まとめ

まとめ
時間領域アナログ複素信号
絶対値及び偏角が t [秒] の関数で表される複素数
z(t) = |z(t)| · e{j·∠
z(t)}
を「時間領域アナログ複素信号」と呼び、複素平面の上を移動する運動体 (ベクトル) となる。
時間領域 (アナログ) 複素正弦波 (または時間領域複素指数関数)
{
}
z(t) = a · e{j·ϕ} · e{j·w·t}
を「時間領域アナログ複素正弦波」又は「時間領域複素指数関数」と呼び、複素平面の上の回転運動体 (ベクトル) と
なる。
a・
・
・振幅 (または半径)、実数の定数、範囲は実数全体 (ただし一般的には a ≥ 0 )、単位は扱う信号の種類による
(ボルトとかアンペアとか度とか etc.)
w ・・・角周波数、実数の定数、範囲は実数全体 (※ アナログサイン波と違ってマイナスも良く使われる)、単位は
[rad/秒]
ϕ・
・
・初期位相、ファイと呼ぶ、実数の定数、範囲は −π ≤ ϕ ≤ π 、単位は [rad]
t・
・
・時刻、実数の変数、単位は [秒]
「角周波数」「周波数」「周期」の相互変換式
w = 2π · f
f=
T=
w
2π
1
2π
=
※ 周期は正なので絶対値を取る
|f |
|w|
1
時間領域アナログサイン波との関係
・時間領域アナログサイン波を 2 つの時間領域複素正弦波の和に分解できる
・時間領域アナログサイン波をそのまま使う代わりに時間領域複素正弦波を使って様々な問題を解ける
(sin 版)
a · sin(w · t + ϕ) =
}
{a
}
· e{−j(ϕ−π/2)} · e{−j·w·t} +
· e{j(ϕ−π/2)} · e{j·w·t}
2
2
{a
(cos 版)
a · cos(w · t + ϕ) =
{a
}
{a
}
· e{−j·ϕ} · e{−j·w·t} +
· e{j·ϕ} · e{j·w·t}
2
2
a・
・
・振幅、実数の定数、範囲は実数全体、単位は扱う信号の種類による (ボルトとかアンペアとか度とか etc.)
w・
・
・角周波数、実数の定数、範囲は w ≥ 0、単位は [rad/秒]
ϕ・
・
・初期位相、ファイと呼ぶ、実数の定数、範囲は −π ≤ ϕ ≤ π 、単位は [rad]
t・
・
・時刻、実数の変数、単位は [秒]
複素正弦波を使う理由
アナログサイン波を複素正弦波の和に分解すると
・振幅と初期位相を同時に計算できる
・ネイピア数 (e) どうしの単純な四則演算に置き換わって簡単に解ける (ことが多い)
ので、アナログサイン波を含む難解な計算式が簡単に解けるようになる
2

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