と「数学的な考え方」

APEC-KHON KAEN International Symposium
Innovative Teaching Mathematics Through Lesson Study Ⅱ
How to develop
Student’s Mathematical Thinking
in Classroom
SHIMIZU Shizumi
Doctorial Program in School Education,
16th. Aug. 2007.
Graduate School of Comprehensive Human Sciences,
University of Tsukuba
1 「数学的に考えること」と「数学的な考え方」
２子どもたちの「数学的な考え方」を
授業で育成すること
３数学的に考えること
４授業についての検討
５数学的な考え方を育成するための授業改善
1 「数学的に考えること」と「数学的な考え方」
Mathematical activity
Thinking Mathematically
Mathematical Thinking
(1) 中島健三氏の立場
・1958年改訂小学校学習指導要領に
「数学的な考え方」を導入
「算数・数学にふさわしい創造的活動」
＝「数学的に考えること」
○ 1958年改訂小学校学習指導要領、算数科目標
における「数学的な考え方の位置づけ」
目標では
◇ 生み出す対象としての数学的な考え方
１．数量や図形に関する基礎的な概念や原理を理解させ，
より進んだ数学的な考え方や処理のしかたを生み出すこ
とができるようにする。
◇ 用いる対象としての数学的な考え方
５．数学的な考え方や処理のしかたを，進んで日常の生活
に生かす態度を伸ばす。
＊目標５は，科学的な生活態度を育成することの必要
を示したものである。
評価の観点としての数学的な考え方
（1970年代以降）
→ 数学的な考え方の「育成」
→ 「育成」の内実が不明確
(2) 片桐重男氏の立場
・1950年代後半から今日まで
「数学的な考え方」の分析的研究に従事
「数学的な考え方」
＝「数学的に考えること」を支える
アイデア（着想）、方法（及び態度）
２子どもたちの「数学的な考え方」を
授業で育成すること
(1) 授業では、その中核に子どもたちの主体的な活
動があるべきである。それは、かれらにとって「創
造的な活動」である。
・・・授業は、子どもたちの問題解決で展開
する。教師はそれを導く。
(2) 「創造的な活動」（問題解決）が、子どもたちにとっ
ても教師にとっても意味のあるものにならなくては
ならない。
・・・その活動を支える要素を分析し、それ
らを子どもたちが獲得する必要がある。
(3) したがって、授業における「数学的な考え方」
の育成を考えるには、
・「創造的な活動」（問題解決）の文脈での子ど
もたちの主体的な営みを実現すること
・それらを支える「アイデア（着想）、方法（及び
態度）」を明らかにし身につけること
・具体的な数学的内容に即して展開すること
これらが相互にかかわり合う必要がある。
３数学的に考えること
(1) 子どもたちの主体的な活動
・・・他人事ではなく自分のこととして取り組む
(2) 活動の動機（解決すべき問題の文脈）・局面
・・・活動の諸局面に応じ適切に取り組む
活動の動機（解決すべき問題の文脈）・局面
・生活上の必要、身のまわりの事象の説明
→ 活用（身のまわりの事象につて、数学
を用いて考察したり判断したりすること）
・知的好奇心、数学の美しさの追求
→ 創造（日常生活での経験や既習の数学
との関係で、創造的、発展的に考え、新
たなことを生み出すこと）
・活用や創造の支持と確かさと豊かさの追求
→ 説明（「活用」と「創造」の二つの局面は
「説明」を抜きにしてはあり得ない。
「説明」は、自ら納得したり他者を説得した
り、伝え合い深め合い学習の成果を共有し
よりよいものに高める際に不可欠である。）
４授業についての検討
第５学年多角形の角の和
指導計画
時
目標
・三角形の３つ
の角の大きさ
についてきま
りを見つけ、和
が 180° にな
１ることを理解
する。
問題（活動）
評価の視点
【問題】
【関】三角形の３つの角の
三角形の３つの角大きさの和について関心
の大きさについて、いを持つ。（観察）
ろいろな方法で調べ【考】三角形の内角の和
ましょう。
が180°であることの根拠
を明らかにすることができ
［活動］
形も大きさも同じ三る。（発表・ノート）
角形の敷き詰め活動【知】三角形の内角の和
を通して、三角形の３が180°であることを理解
つの角の大きさにつする。（発表・ノート・観
いてきまりをみつける。察）
時
目標
問題（活動）
評価の視点
・三角形の内【問題】
【考・表】三角形の内角の
角の和のき三角形の３つの和が180°であることを利
まりを適用し、角の和が 180° で用して、角の大きさを考え
いろいろな問あることを利用して、ることができる。（発表・
題をとくこと角についての問題シート）
ができる。
を解こう。
２
［活動］
三角形の内角の
和のきまりを使って、
未知の角の大きさ
を求める。
時
目標
問題（活動）
評価の視点
・三角形の内【問題】
【考】四角形の内角の和の
角の和の決四角形の４つの求め方を考えることができ
まりを適用し、角の大きさの和のる。（発表・ノート）
四角形の内求め方を考えよう。【知】三角形の内角の和の
３角の和を求
きまりを用いて四角形の
［活動］
本めることがで
内角の和360°であること
三角形の内角の
時きる。
和のきまりを使って、を理解する。（シート・ノー
ト）
四角形の内角の和
を求める。
時
目標
問題（活動）
評価の視点
・三角形の内【問題】
【考・表】三角形の
角の和のき（基礎・基本コース）
内角の和のきまり
