GRMHD数値計算の基礎＜講義

GRMHD数値計算の基礎
(一般相対論的ＭＨＤ）
小出眞路（熊本大学）
最近，一般相対論的ＭＨＤ（ＧＲＭＨＤ）を用いた数値計算
が珍しくなくなってきた。ブラックホール磁気圏特有のプラ
ズマ現象を捉えうるこの数値計算について基礎から応用ま
で一通りまとめる。ここでＧＲＭＨＤのための特別な数値計
算手法は必要なく，ＭＨＤの方法がそのまま使えることを強
調する。今後，さまざまな計算法を用いたＧＲＭＨＤコード
の開発とその一般相対論的宇宙プラズマへの応用が期待
される。
第9回九大・熊大
宇宙物理学合同セミナ
ブラックホール磁気圏勉強会
２００６年９月５日（火）９：００～
２０１０年３月２日(火)
アウトライン
◇ ＧＲＭＨＤの数値計算の必要性
◇ ＧＲＭＨＤ方程式(共変形式，３＋１形式）
◇ GRMHDの数値計算方法
－ＧＲＭＨＤコードの開発手順例
◇ GRMHD数値計算のいくつかの応用例
◇ まとめと今後の課題
Black Hole Magnetosphere
（Corona）
Magnetic Field Lines
Plasma Disk
Black
Hole
Ergosphere
Plasma
Black Hole Magnetosphere
Interaction between plasma and
magnetic field around black holes
Simplest approximation ⇒ magnetohydrodynamics
(MHD)
• Plasma: 一non-relativistic one-component conducting fluid
• Field: ー Maxwell equations
– displacement current is negligible
– charge neutrality
• Ohm’s law:
– Zero electric resistivity (ideal MHD)
– Non-zero electric resistivity (resistive MHD)
• Gravitation: Wiita-Paczynski (Pseudo-Newtonian) potential.
MHD is a good approximation for black hole magnetosphere plasmas except for a vicinity of a black hole.
MHD数値計算法花輪さんの講義
ＭＨＤ方程式のタイプ：
• 保存方程式
– Lax-Wendroff法
– TVD法
（total variation diminishing）
– HLL法
– ・・・
流束密度
u
   WP 
t

 
 v 
u 

 
B
:保存量

 
v
P 
p
 
B
• 移流方程式
– ＣＩＰ-ＭＯＣＣＴ法
– ・・・
dR
 f P 
dt
:基本量
非移流項
R :移流量
ＧＲMHD数値計算の必要性
非相対論的MHD:
• 光速度が出てこない。
ジェットなどのプラズマの流れが相対論的になって
いるかどうか決められない。
• 空間の引きずり効果，重力赤方変位などの一般相
対論的効果を無視。
一般相対論的MHDの必要性
（ＧＲＭＨＤ）
解析的方法:
• 多くの簡単化のための仮定を必要とし，
解析できる状況は限られる。
数値計算
ＧＲＭＨＤ
数値計算
アウトライン
◇ ＧＲＭＨＤの数値計算の必要性
◇ ＧＲＭＨＤ方程式(共変形式，３＋１形式）
◇ GRMHDの数値計算方法
－ＧＲＭＨＤコードの開発手順例
◇ GRMHD数値計算のいくつかの応用例
◇ まとめと今後の課題
General Relativistic MHD (GRMHD)
GRMHD equations are similar to non-relativistic MHD
equations. Differences are
–
–
–
–
–
Momentum of electromagnetic field
(significant charge separation)
Displacement current (Ampere’s law with displacement current)
Gravitational red shift （lapse function）
Frame dragging effect（shift vector） J   e cβ  1 E      B  β  E 
• Ohm’s law:
c 2 t

 
c


– Zero electric resistivity (ideal GRMHD) η=0: recently explosively
developed ⇒ simplest approximation
Causality
– Non-zero electric resistivity (resistive GRMHD):
problem
no calculation except for several special relativistic calculations
• Space-time metric: Solution of Einstein equation
Analytic
– Schwarzschild metric (non-rotating black hole)
solution
– Kerr metric / Kerr-Schild metric (rotating black hole)
– Time-varying metric （self-gravity of plasma and fields） ← numerical
solution
2


2
Line element: ds  g  dx dx  d
Proper time
Kerr space-time
Steady space-time around a non-charged black hole
GM
rg  2 : gravitational radius
Mass : M
c
J
GM
J max 
,
Rotation parameter: a 
c
J

0
1
2
3
max
x  x , x , x , x   t , r , , 
ds   cdt    hi dx  hii dt 
2
2
2
2
i
i
g 00  h  1 
2
0
2rg r
g
- i 0  i  0
g ii

g11  h12 
,
i  1, 2,
  r  2rg r  arg  ,
2
2

,

g 22  h22  , g 33  h32 
2rg2 ar
g 30
 3 
g 33
A
A  r  arg    arg  sin 2 
  r  arg  cos  ,
2
2
2
2
Lapse function:   h02   hii 
2
Shift vector:
i 
hii

i
A 2
sin 

2 2
2
空間の引きずり効果
cβφ< c
cβφ>c
エルゴ領域内ではいかなる物質，エネルギー，情報もブラックホールの回転と
逆向きに移動できない。
（理想）一般相対論的ＭＨＤ方程式（共変形式）
• 保存則とマックスウェル方程式の一般相対論的方程式:
∇ ( n U  ) = 0
∇ T  = 0
∂Fl 
(粒子数の保存則)
(エネルギー・運動量の保存則)
Fl 

lF 
∇F  = - J
• 磁場の凍結の条件:
（理想MHD条件）
=0
(マックスウェル方程式)
FU = 0
n: proper particle number density. p : proper pressure. c: speed of light.
2
e : proper total energy density, e=mnc + p / (G -1).
m : rest mass of particles. G: specific heat ratio.
u
U : velocity four vector. Au : potential four vector. Ju : current density four vector.

