2010年10月17日 第4章 空間解析 6. 傾向面分析 浅見泰司 [email protected] 地理情報科学教育用スライド ©浅見泰司 ここで学ぶこと • 大まかな空間分布をとらえる手法として傾向 面分析の内容を理解する。 • １，２，４次関数の曲面で近似することで、ど ちらの方向で高いか、どちらの方向に広がっ ているのかなどをとらえることができる。 地理情報科学教育用スライド ©浅見泰司 傾向面分析のニーズ • 地表面上の連続的な分布は、サーフェス （surface）を形成する。 –例 • 人口密度 • 地価 • 気温 • これを簡単な関数で近似できると便利。 – 概略の形がわかる – 数値計算に便利なこともある – 大まかな傾向把握が可能となる 地理情報科学教育用スライド ©浅見泰司 • 都市の人口密度分布で考えてみる。 地理情報科学教育用スライド ©浅見泰司 都心からの距離と人口密度 • 都市内の人口分布を簡単な関数で近似する方法があると 便利。 • よく行われる方法は、都心部からの距離で人口密度を表す こと。 – 地形・地質上の制約がなければ、都市はほぼ同心円的に発展 する。そのため、都心部からの距離が似ていれば地区の市街 化状況も似ていると考えられる。そこで、人口密度もおおまかに は都心部からの距離で決まっているだろうと仮定する。 • この考え方をもとに、20世紀半ばから様々な式が開発され てきた。 – 都心部からの距離をx、その地点での人口密度をD(x)として、い くつかの式を紹介する。 – 下記の式は夜間人口を念頭に開発されたものだが、人口分布 に適合するならば昼間人口やその他の人口分布に応用しても かまわない。 地理情報科学教育用スライド ©浅見泰司 クラーク（Clark）の式 よく使われる表現式は、クラークの式（Clark (1951)）と呼 ばれる。 D(x)＝a exp(bx) – ただし、aは（モデル上の）都心部の人口密度、bは定数。 – 都心部から離れるに従って人口密度が減少するため、b < 0。 Clark (1951)は、アメリカなどの都市の人口密度を調べ、 比較的よく記述できることを示した。 – その頃の都市は都心部ほど人口密度の高い単峰的な分布を 示す都市が多かった。 – その後都市が発展するに従って、都心部より離れた部分の人 口密度の方が高い都市が増えた。これは、副都心が発達した り、都心部が空洞化するため。 地理情報科学教育用スライド ©浅見泰司 • パラメータa, bを推定するのには、各地点での人 口密度の対数を都心部からの距離で単回帰分 析すればよい。 すなわち、 log D(x)＝log a + bx という式で回帰分析し、定数項を後で変換すれば良い。 • クラークの式を用いた分析で、特にbの値が経年 的にどのように変化するかを調べることにより、 都市の外延化現象を分析することができる。bが 減少するほど、外延化現象が進んでいる。 地理情報科学教育用スライド ©浅見泰司 ニューリング（Newling）の式 クラークの式では空洞化現象の進んだ規模の大 きい都市の人口分布を表現することは困難。そ こで、この欠点を改めるために提案されたのが、 ニューリングの式（Newling (1969)）。 D(x) = a exp(bx+cx2) – aは（モデル上の）都心部の人口密度、bとcは定数。 – 都心部から離れるにつれて人口密度は上昇しそれ から減少するというのが一般的なので、b>0, c<0と なる。 – 単峰的な都市ではb<0となることもある。 地理情報科学教育用スライド ©浅見泰司 ニューリングの式のパラメータを実際の人口密度分布か ら推定するには、各地点での人口密度の対数を都心 部からの距離とその二乗値で重回帰分析すればよい。 すなわち、 log D(x) = log a + bx+cx2 という式で回帰分析し、定数項を後で変換すれば良い。 ニューリングの式の応用として、モデル上の人口密度最 大点の経年的変化を求めることにより、ドーナツ化現 象を分析できる。すなわち、最大点（ -b/(2c) ）が都心 部から離れるほど、ドーナツ化現象が進行していると 考えられる。 