11. Übungsblatt

Institut für Analysis und Algebra
Technische Universität Braunschweig
SoSe 2016
Prof. Dr. Volker Bach, Alexander Hach
Lineare Algebra 2
11. Übungsblatt
Ausgabe am 23.06, Abgabe bis zum 30.06, 13:15 Uhr in der großen Übung, Besprechung in
den kleinen Übungen vom 04.07-06.07.
Aufgabe 11.1

1
Seien A := 0
0
(6
0
2
0
Punkte)





0
0 0 1
1 0 0
0 und W := 0 0 0 und P := 0 0 0.
3
1 0 0
0 0 0
(i) Berechnen Sie R0⊥ (z) = P ⊥ (A − 1 − z) P ⊥
−1
P ⊥ für z 6= 1, 2
(ii) Bestimmen Sie eine Schranke g0 > 0 so, dass |g| ≤ g0 und eine Neumann-Reihenentwicklung
die Existenz der Feshbach-Schur-Abbildung FP (Ag − 1 − z) ∈ B(P X) garantiert. (Der
tatsächliche Konvergenzradius ist hier sogar deutlich größer.)
(iii) Bestimmen Sie damit den gestörten Eigenwert λ1 (g) von Ag := A + gW korrespondierend zum ungestörten Eigenwert λ1 = λ1 (0) = 1 durch
eine implizite Gleichung
und
determinieren Sie α0 , α1 , α2 ∈ R und C > 0 so, dass λ1 (g) − (α0 + α1 g + α2 g 2 ) ≤ Cg 3 .
Aufgabe 11.2 (6 Punkte)
Die Methodik der Feshbach-Schur-Abbildung ist analog auch auf entartete Eigenwerte anwendbar.






1 0 0
0 0 1
1 0 0
Seien dazu A := 0 1 0 und W := 0 0 2 und P := 0 1 0.
0 0 4
1 2 0
0 0 0
Verfahren Sie analog zu Aufgabe 11.1 um die gestörten Eigenwerte λ1 (g), λ2 (g) von Ag :=
A + gW zum ungestörten doppelten Eigenwert λ1 (0) = λ2 (0) = 1 zu berechnen. Zeigen Sie
insbesondere
1 + z ∈ σ(Ag ) ⇔ det FP (Ag − 1 − z) = 0
PX
mit FP (Ag − 1 − z) : P X → P X.

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