∇ : covariant derivative. g : metric.



 
s 
lk
T : energy momentum tensor, T = pg + (e+p)U U +F F s -gF Flk/4.
F : field-strength tensor, F =∂ A -∂ A.
Several coordinates around Kerr black hole
Boyer-Lindquist coordinates
⇒ coordinates of global frame
2
2
2
2
i
ds   cdt    hi dx   i dt 
ΩH
Kerr BH
cβφ
i
ZAMO (zero-angular-momentum observer) frame
⇒ vector and tensor
 
2
ˆ
ds  ct    dxˆ i
2
dtˆ  dt
i
dxˆ 0  dx 0
Aˆ 0  A0
Co-moving frame
⇒scalar variables
2
ZAMO
frame
(Similar to that of Minkowski metric)
dxˆ i  hi dx i  c i cdt
dxˆ i  hi dx i   icdx 0
i 
Aˆ i  hi Ai   i A0
 : proper mass density
p : proper pressuer
h: proper enthalpy density
hii
c
ZAMO系での物理量（ベクトル，テンソル）
(Lorentz factor)
  Uˆ 0  U 0
i, j , k  1,2,3
i
i
i
h
1 ˆi
(3-velocity)
v  U   U 
  Tˆ 00     2T 00  U 0 (total energy density)
i
(total momentum density)
Pˆ i  Tˆ i 0  hiT i 0   2  iT 00
Tˆ ij  hi h jT ij   i h jT 0 j   j hiT i 0   2  i  jT ij

Eˆ i  Fˆ i 0  1h Fi 0   h h Fij
(electric field)
j
i
i j
j
Bˆ i   12  ijk Fˆ jk   12  ijk
j ,k
1
hi h j
Fjk
(magnetic field)
jk
e  Jˆ 0  J 0
(electric charge density)
Jˆ i  hi J i   i J 0
(electric current density)
ここで，光速度を１，電場と磁場の単位はB2/2とE2/2がそれぞれ磁気的エネル
ギー密度，電場のエネルギー密度となるように取るものとする。
In ZAMO frame, we have a relations,
Aˆ i  Aˆi ,
Aˆ 0   Aˆ0
Then, we can find the same relationship between variables
measured by ZAMO frame, which is the same as those of
special relativity.
1
0



U
1  vˆ 2 / c 2
D  
2
2
ˆ
ˆ
B
E
  h 2  p  D  
  2T 00
2
2
ˆ B
ˆ
Pˆ  h 2 vˆ  E
ˆ  vˆ  B
ˆ 0
E
3元ベクトル表現
vˆ  vˆ1 , vˆ 2 , vˆ 3 
Pˆ  Pˆ 1 , Pˆ 2 , Pˆ 3
ˆ  T̂ ij
T


 
ˆ  Eˆ , Eˆ , Eˆ 
E
1
ˆ
B
Jˆ 
2
3
Bˆ , Bˆ , Bˆ 
Jˆ , Jˆ , Jˆ 
1
2
1
2
3元運動量密度
3元応力密度
電場
磁場
3
3
４元ベクトルの第０成分
D  

e
3元速度
3元電流密度
質量密度
エネルギー密度
電荷密度
注意：３元ベクトルは形式的なもので物理量としてのベクトルの意味を持たない。
時空を特徴付ける３元ベクトル
3元ベクトル・テンソル
1
2
3
β   ,  ,  
空間の引きずりの３元速度
f curv   f 1 , f 2 , f 3 
ここで
遠心力の３元力密度


f   GijTˆ ij  G jiTˆ jj ,
i
i
σ  s ij 
Gij 
1 hi
h j x j
空間の引きずりのシアー
1 
i



ここで s ij 
j
h j x
3+1 Formalism of Ideal GRMHD Equation
(conservative form)
Special relativistic mass density, 
D
(conservation of particle number)
   [D( vˆ  β)]
t
general relativistic effect
Special relativistic total momentum density
Pˆ
ˆ  Pˆ )]  D     f curv  Pˆ : σ
   [ (T
t
Special relativistic total energy density
(equation of motion)
special relativistic effect

ˆ :σ
(equation of energy)
   [ (Pˆ  Dvˆ  β)]  ( )  Pˆ  T
t
No coupling
ˆ
ˆ
E
B
ˆ
ˆ  with other Eqs.
ˆ
ˆ
J   eβ 
    Bˆ  β  E
    (E  β  B)
t
t
ˆ  0 e    Ê
(Maxwell equations)
B