まりを適用し、三角形の和をもとにして、を適用し、多角形
五角形など五角形や六角形などの角の内角の和を考え
の多角形のの和の求め方を考えよう。ることができる。
内角の和に
（発表・ノート）
（発展コース）
ついて求める
４ことができる。工夫して、五角形や六
角形の角の和の求め方を
考えよう。
［活動］
多角形を三角形に分割
することにより、内角の和
を求める。
目標
三角形の３つの角の大きさの和についてのきまりを
適用して、四角形の内角の和を求めることができる。
問題と活動
【問題】四角形の４つの角の大きさの和の求め方を
考えよう。
［活動］三角形の内角の和のきまりを使って、四角形
の内角の和を求める。
評価の観点：
【考】四角形の内角の和の求め方を考えることがで
きる。（発表・ノート）
【知】三角形の内角の和のきまりを用いて四角形の
内角の和360°であることを理解する。
（シート・ノート）
まとめ
○ この四角形の四つの角の和は、分度器で角の大きさ
を測ったり、一つの頂点にほかの三つの角を集めたりす
ると360°になりそうだ。ほかの四角形についても調べな
くてはいけない。（類推；予想・推測の構成→立証・確証）
○ 四角形の四つの角の和は、対角線で二つの三角形
に分けると、三角形の三つの角の和が180°であること
をもとにして、180°×2＝360°だから、四角形の四つの
角の和は、 360°になる。（演繹；四角形であればその形
に依存しない→一般性・立証・確証）
この考え方をもとにすると、どんな四角形でも四つの角
の和が360°になることが説明できる。
○ 「四角形の四つの角の和は、どんな四角形で
も同じ大きさで、360°である。」ことがわかった。
○ 同じようにすれば、五角形や六角形について
もできそうだ。（類推、一般化、関数的な考え）
Ａさん
【見通し】
三角形の角の和は180°だっ
たけど四角形の角の和は360°
だと思う。
三つのが180°だったら四つ
の角だったら１つ角が増えるか
ら360°だと思います。
きまりを見つければ三角形の
ように和をみつけられると思い
ます。
結果：予想
結果：根拠
方法：類推
【自力解決】
三角形の半分が90°だか
ら180°だったら180°＋180°
をすると四角形の和をみつ
けれると思います。
【友だちの考え】
ななめにきると三角形にな
るから三角形と同じようにす
れば分かりやすい。
(けんやさん)
やぶった角をあわせたら
360°になるから、四角形の
和は360°になります。
(まことさん・あやかさん)
【まとめ】
三角形の角の和は180°
四角形の角の和は360°
【振り返り】
今日分かったことは四角形の角の和がわかりました。
三角形の角の二倍だったことが分かりました。
けいごさんとゆうやさんのいった角度をはかったら360°
になることが分かりました。
まことさんとあやかさんの意見もすごいと思いました。
どこかというとやぶった角度あわせたら360°になった
こともすごいなぁーと思いました。
けんやさんも対角線を使ったところもすごいなぁーと思
いました。
B さん
【見通し】
三角形は180°。じゃあ四角形は360°だと思う。なぜな
ら四角形は四つも辺があるからその分に角も大きくなると
思いからです。
もう一つは四角形をななめに切ると三角形が二つになる
から180×2＝360になるからです。
【振り返り】
今日は四角形の勉強をした。まさか自分の予想が当た
るなって思わなかった。とてつもなくかん単でした。
五角形の求め方はまた対角線を使います。かん単です。
三角形と四角形に分ければいいと思います。何角形でも、
その前のものと今やっているのに対角線をひけばいいで
す。
C さん
四角形の角の和は360°になることは分かっていたけ
ど、説明するともっと分かった。五角形の角は540°と分
かっているけど説明できないとなっとくしてもらえないか
ら、説明をがんばりたいです。
対角線を１本ひくと、三角形が２つあるから、180°が
２つで360°になることが分かりました。この考えに初め
は、対角線ひいてもいみないと思っていました。分かりや
すい説明だったので、１発で分かりました。
どの人の説明も分かりやすかったです。分度器ではか
るやり方とちぎって考えるやり方と長方形のやり方でしま
した。
黒板に出た考えで新しい考えだったのは１つだけでした。
５数学的な考え方を育成するための
授業改善
(1) 数学的に考えることの習慣化
・・・問題解決的な活動
(2) 子どもの内面を顕在化させるための工夫
・・・思考の跡を振り返り、その過程でのできご
と及び成果と課題について、整理し的確に話し
たり記述したりすること
(3) 数学的に考えたり問題解決をおこなったりした
こと（「学習」）による成果を的確にとらえること
・・・無意識的か意識的かにかかわらず、数
学的に考えることや数学的な考え方から
みて意味のあることを顕在化させ、学習の
成果として明らかにする。
一般に、学習の成果が数学的な事実に
偏りがちである。
(4) 問題設定についての二つの適切性
・授業のねらいにふさわしいか
・問題設定にふさわしい結果（答え）を
導いているか
・・・一貫性・整合性
(5) 問題設定とその解決の結果
・・・問題の持つ特性への配慮
・・・自己増殖性
（self-creating aspect）への着目
(6) 問題解決や数学的に考えること（数学的活
動）への挑戦、自信、効力感をはぐくむ
・数学への知的好奇心
・頑張ればできることの体験 → 自信
(7) 協働による創発
→ 日本のことわざ
「三人よれれば文殊の知恵」
・学び合い高め合う心
・思いやり・・・ communication mind

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