確率と統計

確率と統計
平成21年12月3日(木)
いろいろな検定
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
今日は、前回の知識を元に幾つかの代表的かつ実
用的な検定方法を紹介します。
覚えて、どんどん使ってみましょう！
その前に連絡事項を２つ．．．
1.
2.
来週12月10日は休講です。
１月１５日１限に補講があります。
（台風で大学全体が休校になった日の分）
適合性の検定
問題：メンデルの遺伝法則によれば、ある交配の
結果は赤、黒、白の割合が 9:3:4 になるという。
実験でそれぞれの色が70個、36個、38個得ら
れたとする。この実験結果は、メンデルの遺伝法
則に当てはまっているか？
χ2検定


適用分野：適合性の検定
方法：
1.
2.
3.
4.
5.
6.
仮説H0の設定
有意水準の設定 (以下、５％とする)
自由度φの計算 (φ = n-1 )
χ2分布の表からχ20を求める。
χ2=Σ{ (測定値－理論値)２/ 理論値 } を計算
χ2 ＞ χ20 ならば、仮説をH0棄却する。
χ2検定


適用分野：適合性の検定
方法：
1.
2.
3.
4.
5.
6.
仮説H0の設定
有意水準の設定 (以下、５％とする)
自由度φの計算 (φ = n-1 )
χ2分布の表(教科書298頁)からχ20を求める。
χ2=Σ{ (測定値－理論値)２/ 理論値 } を計算
χ2 ＞ χ20 ならば、仮説をH0棄却する。
もっと分かりやすい例での説明
サイコロの例
問題：１つのサイコロを60回振った結果が、以下のように
なった。このサイコロは正しく作られているか？
目
1
2
3
実験値 15
7
4 11
理論値
4
5
6
計
6 17 60
サイコロの例
問題：１つのサイコロを60回振った結果が、以下のように
なった。このサイコロは正しく作られているか？
仮説H0：各目の出る確率は1/6
目
1
2
3
4
実験値 15
7
4 11
5
6 計
6 17 60
理論値 10 10 10 10 10 10 60
自由度φ= 6 – 1 = 5
有意水準５％
χ2分布表の見方

いま、
自由度φ= 6 – 1 = 5


有意水準５％
したがって、…（黒板で説明）
χ20 = 11.07

χ2 = (15-10)2/10 + (7-10)2/10 + (4-10)2/10
+ (11-10)2/10 + (6-10)2/10 + (17-10)2/10
= 13.6
目
1
実験値
15
7
4
11
6
17
60
理論値
10
10
10
10
10
10
60
2
3
4
5
6
計
χ2 = 13.6 > 11.07 ＝＞仮説は棄却する。
結論：正しく作られていない。
同じ考えでやってみよう！

検定対象：
メンデルの法則は本当に成り立つのか？
適合度の検定（再）
問題：メンデルの遺伝法則によれば、ある交配の
結果は赤、黒、白の割合が 9:3:4 になるという。
実験でそれぞれの色が70個、36個、38個得ら
れたとする。この実験結果は、メンデルの遺伝法
則に当てはまっているか？
赤
黒
白
合計
理論値比
9
3
4
16
測定値x
70
36
38
144
理論値e
(X-e)2 / e
144 *9/16 144*3 / 16 144*4 / 16 144
=81
=27
=36
121 / 81
81 / 27
4 / 36
4.60
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


自由度φ=3 ー 1=2
有意水準５％
χ２分布の表(教科書p.298)より、
χ2＝4.60 ＜ χ20＝ 5.99
結論：仮説は棄却されない。
（メンデルの法則が成り立たつことを疑う理由は
ない。）
統計の例（これを検定してみよう！）
タバコと肺がん
肺がん患者
喫煙者
６０
非喫煙者
３
正常
３２
１１
肺ガン患者
正常
合計
喫煙者
６０
３２
９２
非喫煙者
３
１１
１４
合計
６３
４３
１０６
肺ガン患者
正常
合計
測定値
喫煙者
６０
63*92/106
３２
43*92/106
９２
非喫煙者
３
63*14/106
１１
43*14/106
１４
理論値
６３
４３
１０６
合計
２×２の表の場合には自由度は常にφ＝１
χ20 = 3.84
肺カン患者
正常
合計
喫煙
者
A
B
A+B
(A+C)＊(A+B)/F (B+D)＊(A+B)/F
非喫
煙者
C
D
C+D
(A+C)＊(C+D)/F (B+D)＊(C+D)/F
合計
A+C
B+D
A+B+C+D
=F

χ2 = (A ー(A+C)＊(A+B)/F)2
/ {(A+C)＊(A+B)/F)}
＋…
( A  B  C  D)( AD  BC )
 
( A  B)( A  C )( B  D)(C  D)
2
2
χ2 ＝9.66 > χ20 = 3.84 ＝＞結果：棄却
他の測定値

検定してみよう！
重度の
喫煙者
非喫煙者合計
患者
３０
７０
１００
非患者
５４
８４
２４６
３１６
３００
４００
以上の表の解析は、分割表の検定ともいう

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