ˆ  vB
ˆ 0
E

(ideal MHD condition)
アウトライン
◇ ＧＲＭＨＤの数値計算の必要性
◇ ＧＲＭＨＤ方程式(共変形式，３＋１形式）
◇ GRMHDの数値計算方法
－ＧＲＭＨＤコードの開発手順例
◇ GRMHD数値計算のいくつかの応用例
◇ まとめと今後の課題
理想ＧＲＭＨＤを非相対論的ＭＨＤに帰着する
• 理想特殊相対論的ＭＨＤ(SRMHD)
– 理想SRMHD方程式3+1形式は非相対論的理想
ＭＨＤにほぼ同じ。（いくつかの違いはある）
– 保存量から基本量を求めるのが非相対論的ＭＨ
Ｄと違い難しい。これはGRMHDの数値計算にお
いても要となる。
• 理想ＧＲＭＨＤ
– 理想ＧＲＭＨＤ方程式の３＋１形式は一般座標で
書かれた理想ＳＲＭＨＤ方程式とほとんど同じ方
程式となる。一般相対論的効果（空間の引きずり
効果）などに起因する項が新たに現れる。
理想ＧＲＭＨＤコードの開発手順（例）
1. 非相対論的理想ＭＨＤコードの開発
2. 理想特殊相対論的ＭＨＤコードへの変更
–
このとき保存量から基本量を求めるところが重要!
これはＧＲＭＨＤコード開発でも要となる。
3. 一般座標化
–
例えば，円柱座標などにしてテストしてみる。
4. 理想ＧＲＭＨＤコードへの変更
–
メトリックをカー時空のものにする。その際，時空の引き
ずり効果などに関連した項が新たに加わる。
理想ＳＲＭＨＤの数値計算
これはＧＲＭＨＤよりも扱える天文学的対象・範
囲は限られるが，保存量から基本量を計算する
ところはＧＲＭＨＤの数値計算でも要となる。
参考文献：
S. Koide, K.-I. Nishikawa, R. L. Mutel, ApJ 463 (1996) L71.
特殊相対論的ＭＨＤ方程式の３＋１形式
方
程
式
が
閉
じ
る
D
   ( Dv )
(conservation of particle number)
t
ここで， D   ,
P
    pI  hUU  12 B 2  E 2   BB  EE  (equation of motion)
t
2
  h 2  p  D  12 B 2  E 2 
ここで， P  h v  E  B,

   P  Dv 
t
B
   E
t
(equation of energy)
ほぼ非相対論的
ＭＨＤと同じ式。
(Faraday’s law)
同じ手法が使え
るはず。以前はそ
(Gauss law)
B  0
の認識がなかっ
たため，後でのべ
(ideal MHD law)
E  vB  0
るような相対論特
1
e
p, h  e  p (equation of state) 有の数値解法を
G 1
用いていた。これ
では，非相対論
(Gauss law)
e    E,
的ＭＨＤで培われ
たノウハウを生か
E
J
 B
(Ampere’s law)
すことはできない。
t
特殊相対論的ＭＨＤ方程式と理想ＭＨＤ方程式の比較
D
   ( Dv )
t

   v 
t
P
    pI  hUU  12 B 2  E 2 I  BB  EE 
t
P  h 2 v  E  B,

   h 2  D v  E  B
t
  h 2  p  D  12 B 2  E 2 
B
   E
t
B  0
E  vB  0
v
B2


    pI  vv  I  BB 
t
2



   hnrv  E  B
t

p
  v2 
2
G 1
全く同じ
SRＭＨＤとＭＨＤの保存量の比較
ＭＨＤ
SRＭＨＤ

D  
P  v
P  h 2 v  E  B
  h 2  p  D  12 B 2  E 2 

2
v2 
p
G 1
B
B
基本量は同じ：


v
p

B
特殊相対論的ＭＨＤ数値計算における基本量の計算
Conservative Variable
D,
P,  , B
Primitive Variable
（保存量）
 ,  ,
v, p, E
1

1 v2
D  
B2 E 2
  h  p  D  
2
2
P  h 2 v  E  B
2
E  vB  0
h  h p,    e  p  (n  1) p  
(EoS: polytropic)
1 2
T    h v v  Bi B j  Ei E j  B  E 2  ij
2
ij
ij
2
i
j
（基本量）
基本量を計算するための代数方程式
x   1
Polytropic EoS:
y  v  B
G 2

2
xx  1GRx  2GR  d x  GR  d  u  y 
2 



 Gx 2  2Gx  1 f 2 x  1  2sy  2sxy  b 2 y 2
2

G 2

2
2
2
2
G R  b x  2GR  2Gb  d x  GR  d  u  b  2 y 


 s x  1 Gx 2  2Gx  1







2
G
B
R  D  2 , d  G 1D, u  1   2 ,
c
 2 c
P
BP
B
f  , b , s  2
c
c
c
コード中ではこの連立方程式をNewton-Raphson法により解く。
特殊相対論的MHDのテスト問題
(SRMHD)
• アルフベン波
• 磁場のある場合のKelvin-Helmholtz不安定性
• 磁気衝撃管問題
SRMHDの計算例（Koide, Nishikawa, Mutel, ApJL 1996）
速度
ローレンツ因
子 γ=4.56の
ジェットの入射
質量密度
簡易化
TVD法
磁場
圧力
理想一般相対論的MHD（GRMHD）
Schwarzschild black hole
参考文献：
a0
S. Koide, K. Shibata, & T. Kudoh, ApJ 495 (1998) L63.
S. Koide, K. Shibata, & T. Kudoh, ApJ 522 (1999) 727.
Kerr
S. Koide, D. L. Meier, K. Shibata, & T. Kudoh, ApJ 536 (2000) 668.
black
hole
S. Koide, Phys. Rev. D 67 (2003) 104010.
a0
S. Koide, Phys. Rev. D 74 (2006) 044005.
(a  0.99995)
3+1 Formalism of Ideal GRMHD Equation
～ similar to nonrelativistic ideal MHD
(conservative form)
(conservation of particle number)
Special relativistic mass density, 
D
   [D( v  β)]
general relativistic effect
t
Special relativistic total momentum density
P
   [ (T  P)]  D     f curv  P : σ
t
Special relativistic total energy density
(equation of motion)
special relativistic effect