地理情報科学教育用スライド ©浅見泰司 参考： 人口密度分布式 • Stewart (1947) – D(x) = D0-bx • Clark (1951) – D(x) = D0 exp(-bx) • Tanner (1961) – D(x) = D0 exp(-cx2) • Smeed (1963) – D(x) = D0 x-a • Aynvarg (1969) – D(x) = D0 exp[(bx)x-f] 地理情報科学教育用スライド ©浅見泰司 • Newling (1969) – D(x) = D0 exp(bx+cx2) • Newling (1971) – D(x) = D0+bx-cx2 • McDonald and Bowman (1976) – D(x) = D0 (xR-x)b – D(x) = D0 exp(-ax+b/x) • Kau and Lee (1976) – [D(x)l-1]/l = a+bx – [D(x)l-1]/l = a+b(xl-1)/l 地理情報科学教育用スライド ©浅見泰司 • Frankena (1978) – D(x) = D0-bx+cx2-dx3 – D(x) = D0 exp(-bx+cx2-dx3) • Zielinski (1979) – D(x) = D0 exp(bx-cx2)x-f – D(x) = D0 exp[-cx2x-f] 地理情報科学教育用スライド ©浅見泰司 • この中のいくつかは距離に関するn次式 • 中心からの(x,y)座標で表すとx,yで表現する式に なる – D(x) = f(x,y) • もう一つの欠点は、都心部からの距離だけで表 現されているので、どの方向にも同じような分布 をしていることが暗黙に仮定されている。この欠 点を補う方法が、座標点の式で表現する方法。 →傾向面分析 地理情報科学教育用スライド ©浅見泰司 傾向面分析(trend surface analysis) • 規則的あるいは不規則的に分布しているn個 の観測点について、観測された値の分布をで きる限り近似するサーフェスを回帰式によっ て数学的に求めるもの（張, 2001; 奥野, 1977; O’Sullivan and Unwin, 2002）。 地理情報科学教育用スライド ©浅見泰司 傾向面分析とは • 傾向面分析とは２次元に広がった人口密度の値をな めらかな曲線で近似して、その分布の特徴をとらえる ものである。２次元の広がりをxy座標で表そう。例えば、 x軸が東方向、y軸が北方向としても良い。 • 原点を例えば都心部など分析上便利な中心的な点に 定める。人口密度がわかっている点を(xi, yi) (i=1,..., N)とし、その地点の人口密度をpiとする。人口密度を なめらかな曲線で近似した式を、z = f(x, y)とする。近 似するのだから、人口密度がわかっている各地点iで、 piとf(xi, yi)の違いをなるべく小さくする必要がある。そ のため、その差の２乗の和を最小化する最小二乗法 を用いて、近似曲線fを求めるのが一般的。 地理情報科学教育用スライド ©浅見泰司 １次傾向面 • 最も簡単な（ただ、あまり近似は良くない）１次傾 向面をとりあげる。これは、ｆの関数として１次の 式を用いるもので、a, b, cを定数として、 • f(x, y) = ax+by+c • と表すことができる。定数は最小二乗法で推定 する。 • 山形に分布する人口密度を平面で近似しようと いうのだから、さほど近似にならない。ただ、どち らの方向に人口密度が多いかを知ることはでき る。具体的には、(a, b)の方向に人口密度が多い 地域が卓越していることになる。 地理情報科学教育用スライド ©浅見泰司 ２次傾向面 • 現実的な分析は、２次以上の傾向面分析によって行 うことができる。２次傾向面は、fの関数として２次式を 用いるもので、a～gを定数として、 • f(x, y) = ax2 + bxy + cy2 + dx +ey + g • と表すことができる。 • 都市全域を含めて分析すれば、通常、aとcは負の値 となって、上に凸の２次曲面となる。 • ２次傾向面で重要な点は、２次傾向面の最大値で、こ れが、分析対象都市の人口分布での中心地に相当 する。 • もうひとつ重要なのは、どちらの方向に長く人口密度 が高い地域が広がっているかを示すもので、これは、 得られた２次曲面が楕円曲面となっている場合に、そ の長軸方向が求めるべき方向となる。 地理情報科学教育用スライド ©浅見泰司 ４次傾向面 • 都市の人口密度分布は都市全域で考えれば 周辺部が小さくなる山形なので、３次傾向面 はあまり用いられず、４次傾向面が使われる。 ４次傾向面も上と同様に、fが４次式で表され るものである。 • ４次式を用いると、都心部の空洞化現象など も表すことができ、例えば、どちらの方向に空 洞化が卓越しているかなどを分析することが できる。 地理情報科学教育用スライド ©浅見泰司 傾向面分析の例 • まずは、計算例を見てみよう！ • 例 – 東京都23区の2010年における人口密度分布 – 人口・世帯数：2010年1月の住民基本台帳 – 緯度経度は各区役所の位置 – (x,y)は経度と緯度がそれぞれ、最小値0、最大値 1になるように変換したもの 地理情報科学教育用スライド ©浅見泰司 2010年の23区の人口密度と位置 住民基本台帳による1月1日人口 TITLE UNIT 千代田区 中央区 港区 新宿区 文京区 台東区 墨田区 江東区 品川区 目黒区 大田区 世田谷区 渋谷区 中野区 杉並区 豊島区 北区 荒川区 板橋区 練馬区 足立区 葛飾区 江戸川区 2010年人口 人 47 138 113 871 201 543 282 144 189 286 166 984 238 356 446 393 348 590 253 022 674 527 831 654 195 911 299 562 527 158 244 637 318 711 186 906 518 116 692 450 641 888 431 796 651 884 2010年世帯 数 世帯 25 914 65 786 114 816 169 573 101 803 92 656 123 891 221 922 189 946 140 005 344 808 432 941 117 103 175 932 291 990 144 007 167 842 94 378 266 100 332 307 300 892 203 087 303 029 人口密度 人／k㎡ 4 050 11 186 9 909 15 477 16 736 16 566 17 335 11 177 15 343 17 212 11 344 14 319 12 966 19 215 15 496 18 804 15 479 18 324 16 106 14 378 12 066 12 394 13 074 緯度 経度 35.69078 35.66736 35.6548 35.69066 35.70465 35.70937 35.70723 35.66972 35.60597 35.63723 35.55817 35.6428 35.66064 35.70417 35.69631 35.72917 35.74967 35.73291 35.74788 35.73249 35.77177 35.74054 35.70361 139.7569 139.7753 139.7548 139.7067 139.756 139.7832 139.8047 139.8201 139.7334 139.7019 139.7193 139.6561 139.7013 139.6671 139.6396 139.7188 139.737 139.7866 139.7124 139.6549 139.8078 139.8506 139.872 地理情報科学教育用スライド ©浅見泰司 ｘ 0.504551 0.583844 0.495666 0.288472 0.500805 0.617948 0.710638 0.776651 0.403587 0.26818 0.342949 0.070852 0.265266 0.118013 0 0.340539 0.418907 0.632748 0.313076 0.065682 0.723741 0.908185 1 ｙ 0.620816 0.51118 0.452374 0.620266 0.685759 0.707865 0.697846 0.522229 0.223792 0.370099 0 0.396199 0.47972 0.68351 0.646727 0.800566 0.89654 0.818071 0.888123 0.816086 1 0.853801 0.68088 地理情報科学教育用スライド ©浅見泰司 • おおまかに言うと・・・ • Q1：北西の方が密度が高い？ • Q2：中心部は少なく、周辺で多く、外延部で少 ない（ドーナツ化現象）？ 地理情報科学教育用スライド ©浅見泰司 • 本来はコロプレス・マップで表現すべきだが、 あえて、それぞれの区役所の位置で代表さ せて、その地点における人口密度であると考 えると・・・ 地理情報科学教育用スライド ©浅見泰司 1 0.9 0.8 0.7 y 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 x 地理情報科学教育用スライド ©浅見泰司 0.7 0.8 0.9 1 • 一次回帰式 PopDensity = ax+by+c • という回帰分析をしてみると・・・ 地理情報科学教育用スライド ©浅見泰司 概要 回帰統計 重相関 R 0.4131157 重決定 R2 0.1706645 補正 R2 0.087731 標準誤差 3298.5859 観測数 23 分散分析表 自由度 回帰 残差 合計 切片 x y 変動 2 20 22 44781502 217613381 262394884 係数 標準誤差 13338.476 2133.9166 -4456.264 2692.9978 4751.7811 3092.9641 観測された分 散比 22390751 2.0578469 10880669 分散 t 6.2507016 -1.65476 1.5363195 P-値 4.194E-06 0.1135824 0.14013 地理情報科学教育用スライド ©浅見泰司 有意 F 0.1539226 下限 95% 上限 95% 8887.2036 17789.747 -10073.76 1161.2312 -1700.029 11203.591 • つまり、 PopDensity = -4456.264x+4751.7811y+13338.476 • 北（yが正）西（xが負）側に人口密度がやや多い が、xの係数もyの係数も統計的に有意ではない。 • →Q1は× 地理情報科学教育用スライド ©浅見泰司 • さらに、二次回帰式 PopDensity = ax2 + bxy + cy2 + dx +ey + g • という回帰分析をしてみると・・・ 地理情報科学教育用スライド ©浅見泰司 回帰統計 重相関 R 0.417101 重決定 R2 0.173973 補正 R2 -0.06898 標準誤差 3570.674 観測数 23 分散分析表 自由度 変動 分散 回帰 5 45649720 9129944 残差 17 2.17E+08 12749716 合計 22 2.62E+08 係数 標準誤差 t 観測された分 散比 0.71609 P-値 有意 F 0.620023 下限 95% 上限 95% 切片 14340.91 5594.828 2.563244 0.020153 2536.853 26144.96 x -7301.91 15252.06 -0.47875 0.638217 -39480.9 24877.13 y 3874.794 12098.37 0.320274 0.752664 -21650.5 29400.12 x^2 -949.794 10057.46 -0.09444 0.925866 -22169.2 20269.6 xy 5465.804 21078.07 0.259312 0.798508 -39005 49936.64 y^2 -1200.56 11678.02 -0.1028 0.919321 -25839 23437.9 地理情報科学教育用スライド ©浅見泰司 • つまり、 PopDensity = -950x2 +5466xy-1201y2-7302x +3875y+14341 • ・・・x2とy2の係数はマイナスだけど、xyの係数 はプラス 地理情報科学教育用スライド ©浅見泰司 • x,yで２階微分すると、 950 5466 5466 1201 • これは負値行列ではない！ • つまり上に凸ではない • 実際、y=x（北東-南西方向）とすると、 PopDensity = 3315x2-3427x+14341 • となり、原点から十分遠いところでは大きくな る！ 北東-南西方向では下に凸！ • →Q2も× 地理情報科学教育用スライド ©浅見泰司 • このように、コロプレスマップではごまかされ てしまうようなことを傾向面分析により正確に 分析できる！ 地理情報科学教育用スライド ©浅見泰司 多項式関数の適合 • 先の例のように、サーフェスモデルを求める 際、回帰式に多項式を用いる場合がある。 • これが傾向面分析の基礎的な応用。 • 通常は、平面の当てはめ（一次関数により傾 向面分析）、もしくは二次関数による当てはめ くらいしか行わない。それ以上だと、解釈が難 しくなってくる。 地理情報科学教育用スライド ©浅見泰司 多項式関数の適合 • より正確に記述すると： zi=f(xi,yi)+ei • ただし、ziはi番目の観測値、(xi,yi)はi番目の 観測値の(x,y)座標、f()は傾向面関数、eiはi 番目の観測値の誤差。 • 傾向面関数が線形であれば、通常の線形の 回帰分析で関数を推計できる。 地理情報科学教育用スライド ©浅見泰司 残差解析 • サーフェス全体の分散を傾向（多項回帰式） と傾向からの残差に分け、そのうちの残差に 注目し、その統計的性質をもとに多項回帰式 の妥当性や外れ値の抽出などがおこなわれ る。 地理情報科学教育用スライド ©浅見泰司 • 応用として、回帰分析の残差分析にも使われ る。 • まずは、説明変数で回帰して、その残差につ いて傾向面分析を行う。 • 一度にやってしまうには、 zi=g(ti)+f(xi,yi)+ei • という関数を推計すればよい。ただし、g()は 属性に関する回帰分析の関数、tiはi番目の 観測値の属性値ベクトルである。 地理情報科学教育用スライド ©浅見泰司 • 例えば、人口密度は道路密度（1㎢あたりのkm 単位の道路長さ）で決まると考えたとする。そう すると、 PopDensity = a+bRoadDensity+e e = cxx+cyy+e というモデルを考えることができる。