Elementargeometrie http://home.mathematik.uni-freiburg.de/ngrosse/ Nadine Große, Yi-Sheng Wang SS 16 Übungsblatt 6 Aufgabe 11. (2+(1+1+1))(Satz von Ceva) Seien pqr drei nicht kollineare Punkte in der euklidischen Ebene. Seien p0 , q 0 bzw. r0 Punkte im Inneren der Strecken qr, pr bzw. pq. (i) Zeigen Sie: Falls sich die Strecken pp0 , qq 0 und rr0 in einem Punkt schneiden, vgl. linke Abbildung, dann gilt |qp0 | |rq 0 | |pr0 | = 1. |p0 r| |q 0 p| |r0 q| (1) (ii) Es gelte nun (1). Sei s der Schnittpunkt von pp0 und rr0 . Wir setzen f (x) := 0 sin x sin(π−δ−x) . Zeigen Sie: 0 (a) f () = f ( ), wobei δ, , wie in der rechten Abbildung sind. (b) f ist monoton auf (0, π). (c) Folgern Sie aus (a) und (b), dass auch qq 0 durch s geht und damit die Umkehrung von (i) gilt. (Hinweis: Sinussatz für die kleinen Dreiecke.) r r β q0 p0 p0 0 q0 s s η γ δ δ α p r0 q p r0 q Aufgabe 12. (3+2) Sei eine angeordnete Inzidenzgeometrie (P, G, I) mit Relationen für Strecken und Winkel gegeben. Es gelten (K1)–(K6). Sei ` eine Gerade und p0 ein Punkt, der nicht auf ` liegt. Sei `0 eine zu ` parallele Gerade durch p0 . Wir nennen `0 echte Parallele zu ` durch p0 , falls es einen Punkt p auf ` gibt, so dass die Gerade h durch p und p0 sowohl ` als auch `0 senkrecht schneidet (also jeweils der Schnittwinkel gleich seinem Nebenwinkel ist.) (i) Zeigen Sie, dass genau eine echte Parallele zu ` durch p0 existiert. Auf I definieren wir eine Relation wie folgt: Wir setzen (p, `) ∼ (p0 , `0 ), falls (p, `) = (p0 , `0 ) oder falls sowohl `0 eine echte Parallele zu ` durch p0 ist als auch ` eine echte Parallele zu `0 durch p ist. (ii) Zeigen Sie, dass ∼ auf I eine Äquivalenzrelation definiert. Abgabe am Donnerstag 09.06.16 bis 16 Uhr in die Briefkästen
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