(equation of energy)
   [ (P  Dv  β)]  ( )  P  T : σ
t
No coupling
E
B
J   eβ 
    B  β  E with other Eqs.
    (E  β  B)
t
t
e    E
(Maxwell equations)
B  0
E  vB  0
(ideal MHD condition)
理想GRMHDの座標成分での表示
D
1


i i
t
h1h2 h3 x
h1h2 h3
i
i 
 h D(vˆ  β )


i

j
Pˆ i
1
 h1h2 h3 ˆ ij
1 
j ˆi
i
ˆ



(
T

β
P
)



D


f

P
j j 
j s ji  j  j Gij Pˆ i  G ji Pˆ j

curv
i
t
h1h2 h3 x  h j
hi x


ij


1
 h1h2 h3 ˆ i
i
i
i 1 
i
ˆ
ˆ

( P  Dvˆ  β  )   P
  T s ji    i f curv
i i 
i
j
i
t
h1h2 h3 x  hi
hi x
 i
Eˆ i    ijk vˆ j Bˆ k
j ,k
Bi
hi


  ijk j
t
h1h2 h3 j ,k
x
General relativistic terms
h ( Eˆ   β l Bˆ )
klm
m
 k k 

l ,m
1
  h1h2 h3 ˆ 
Bi   0
i i 
h1h2 h3 x  hi

Eˆ i
h

i
i
ˆ
 J  e  
 i   ijk j
t h1h2 h3 j ,k
x


e 
1
  h1h2 h3 ˆ 
Ei   0
i i 
h1h2 h3 x  hi

h ( Bˆ   β l Eˆ )
klm
m
 k k 

l ,m
一般座標で書かれた特殊相対論的MHDの素直な拡張となっている

理想SRMHDの一般座標成分での表示
D
1


i i
t
h1h2 h3 x
h1h2 h3
i i 
i
vˆ v
ˆ β )
 h D(D


i
j
Pˆ i
1
 h1h2 h3 ˆ ij ij j ˆ i 
1 
i
ˆ
ˆ



(
T

β
P
)



D


f

P
j j 
j s ji  j  j Gij Pˆ i  G ji Pˆ j

curv
T
i
t
h1h2 h3 x  h j
hi x


ij


1
 h1h2 h3 ˆ i i
i
i
i 1 
i
i
ˆ
ˆ
ˆ D

( PP
vˆDvˆβ  )   P
  T s ji    i f curv
i i 
i

j
i
t
h1h2 h3 x  hi
hi x
 i
Eˆ i    ijk vˆ j Bˆ k
j ,k
Bi
hi


  ijk j
t
h1h2 h3 j ,k
x
h ( Eˆ   β l Bˆ )
klm
m
 k k Ê

lk, m
1
  h1h2 h3 ˆ 
Bi   0
i i 
h1h2 h3 x  hi

Eˆ i
h

i
i i
ˆ
 J  Ĵe  
 i   ijk j
t h1h2 h3 j ,k
x


e 
1
  h1h2 h3 ˆ 
Ei   0
i i 
h1h2 h3 x  hi

h ( Bˆ B̂  β l Eˆ )
klm
m
k
 k k 

l ,m

ここで座標以外の物理量はZAMO系で測っている
ので，その互いの関係は特殊相対論のそれと同じ。
Conservative Variable
D,
P,  , B
Primitive Variable
 ,  ,
（保存量）
D  
P  h 2 v  E  B
B2 E 2
  h  p  D  
2
2
2
h  h p,    e  p  (n  1) p  

v, p, E
（基本量）
1
1 v2
E  vB  0
(EoS: polytropic)
特殊相対論の方法がそのまま使える。
GRMHDのテスト計算
GRHD
• BHへの自由落下
• BHまわりでの円軌道回転の不安定性
• Bondi flow
GRMHD
• アルフベン波の伝播
• 時空の引きずり効果によるダイナモ
• Magnetized Bondi flow
Frame-dragging Dynamo
vˆ  0
(assumption)
B
 f r Br  f B
t
h3   3 


