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第 1章
高校 数学 の基 礎
卜
〉問い 1-22〉 〉 χ≧0,ν ≧0を 満たす任意の実数π,り に対しα +ι ν≧0が成り
“
立つようなα,ら の必要十分条件を求めよ
.
{((α は無理数)∨ (ら は無理11
←⇒ {((α は無理数)∧
有臓
― {(α は有轍 )∧ (bは
…
るから,Pは
=
4
命題 の裏 ,逆,対 偶
P,9を 条件 とし,命 題 P:P=→ 9と す る。 この命題 Pに 対 し,「 9=→ ρJ を P
の逆 といい,P=→ 9を Pの 裏 とい う.さ らに,Pの 逆 の裏 (裏 の逆 で もよい)で あ
る 9=)Pを Pの 対偶 とい う。 これ らを図で表す と次 の よ うになる
1.5。
.
=あ
α,ろ が ともに有理数ならば r―
二 ヽう命題 と同値 である。 したがって、
「 せば Pも 真 とい うことになる。
ηろが有理数なので,α
=■ ,ι =二
10で はない)と お くと
26
α+b=■
g
+上
s
9
5
=
ps+r`
9S
命題 の逆 ,裏 ,対 偶 の 中で最 も大切 なのは対偶である.な ぜ な ら,対 偶 は元 の命題
と真偽 が一致す る24(元 の命題 と)同 値 な命題だか らである25
なって,α tt bは
問題に よっては,対 偶 で言 いかえて証明 した方が簡単 になる こともあるので,注 意
してほ しい。
ンたがつて,① は真であるからP tl
〈￨[の
形 で 1表 せ る
〉≫例題 1-24〉 〉
次の命題 Pが 真であることを Pの 対偶 を利用 して証 明 せ よ
.
P:α 十 ろが無 理数 な らば α、bの 少 な くと も一 方 は無理 数 で あ る
.
,
た だ し,α 、
ろは実 数 とす る
.
畿 解 答畿
命 題 Pは 次 の よ うに表す こ とが で きる。
P:α
tt bが 無理 数 =→
((α
は無理 数 )∨ (bは 無理 数 ))
← 無理数 に関す る証
明は,背 理法あるいは
対偶 を利用することを
考 える。
したが って,Pの 対 偶 は
,
,Pが
24っ まり
偽であれば Pの 対偶 も偽 となる
,命 題 Pが 真であれば Pの 対偶 も真
25「 裏Jと 「逆」 は元の命題 と真偽が一致す ることもある し,異 なることもある
.
i致
″
で
る
油
ま
痛理
″
がな の
数
あ
F
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