二体クラスター RGM kernel を用いた四体 Faddeev

二体クラスターRGM kernel を用いた
四体Faddeev-Yakubovsky 方程式
--- 4d’ と 4 系への応用 --京大理藤原義和
1.
2.
3.
4.
5.
6.
導入
二体 RGM kernel を用いた四体 Faddeev-Yakubovsky方程式
同種 4 boson 系の Faddeev-Yakubovsky方程式
Faddeev redundant components
4 boson 系: 4d’ 系と 4 系への応用
まとめ
2013.7.26 rcnp 研究会クラスター現象
1.8 fm for 0
核子サイズ  0.8 fm
原子核物理における素朴な疑問
核子を点粒子として扱い、簡単な有効相互作用を用いて
ほぼ正しく核構造、核反応が記述されるのは何故か?
それには (いくつかの) 前提がある、それを無視して単純に推論する
と、思いがけない落とし穴に陥る場合がある・・・ (自戒の念をこめて)
ここで議論すること
3 OCM (北大グループや肥山さんの計算) , 4 OCM
(船木 et al. ) では大きな(斥力の) 3 力、4 力が必要,
その起源は何か?  核力における 3 体力のヒント?
2
S. Oryu
Y. Suzuki, D. Baye 8Be
macroscopic model
semi-microscopic model present model
 microscopic model RGM, GCM, ...
2013.7.26 rcnp 研究会クラスター現象
3
 7 MeV
12C
4
threshold
 14 MeV
3 力: 3  4  12 MeV
4 力:  15 MeV
by Funaki
16O
枠組み: 2 体クラスター RGM kernel を用いた 3 体, 4 体
クラスター Faddeev-Yakubovsky方程式
 phase shift を再現するような有効 2 体力: Minnesota 3-range force
Volkov No.2 force etc.
3 系
Phys. Rev. C70, 024002 (2004), Few-Body Systems 34, 237 (2004)
Phys. Lett. B659 (2008) 160; Phys. Rev. C76, 054003 (2007)
3 体にまたがる反対称化の効果  2 MeV 程度の引力
4 系ではどうか?
予想された結果?
D.M. Brink and E. Boeker
Nucl. Phys. A91, 1 (1967)
大きく overbound する > 30 MeV
compact すぎ rms radius  2.0 – 2.2 fm
vs. exp. 2.7 fm
多分 3 体, 4 体クラスター間にまたがる反対称化の効果は小さい。
しかし、有効相互作用の問題がある。
問題は単純ではない。いくつかの視点が必要。
2013.7.26 rcnp 研究会クラスター現象
Itagaki et al., Prog. Theor. Phys.94 (1995) 1019
Descouvemont et al., J. Phys. G25 (1999) 933
1. 反対称化の効果 (3 RGM, 4 RGM との比較によって可能)
Pauli 原理の dual role (玉垣 PTP Supplement 52, 1972)
healing を通じた一体場の形成の論理 (G-行列理論)
 damped inner oscillation (構造的斥力)  clustering を加速
Wigner の spin-isospin supermultiplet と空間 SU3 対称性 (00) の特殊性
2. 有効相互作用の問題
tensor force の役割: 重い核ほど中心力引力への2次の繰込みが減少
 RGM では Majonara mixture parameter u (Minnesota force) or
m (Volkov force) で調整。しかし、これは odd force の強さの調整で別物。
Hasegawa-Nagata-Yamamoto force の  が対応。
 クラスターの崩れと LS 力の役割。特に, 3 で重要。(Itagaki)
3  クラスターの広がりパラメータの選択: 自然な の広がりでO.K.か?
基底状態と励起クラスター状態との一貫性?
2, 3, 4 を通じて, rms radius と EB を同時に
再現する様な有効相互作用は存在しないのか?
2013.7.26 rcnp 研究会クラスター現象
多クラスター Faddeev-Yakubovsky方程式の満たすべき要件
1.
2.
3.
4.
変分法 (h.o. basis, SVM, Gauss 展開法, 等) と (同一のinput で) 同じ結果
を与える。
現象論的2 体クラスター間ポテンシャルではなく, 構成粒子間の 2 体力か
ら出発して RGM kernel を作る  Pauli forbidden state u は “クラスター
相対運動に対する直交条件” として自然に出る。… 2 体RGM kernel を用
いた対直交条件型 (堀内型) OCM
例えば2, 3, 4 と通して議論できる。 Induced 3-body force (3 クラスター
にまたがる反対称化の効果) や 2 クラスター間力の off-shell変換の効果 (
エネルギー依存性を除去したことによる 1/√N の効果, 等) を議論できる。
… 核力における Vlow-k や SRG 変換に対するヒントを与える?
2体クラスター間にパウリ禁止状態があるときの Faddeev redundant
component が適切に処理できて、方程式が実際解けること。3体は簡単だ
が、4体以上では自明でない。…）
2013.7.26 rcnp 研究会クラスター現象
4 case
i<j |ui,j ui,j|ψ=|ψ
 = 0 : パウリ許容
 > 0 : パウリ禁止
in |ψ  [4]
Þ = |ψ ψ |
Projection operator onto the
(pairwise) Pauli-allowed state
|ψ= (1/) i<j |ui,j ui,j|ψ 
P [ E  H 0   (VRGM )i , j ]P   0
i j
: 4-cluster OCM using
energy-independent VRGM
  G0 ( E )T ( E  h0 ) P[(1  P(34) )   ]
  G0 ( E )T ( E  h0 ) P[(1  P(34) )   ]
: 4-cluster Faddeev-Yakubovsky
equation using RGM T-matrix
T or t
where
u | [1  G ( )T ( )]  [1  T ( )G
P  P(12) P(23)  P(13) P(23) , P  P(13) P(24)
Total wave function
P     (1  P){[1  P(34) (1  P)]  (1  P)}
 ui , j |   0
()
0
()
0
( )] | u  0
Cf. Non [4]-symmetric trivial solutions in the 4α system are removable.
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(Faddeev redundant components)
4 体同種 Fermion/Boson 粒子系の Faddeev-Yakubovsky
方程式
  G0tP[(1 P(34) )   ]
(3 body case)
  G0tP
  G0tP[(1 P(34) )   ]
with
t  V RGM  V RGM G0t ,
Total wave function
  (1  P)
P  P(12) P(23)  P(13) P(23) , P  P(13) P(24)
Total wave function
  (1  P){[1 P(34) (1  P)]  (1  P )}
q3
p3
12
(
2013.7.26 rcnp 研究会クラスター現象
12+
3+
12s12)I12
4,
12+
3
 Imax= 6
34+  (
sum)
by A. Nogga, Ph.D. thesis
m
Faddeev redundant components
1) Y-type 座標における 3体部分系の redundant
component : (1+P)|uf=0
2) 2体 - 2体の H-type 座標における core exchange
 