f 
h2   h3 
h3   3 

,
fr 
h1 r  h3 
z
Uniform
magneticPlasma ΩH
field
β
B0
r
Frame
Kerr
dragging
black
R
hole
Ergosphere
rH
B
    ( v  β)  B 
t
Frozen-in
Kerr black hole, Uniform magnetic field,
No Accretion disk
Koide, Shibata, Kudoh,
Meier 2002
t=0
rS=2GM●
z/rS
Lines: Magnetic field
surfaces
Kerr
black
hole
Arrows: Velocity of
plasma
c
R/rS
- B
t = 1S
S=rS
z/rS
Lines: Magnetic field
surfaces
Kerr
black
hole
Arrows: Velocity of
plasma
c
R/rS
- B
アウトライン
◇ ＧＲＭＨＤの数値計算の必要性
◇ ＧＲＭＨＤ方程式(共変形式，３＋１形式）
◇ GRMHDの数値計算方法
－ＧＲＭＨＤコードの開発手順例
◇ GRMHD数値計算のいくつかの応用例
◇ まとめと今後の課題
GRMHDシミュレーション計算例：
ブラックホール磁気圏プラズマ
のダイナミックス
• 一様磁場中の回転するブラックホール
• ブラックホール回転エネルギーの引き抜き機構
• ブラックホール磁気圏でのジェット形成
ブラックホール磁気圏の構成
• プラズマ
– 降着円盤あり
– 降着円盤なし
• 磁場配位
– 一様磁場
– 放射型磁場（split monopole field）
– 電流ループによる磁場
• ブラックホールの回転 (a=J/Jmax)
– 回転なし：シュワルツシルト・ブラックホール(a=0)
– 回転あり：カー・ブラックホール(-1<a<1)
Status of Three Elements of
Black Hole Magnetosphere
Here we consider the simplest system consisted by
• Blackblack
hole:hole,
rotation
(a=Jand
/Jmax)
rotating
plasma,
magnetic field.
–non-rotation： Schwarzschild black hole (a=0)
–Rotation： Kerr black hole (-1<a<1)
• Plasma
–With accretion disk
– Without accretion disk
• Magnetic field: configuration
B
Black
Hole
Plasma
VF rF
– Uniform magnetic field
– Radial magnetic field（split monopole field）
– Magnetic field caused by current loop
Kerr black hole, Uniform magnetic field,
No Accretion disk : Initial condition
(Koide, Shibata, Kudoh, Meier 2002)
(1) Kerr black hole: maximally rotating
rotation parameter, a=J/Jmax=0.9999
(2) Magnetic field: Uniform around Kerr
black hole (Wald solution)
(3) Plasma: zero momentum,
uniform, low density and pressure
0=0.1B02/c2, p0=0.060c2
(4) Calculation region:
1.05 rH ≦ r ≦ 40 rH,
0.01 ≦ θ ≦ π/2
・ Axisymmetry, symmetry with respect
to equatorial plain
Uniform, strong
magnetic field
z
Uniform, thin
plasma
Kerr 
black
hole
Ergosphere
rH
r
R
Kerr black hole, Uniform magnetic field,
No Accretion disk
Koide, Shibata, Kudoh,
Meier 2002
t=0
rS=2GM●/c2
z/rS
Lines: Magnetic field
surfaces
Kerr
black
hole
Arrows: Velocity of
plasma
c
R/rS
- B
t = 1S
S=rS /c
z/rS
Lines: Magnetic field
surfaces
Kerr
black
hole
Arrows: Velocity of
plasma
c
R/rS
- B
t = 4S
z/rS
Lines: Magnetic field
surfaces
Kerr
black
hole
Arrows: Velocity of
plasma
c
R/rS
- B
t = 7S
z/rS
Lines: Magnetic field
surfaces
Kerr
black
hole
Arrows: Velocity of
plasma
c
R/rS
- B
Power Radiation
along Magnetic
Field Lines cross
Ergosphere,
Kerr black hole
Ergosphere
Propagation of Alfven wave:
Electromagnetic energy
transportation
but No Outflow
Magnetic field lines
Plasma
t = 7S
Formation of Negative Energy Region
z
rS
Arrow: Power density
Solid line: magnetic
field surface
R / rS
Energy-at-infinity density，e∞
MHD Penrose process (Hirotani, Takahashi, Nitta, Tomimatsu 1992)
ペンローズ過程
ブラックホールの回転エネルギーの引き抜き
エネルギー保存
eA  eB  eC
角運動量保存
LA  LB  LC
energy-at-infinity
e  mc2  ω L
eC  0 ならば
eB  eA
Cがブラックホールに落下すると，
ブラックホールの回転エネルギーが減る
角運動量の再配分
Lz/(2Hh3/c)
H: 相対論的エンタルピー
h3: メトリック成分
ペンローズ過程
カー
ブラック
ホール
Energy-at-infinity
E∞= E + 3Lz

>0
Lz/(2hh3/c)
負のエネルギー
Relativistic Outflow/Jet Formation
カーブラックホール，一様磁場，
円盤なしの場合の結果のまとめ
z
Uniform, thin
plasma
Uniform, strong
magnetic field
Kerr
black
hole
• エルゴ領域から強力な磁気エネル
ギーが放射されるが，全てのプラ
ズマは落下しておりアウトフローは
見られない。
• 一様磁場ではプラズマ加速の効
率が悪いと考えられる。回転軸に
対して斜めで外に向かって開いた
磁力線を持つ磁場がプラズマ加速
にはより効率的と期待される：
（例）放射状磁場
rH
Radial
magnetic field
Centrifugal
r
force

R
Ergosphere
z
Thin plasma
Kerr
black
hole
rH
Centrifugal
force
r

R
Ergosphere
Kerr black hole, Radial magnetic field,
No Accretion disk : Initial condition
• Black Hole:
a
J
J max
 0.99995
(nearly maximally rotating black hole)
• Magnetic Field： radial magnetic field
r  ar  r  ar  cos  
2
2
Br  B0
2
2
g
g
2 A
,
B0=B(R=rS,z=0)
• Plasma：
2r arg  sin  cos  
2
2
   0  3 log  5 , p   0
B  B0
6