最初の式 は、人口密度が道路密度の一次関数で表現で きるというモデルであり、二番目の式は、その誤 差に関する傾向面分析である。 地理情報科学教育用スライド ©浅見泰司 • これを一つの式に表わすと PopDensity = a+bRoadDensity+cxx+cyy+e となる。これは、上記の残差傾向面分析の式 の形となっている。 • 実際にやってみると・・・ • （道路密度は2008年のデータ） 地理情報科学教育用スライド ©浅見泰司 千代田区 中央区 港区 新宿区 文京区 台東区 墨田区 江東区 品川区 目黒区 大田区 世田谷区 渋谷区 中野区 杉並区 豊島区 北区 荒川区 板橋区 練馬区 足立区 葛飾区 江戸川区 人／k㎡ km/k㎡ 人口密度 道路密度 4050 15.10593 11186 19.0553 9909 14.79744 15477 19.20274 16736 18.31459 16566 25.67421 17335 21.41433 11177 9.727892 15343 16.74489 17212 24.13 11344 14.19803 14319 20.31804 12966 17.84308 19215 23.32566 15496 22.10697 18804 23.77456 15479 18.05639 18324 21.10902 16106 22.9705 14378 23.2794 12066 19.40273 12394 19.93384 13074 21.76619 ｘ 0.504551 0.583844 0.495666 0.288472 0.500805 0.617948 0.710638 0.776651 0.403587 0.26818 0.342949 0.070852 0.265266 0.118013 0 0.340539 0.418907 0.632748 0.313076 0.065682 0.723741 0.908185 1 地理情報科学教育用スライド ©浅見泰司 ｙ 0.620816 0.51118 0.452374 0.620266 0.685759 0.707865 0.697846 0.522229 0.223792 0.370099 0 0.396199 0.47972 0.68351 0.646727 0.800566 0.89654 0.818071 0.888123 0.816086 1 0.853801 0.68088 回帰統計 重相関 R 0.675193 重決定 R2 0.455886 補正 R2 0.369973 標準誤差 2741.232 観測数 23 分散分析表 自由度 変動 分散 回帰 3 1.2E+08 39874047 残差 19 1.43E+08 7514355 合計 22 2.62E+08 係数 切片 標準誤差 観測された分散 比 t 5.306383 P-値 有意 F 0.007931 下限 95% 上限 95% 3515.1 3582.417 0.981209 0.33882 -3982.98 11013.18 588.829 186.5804 3.155899 0.005203 198.3117 979.3463 ｘ -1408.77 2437.412 -0.57798 0.570066 -6510.33 3692.79 ｙ -251.106 3019.889 -0.08315 0.934602 -6571.81 6069.595 道路密度 地理情報科学教育用スライド ©浅見泰司 PopDensity = 3515+589RoadDensity-1409x251y+e という式になっている。ただ、xの回帰係数もy の回帰係数も統計的には有意ではない。 • つまり、道路密度で人口密度はほぼ説明さ れ、かつ誤差にも一定方向に大きな誤差が あるというような有意な傾向がないことがわ かる。 地理情報科学教育用スライド ©浅見泰司 • 残差に対する傾向面分析は、時として回帰式 には含まれない隠れた変数を見出すヒントに なることもある。ただし、あまり強力な方法と はならないことが多い。 地理情報科学教育用スライド ©浅見泰司 参考文献 • O’Sullivan, David and David J. Unwin (2002) Geographic Information Analysis, John Wiley & Sons, Inc. • 奥野隆史(1977)『計量地理学の基礎』大明堂. • 張長平(2001)『地理情報システムを用いた空 間データ分析』古今書院. 地理情報科学教育用スライド ©浅見泰司
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