type の redundant component : (1+P)|uu=0
3) genuine 4体系の redundant component :
 | uF   P[(1  P(34) )uF  uG ] | uf uf | (1  P(34) )uF  uG
 uu
 | (1  P )uF  uG
 | uG  P[(1  P )uF  uG ] | uu
(34)
 we can prove
(34)
with   1
uf | uF   0 , uf | (1  P(34) )uF  uG  0
 | (1  P )uF  uG  0
 | uG  0 , uu
uu
(34)
and    (1  P){[1  P(34) (1  P)]uF  (1  P )uG}  0
2013.7.26 rcnp 研究会クラスター現象
trivial solution
4) modified Faddeev-Yakubovsky equation :
  G0tP[(1  P(34) )   ] | uf uf | (1  P(34) )   
 | uF  (1  P(34) )uF  uG | (1  P(34) )   

 | (1  P )   
  G0tP[(1  P(34) )   ] | uu
uu
(34)
 | uG (1  P(34) )uF  uG | (1  P(34) )   
we can prove u |   0 and
uf |    0 , uf | (1  P(34) )     0


uu |    0 , uu | (1  P(34) )     0
for identical 4-boson systems
2013.7.26 rcnp 研究会クラスター現象
4d’ case
isospin 自由度を無視した 4 の模型
d’ d’ RGM の parameter (Pauli forbidden state: (0s) only)
v = v0 e-r2(1+Pr)/2 (pure Serber) with  = 0.46 fm-2
 = 0.12 fm-2, v0 =  153 MeV (151  152 MeV で bound)
S. Saito, S. Okai, R. Tamagaki and M. Yasuno, Prog. Theor. Phys. 50 (1973) 1561
4 case
 RGM の parameter (Pauli forbidden state: (0s), (1s), (0d) )
Volkov No.2 m=0.605, b=1.36 fm (=0.27 fm-2) (Baye’s parameter)
E2= 1.105 (0.252) MeV red: with Coulomb
E3= 7.391 (2.307) for Ntot=60
E4= 38.96 (25.77) for Ntot=20 vs. -39.15 MeV (Faddeev)
M. Theeten et al., Phys. Rev. C76, 054003 (2007)
2013.7.26 rcnp 研究会クラスター現象
4d’ energy and rms radius
Faddeev-Yakubovsky (6-6-3 mesh)
su
m
E4d’
(MeV)
KE
(MeV)
Rc
(fm)
rms
(fm)
max
•
•
•
•
v = v0 e-r2(1+Pr)/2 (pure Serber)
 = 0.12 fm-2,  = 0.46 fm-2, v0 =  153 MeV
h.o. variation (total quanta Ntot)
Ntot
max
6
E4d’
(MeV)
0.416
c(00)
KE
(MeV)
Rc
(fm)
rms
(fm)
1
52.25 2.339 2.932
8 1.604 0.941
63.44 2.130 2.768
10 4.485 0.914
67.55 2.116 2.758
12 5.481 0.879
74.14 2.002 2.671
14 6.181 0.857
77.34 1.980 2.655
16 6.466 0.842
80.08 1.938 2.623
0
0.100
5.160
14.79
14.90
2
0.099
5.033
14.79
14.89
4
0.768
23.67
5.362
5.645
6
6.872
81.98
1.891
2.589
8
7.012
83.53
1.875
2.577
10
7.088
83.41
1.879
2.580
81.10 1.935 2.621
12
7.089