3
log

c2
18
2 A
, ρ0=0.018B02/c2,
6.86
vˆ  vˆ  0 , vˆ r  cr / rH 
（Plasma falling condition near the horizon,
Hydrostatic equilibrium far black hole）
Numerical Result:
Initial Condition
rS=2GMBH/c2
 B2
log  2
 c

z/rS




Kerr
black
hole
c
R/rS
Ergosphere
Lines: Magnetic field
surfaces
Arrows: Velocity of
plasma
τS=rS/c
(Unit of time)
Vmax=0.86c
(Lorentz factor 2.0)
 B2
log  2
 c

z/rS




Kerr
black
hole
c
R/rS
Ergosphere
Lines: Magnetic field
surfaces
Arrows: Velocity of
plasma
Relativistic Outflow driven by
Magnetic Field from Ergosphere
t = 10.7S
Kerr black hole
Ergosphere
Plasma
Magnetic field lines
Magnetic field
flux tube acts as
propeller screw!
扇風機のプロペラによる風との類似
回転するプロペラ
（磁力線）
扇風機
モーター
（ブラックホール，
エルゴ領域の
プラズマ）
風
（プラズマ
アウトフロー）
Time Evolution
Vmax=0.86c
(Lorentz factor 2.0)
rS=2GMBH/c2
τS=rS/c (Unit of time)
Lines: Magnetic field
surfaces
Kerr
black
hole
Arrows: Velocity of
plasma
0
Color: Azimuthal
Component of
Magnetic Field, Bφ2
Time Evolution
Vmax=0.86c
(Lorentz factor 2.0)
rS=2GMBH/c2
τS=rS/c (Unit of time)
Lines: Magnetic field
surfaces
Kerr
black
hole
Arrows: Velocity of
plasma
0
Color: Azimuthal
Component of
Magnetic Field, Bφ2
Time Evolution
Vmax=0.86c
(Lorentz factor 2.0)
rS=2GMBH/c2
τS=rS/c (Unit of time)
Lines: Magnetic field
surfaces
Kerr
black
hole
Arrows: Velocity of
plasma
0
Color: Azimuthal
Component of
Magnetic Field, Bφ2
Plasma Acceleration Force
WEM  v  (E  J  B)

WEM
 v  (E  J  B)
pol
WEM
 v pol  (E  J  B)
Wgp  v  (p )
gp
相対論的ジェットの形成
Koide, Kudoh, Shibata (2006) PRD 74, 044005.
McKinney (2006) MNRAS, 368, 1561.
Black Hole Magnetosphere
（Corona）
Magnetic bridge:
Closed magnetic field lines
between ergosphere and disk
Magnetic Field Lines
Plasma Disk
Black
Hole
Ergosphere
Plasma
Black Hole Magnetosphere
Magnetic Field induced by Current Loop
around Black Hole
Magnetic Field Lines
Magnetic bridges

Black
Hole
Plasma Disk
Current loop
R0
Ergosphere
Plasma
Twist of magnetic bridge by ergosphere
B
Twist by
frame-dragging
effect
Magnetic bridge
B
Rapidly
Rotating
Black
Current loop
Hole Frame-dragging
Ergosphere
effect
Plasma
Disk rotation
Schematic picture of phenomena caused by
the magnetic bridge near the black hole
Magnetic field
Magnetic bridge
Current
loop
Kerr
black
hole
Initial
Accretion disk
Ergosphere
Sub-relativistic
jet
Magnetic field
Kerr
black
hole
Accretion disk
Ergosphere
Initial condition of Ideal GRMHD simulation
4
Corona: hydrostatic
2
t =0
+background pressure
(Specific-heat ratio:
G  5/ 3 )
Ergosphere
Magnetic
bridge
Disk: Kepler
rotation
0
Solid white line:
Magnetic field line
-2
Color:
log 
-4
-6


