbidden state: (0s), (1s), (0d) ) Volkov No.2 m=0.605, b=1.36 fm (=0.27 fm-2) (Baye’s parameter) E2= 1.105 (0.252) MeV red: with Coulomb E3= 7.391 (2.307) for Ntot=60 E4= 38.96 (25.77) for Ntot=20 vs. -39.15 MeV (Faddeev) M. Theeten et al., Phys. Rev. C76, 054003 (2007) 2013.7.26 rcnp 研究会クラスター現象 4d’ energy and rms radius Faddeev-Yakubovsky (6-6-3 mesh) su m E4d’ (MeV) KE (MeV) Rc (fm) rms (fm) max • • • • v = v0 e-r2(1+Pr)/2 (pure Serber) = 0.12 fm-2, = 0.46 fm-2, v0 = 153 MeV h.o. variation (total quanta Ntot) Ntot max 6 E4d’ (MeV) 0.416 c(00) KE (MeV) Rc (fm) rms (fm) 1 52.25 2.339 2.932 8 1.604 0.941 63.44 2.130 2.768 10 4.485 0.914 67.55 2.116 2.758 12 5.481 0.879 74.14 2.002 2.671 14 6.181 0.857 77.34 1.980 2.655 16 6.466 0.842 80.08 1.938 2.623 0 0.100 5.160 14.79 14.90 2 0.099 5.033 14.79 14.89 4 0.768 23.67 5.362 5.645 6 6.872 81.98 1.891 2.589 8 7.012 83.53 1.875 2.577 10 7.088 83.41 1.879 2.580 81.10 1.935 2.621 12 7.089 18 6.628 0.836 83.41 1.879 2.580 20 6.689 0.832 81.85 1.923 2.612 22 6.726 0.829 81.50 1.948 2.631 6 で大きく変化する : [(20)(20)](02)(20):(00) のため sum max = h.o. basis : convergence is very slow E3d’ = 0.417 MeV (Ntot=60) : small E2d’ = 0.05 MeV (Ntot=100) v0 = (151 152) MeV で bound 2013.7.26 rcnp 研究会クラスター現象 4 energy and rms radius Volkov No.2 m=0.605, b=1.36 fm h.o. variation (red: with Coulomb) Faddeev-Yakubovsky (4-4-2) su E4 (MeV) m KE (MeV) R (fm) rms (fm) max 0 4.21 15.51 3.67 3.95 2 4.16 15.20 3.69 3.96 4 6.53 20.71 3.27 3.57 6 7.28 23.10 3.07 3.40 8 11.56 43.08 2.71 3.07 10 15.82 66.39 2.19 2.62 12 39.06 142.33 1.57 2.13 14 39.15 141.80 1.57 2.13 • • • largely overbound (rms)exp= 2.7100.015 fm sum max=12 で大きく変化する [(40)(40)](04)(40):(00) のため b を大きくとって rms radius を大きく しても overbinding は不変 Ntot E4 (MeV) c(00) KE (MeV) R (fm) rms (fm) 12 34.14 1 184.98 1.38 2.00 19.99 1 184.98 1.38 2.00 14 37.04 0.964 160.34 1.48 2.07 23.47 0.958 158.60 1.49 2.07 16 38.27 0.935 150.87 1.53 2.10 24.90 0.924 148.05 1.54 2.11 18 38.76 0.917 145.95 1.55 2.12 25.50 0.901 142.43 1.57 2.13 20 38.96 0.907 143.39 1.57 2.13 25.77 0.888 139.37 1.59 2.15 E2= 1.105 (0.252) MeV E3= 7.391 (2.307) for Ntot=60 2013.7.26 rcnp 研究会クラスター現象 Cf. S. Oryu, H. Kamada, H. Sekine, T. Nishino, and H. Sekiguchi, Nucl. Phys. A534 (1991)221 まとめ 2体クラスターRGM kernel を用いた 4 体Faddeev-Yakubovsky方程式を解 くことにより, 4d’ 系と 4 系の基底状態の結合エネルギーと平均 2 乗半径 を計算した。結果は、3 体までの実験値を出来るだけ再現する有効核力で 大きく overbound する。また、rms radius は小さすぎる。 J force 01+ MN (u=0.947) 11.6 2.18 9.42 2.17 V2 (m=0.605) 4.53 2.50 2.33 2.68 26 2.2 MN (u=0.912) 7.27 2.25 4.90 2.27 47 2.0 V2 (m=0.593) 7.27 2.41 4.73 2.52 MN (u=0.931) 9.57 2.21 7.27 2.21 V2 (m=0.582) 9.99 2.35 7.27 2.42 exp. 7.27 2.48 14.44 2.71 01+ 01+ 3 RGM (micro) E (MeV) rms(fm) our 3 E (MeV) rms (fm) our 4 E (MeV) rms (fm) Present results ! M. Theeten et al., Phys. Rev. C76, 054003 (2007) 2013.7.26 rcnp 研究会クラスター現象 RGM is u (or m) independent. b = 1.36 fm ( = 0.27)
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