18 6.628 0.836
83.41
1.879
2.580
20 6.689 0.832
81.85 1.923 2.612
22 6.726 0.829
81.50 1.948 2.631
6 で大きく変化する :
[(20)(20)](02)(20):(00) のため
sum
max =
h.o. basis : convergence is very slow



E3d’ =  0.417 MeV (Ntot=60) : small
E2d’ = 0.05 MeV (Ntot=100) v0 =  (151  152) MeV で bound
2013.7.26 rcnp 研究会クラスター現象



4 energy and rms radius
Volkov No.2 m=0.605, b=1.36 fm
h.o. variation (red: with Coulomb)
Faddeev-Yakubovsky (4-4-2)
su
E4
(MeV)
m
KE
(MeV)
R
(fm)
rms
(fm)
max
0
4.21
15.51
3.67
3.95
2
4.16
15.20
3.69
3.96
4
6.53
20.71
3.27
3.57
6
7.28
23.10
3.07
3.40
8
11.56
43.08
2.71
3.07
10
15.82
66.39
2.19
2.62
12
39.06
142.33
1.57
2.13
14
39.15
141.80
1.57
2.13
•
•
•
largely overbound (rms)exp= 2.7100.015 fm
sum
max=12 で大きく変化する
[(40)(40)](04)(40):(00) のため
b を大きくとって rms radius を大きく
しても overbinding は不変
Ntot
E4
(MeV)
c(00)
KE
(MeV)
R
(fm)
rms
(fm)
12 34.14
1
184.98
1.38
2.00
19.99
1
184.98
1.38
2.00
14 37.04 0.964
160.34
1.48
2.07
23.47 0.958
158.60
1.49
2.07
16 38.27 0.935
150.87
1.53
2.10
24.90 0.924
148.05
1.54
2.11
18 38.76 0.917
145.95
1.55
2.12
25.50 0.901
142.43
1.57
2.13
20 38.96 0.907
143.39
1.57
2.13
25.77 0.888
139.37
1.59
2.15
E2= 1.105 (0.252) MeV
E3= 7.391 (2.307) for Ntot=60
2013.7.26 rcnp 研究会クラスター現象
Cf. S. Oryu, H. Kamada, H. Sekine, T. Nishino, and H. Sekiguchi, Nucl. Phys. A534 (1991)221
まとめ
2体クラスターRGM kernel を用いた 4 体Faddeev-Yakubovsky方程式を解
くことにより, 4d’ 系と 4 系の基底状態の結合エネルギーと平均 2 乗半径
を計算した。結果は、3 体までの実験値を出来るだけ再現する有効核力で
大きく overbound する。また、rms radius は小さすぎる。
J
force
01+
MN (u=0.947)
11.6
2.18
9.42
2.17
V2 (m=0.605)
4.53
2.50
2.33
2.68
26
2.2
MN (u=0.912)
7.27
2.25
4.90
2.27
47
2.0
V2 (m=0.593)
7.27
2.41
4.73
2.52
MN (u=0.931)
9.57
2.21
7.27
2.21
V2 (m=0.582)
9.99
2.35
7.27
2.42
exp.
7.27
2.48
14.44
2.71
01+
01+
3 RGM (micro)
E (MeV) rms(fm)
our 3
E (MeV) rms (fm)
our 4
E (MeV) rms (fm)
Present results !
M. Theeten et al., Phys. Rev. C76, 054003 (2007)
2013.7.26 rcnp 研究会クラスター現象
 RGM is u (or m) independent. b = 1.36 fm ( = 0.27)

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