J
Almost maximally rotating Black hole  a  J  0.99995 
max


Time evolution:
Mass density, magnetic configuration
Solid white line:
Magnetic field surface
Color:
log 
Arrow: velocity
Solid line:
Magnetic field surface
Color:
log 
Arrow: Velocity
Final stage of calculation：Density,
velocity, magnetic configuration
t  110 S
4
2
Solid line:
Magnetic field line
0
Color:
-2
Arrow: Velocity
-4
log 
vmax : 0.4c - 0.6c
Azimuthal component of magnetic
field, magnetic configuration
t  20 S
Frame-dragging effect
1
Solid line:
Magnetic field line
Color:
0
B /  1/ 2
Arrow: Velocity
ΩH
Bφ
rotation
-1
Disk rotation
Ergosphere
Black
Hole
framedragging
effect
Disk
Formation of Relativistic Jet
Ideal GRMHD longer-term simulation
Lorentz factor：Γ~５ (vjet=0.98c)
100rS
10 4 rS
t  7000rS / c
a  0.9375
Color: log ρ
Lines: magnetic surfaces
J. C. McKinney 2006, MNRAS
Longitudinal structure of relativistic jet
jet
Jet collimation
r
10
j
BH
10
Jet acceleration
G7
1
J. C. McKinney 2006, MNRAS
v jet  0.99c
Comparison between numerical result
and observation of jet from AGN of M87
Radio Image (VLBI)
Collimation of relativistic jet
102rS
103rS 104rS
数値計算結果
(McKinney 2006)
W. Junor, J. A. Biretta, and M. Livio 1999, Nature
アウトライン
◇ ＧＲＭＨＤの数値計算の必要性
◇ ＧＲＭＨＤ方程式(共変形式，３＋１形式）
◇ GRMHDの数値計算方法
－ＧＲＭＨＤコードの開発手順例
◇ GRMHD数値計算のいくつかの応用例
◇ まとめと今後の課題
まとめ
ＧＲＭＨＤ数値計算を非相対論的ＭＨＤの手法に帰着さ
せる方法を説明し，コード開発の手順とテスト方法の例
を示した。
•非相対論的ＭＨＤ⇒特殊相対論的ＭＨＤ
– コード開発の要：「保存量」→「基本量」の計算
•特殊相対論的ＭＨＤの一般座標化
•一般座標の特殊相対論的ＭＨＤ⇒ＧＲＭＨＤ計算コード
– メトリック，一般相対論的効果を表す項を加える。
ここで，GRMHD数値計算において保存型MHD方程式の数値計算
スキームがそのまま使えることを述べた。
ブラックホール磁気圏プラズマのＧＲＭＨＤ数値計算の例を示した。
• ブラックホール回転エネルギーの引き抜き機構の検証
• 相対論的ジェットのブラックホールの回転エネルギーによる磁気
加速
Final stage of calculation：Density,
velocity, magnetic configuration
t  110 S
4
2
Solid line:
Magnetic field line
0
Color:
-2
Arrow: Velocity
-4
log 
vmax : 0.4c - 0.6c
Magnetic configuration of final stage:
Numerical magnetic island
t  110 S
Magnetic island
(Plasmoid) :
Numerical
4
2
0
-2
Ideal GRMHD:
No magnetic
reconnection
• Magnetic Island:
Numerical
• Anti-parallel
magnetic field
-4
Solid line:
Magnetic field line
Color: log 
Arrow: Velocity
今後の課題
現在のブラックホール磁気圏のプラズマの取り扱い
はほとんど理想ＧＲＭＨＤの計算に限られている。
• 抵抗性ＧＲＭＨＤ：
– 磁気リコネクション
• 放射ＧＲＭＨＤ：
因果律の問題
– プラズマと放射の相互作用
– 数値観測
一般化ＧＲＭＨＤ
Schematic picture of phenomena caused by
the magnetic bridge near the black hole
Magnetic field
Magnetic bridge
Current
loop
Kerr
black
hole
Initial
Accretion disk
Ergosphere
Sub-relativistic
jet
Magnetic field
Kerr
black
hole
Accretion disk
Ergosphere
Present
result
With finite conductivity
Intermittent Jet
Magnetic field
Flare of X-ray
Magnetic field
Magnetic
reconnection
Accretion disk
Kerr
black
hole
Kerr
black
hole
Ergosphere
Anti-parallel magnetic field
is formed
Accretion disk
heating
Ergosphere
Magnetic reconnection must be
important near black hole horizon!
GRMHD with finite conductivity
Near future important subject
宇宙流体・プラズマの相対論的数値計算の概観
相対論的MHDの分類
MHD
(ideal)
SR
(特殊相対論)
SRHD
SRMHD
SRRHD
Marti et al. 1991
• Special
Relativistic
Duncan & Huges 1994
Koide 1996
van Putten
1996
MHD
(SRMHD)
Gomez et al. 1997
SRMHD
relativistic plasma/fields
GRin flat space-timeGRHD
Hawley 1985
(一般相対論)
•
MHD
(Resistive,
Hall MHD)
HD
RHD
(流体力学) (放射流体力学)
GRMHD
General
Relativistic
Wilson 1972
Yokosawa 1982
Koide, Shibta,
& Kudoh 1998
MHD (GRMHD)
SG-GRHD
(Watanabe & Yokoyama 2006)
?
GRHD[ν]
Aloy et al. 1999
GRMHD
relativistic plasma/fields
Oohara, Nakamura,
& Shibata 1997
in curved space-time
Saylor, Seidel, Norman,
(Original: Koide 2000)
» WithFont,
fixed
metric of 1997
Papadopoulos
space time
Schwarzschild
Shibata 2005
metric
SG-GRMHD
Kerr metric
» WithSG-GRRMHD
dynamic
atomic process]
space-time[ν,
(SG-
?
?
SG-GRMHD
GRMHD数値計算の大まかな経緯
1972 J. Wilson
はじめてのGRMHD数値計算
1982 Yokosawa
Wilson法によるＧＲＭＨＤ数値計算
1996 Koide, Nishikawa, Mutel
保存方程式を用いた特殊相対論的
ＭＨＤ数値計算
1998 Koide, Shibata, Kudoh
ＧＲＭＨＤ数値計算
2004 Gammie
ＧＲＭＨＤ数値計算（HARMコード）
2006 McKinney
ＧＲＭＨＤの長時間計算
非常に弱い磁
場の計算
強い磁場の
計算
(保存方程式を
用いている)
Wilson’s formulation for general
relativistic hydrodynamics (1972)
D  U 0 ,
here,
Special numerical procedure is required!
このようにKoide 他(1996)以前は非相対論的手法に帰着させよ
うという意図が全くなかった。帰着させることでこれまで蓄積され
たノウハウを利用し計算を安定化できるという認識はなかった。
Relativistic Jets in the Universe
AGN
Quasar (QSO)
Gamma-ray burst (GRB)
Micro-quasar
(QSO)
Γ>10
~
Mirabel, Rodriguez 1998
Γ～ 3
~ light
years
-rays
Γ>100
~
Several light years
Several M light years
X-ray,
optical,
radio
emission
~ 1AU
Relativistic
jet
~ 1 km
Gravitational
collapse
Forming Spinning
Black hole (?)
MHD近似の階層
• 理想MHD(非相対論的)
• 理想特殊相対論的MHD
（SRMHD）
• 理想一般相対論的MHD
（GRMHD)
• 抵抗性MHD
• 抵抗性SRMHD
• 抵抗性GRMHD
• 一般化ＧＲＭＨＤ
ＧＲＭＨＤの数値計算の要は特殊相対論的ＭＨ
Ｄの計算にある。一般相対論化はその一般座標
化の延長で扱える。
Initial Condition
• Black Hole:
a
J
J max
 0.99995
(Almost maximally rotating)
• Magnetic Field： Magnetic field induced by current
1
.
5



loop around black hole J 0 
, R0  rS ,   0.5rS 

• Plasma：

2
Current
Minor radius
– Corona
Major radius of current loop
hydrostatic equilibrium

cor  eq  0 
G / G0 1G 1
pcor  peq  pbg 
vˆ  0

1

G0
G0  4, 0  0.018
– Disk
(Co-rotating disk)
ρdisk = 1,000ρcor, pdisk = pcor
vˆ P  0,

G 1
 0c 2  G / G0 1G 1  1
G
v  vKepler
G0 1

0
pbg

Condition of Ideal GRMHD simulation
Axisymmetry
4
Calculation region:
1.006rH  r  200rH
0.01     / 2
2
t =0
0
Solid white line:
Magnetic field line
-2
Color:
( 210 × 70 mesh2 )
-4
Mirror symmetry
-6
log 
Mass density, velocity,
magnetic pressure at t  20 S
log 
Magnetic pressure, log B / 2
2

1
4
0
2
-1
0
-2
-3
-2
-4
-4
-5
Solid line: Magnetic field line, Arrow: Velocity
vmax : 0.4c - 0.6c
 S  rS / c
Nonrelativistic MHD Simulation
with Dipole-Magnetic Field and Disk
Magnetic
bridge
Hayashi, Shibata,
and Matsumoto
(1996)
Anomalous resistivity:
s  100
s 
J/ρ  vd 
J/ρ  vd 
Magnetic island
(Plasmoid)
Magnetic configuration of final stage:
Numerical magnetic island
t  110 S
Magnetic island
(Plasmoid) :
Numerical
4
2
0
-2
Ideal GRMHD:
No magnetic
reconnection
• Magnetic Island:
Numerical
• Anti-parallel
magnetic field
-4
Solid line:
Magnetic field line
Color: log 
Arrow: Velocity
Ideal SRMHD Equations
General relativistic equations of conservation laws:


 nU   0
 T   0
here,
(particle number)
(energy and momentum)
T   pg   hU U   F  s F s  14 F ls Fls g 
Maxwell equations:
  Fl   Fl   l F  0
 F    J 
Ohm’s law with infinite conductivity:
FU   0
n: proper particle number density U : velocity four vector.
J : current density four vector
T : energy-momentum tensor
F : field-strength tensor
h: proper enthalpy density
3元ベクトル表現
 U 0
(Lorentz factor)
v U /
  T 00  
Pi  T i 0
T ij  T ij
Ei  F i 0
(3-velocity)
i
i
1
Bi    ijk Fjk
j ,k
2
e  J
Ji  Ji
0
i, j , k  1,2,3
(total energy density)
(total momentum density)
(electric field)
(megnetic field)
(electric charge density)
(electric current density)
ここで，光速度を１，電場と磁場の単位はB2/2とE2/2がそれぞれ磁気的エネル
ギー密度，電場のエネルギー密度となるように取るものとする。
理想ＭＨＤ方程式
(non-relativistic conservative form)

   v 
t 保存量
基本量
(conservation of particle number)
v
B2


    pI  vv  I  BB    grav
t
2



     p v  E  B  ( grav )  v
t
保存量
B
基本量
   E
t
B  0
E  vB  0

p
 v 
, h  p
2
G 1
2
J  B
(equation of motion)
(equation of energy)
(Faraday’s law)
(Gauss law)
(ideal MHD condition)
(equation of state;
non-
relativistic enthalpy density)
(Ampere’s law)
General Relativistic MHD
(GRMHD)
GRMHD equations are similar to non-relativistic MHD
equations. Differences are
– Displacement current (Ampere’s law with displacement
 
current)
1 E
β

J   e cβ  2
     B   E 
c

 
– Gravitational red shift （lapse function）c t
– Frame dragging effect（shift vector）
• Ohm’s law:
– Zero electric resistivity (ideal GRMHD) η=0: recently
explosively developed ⇒ simplest approximation
– Non-zero electric resistivity (resistive GRMHD):
no calculation except for several special relativistic
calculations
Causality problem
Space-time around a black hole
Line element ds  g  dx dx  d Proper time
2


2
Space-time metric: Solution of Einstein equation
–Schwarzschild metric (non-rotating black hole)
Analytic
–Kerr metric / Kerr-Schild metric (rotating black hole)
solution
–Time-varying metric （self-gravity of plasma and fields）
← numerical solution

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