Beispiel der Vervollständigung einer Mock-Theta

BEISPIEL DER VERVOLLSTÄNDIGUNG EINER
MOCK-THETA-FUNKTION ([2], S. 189–190, [3], S. 24–26, [4] S. 17–18, [5], S.
8–17)
Ramanujan untersuchte die Funktion τ ∈ H = τ ∈ C Im (τ ) > 0 , q = e2πiτ
2
qn
f (τ ) = 1 +
.
2
n )2
(1
+
q)
·
·
·
(1
+
q
n∈N
X
Die Funktion f ist holomorph auf der oberen Halbebene H. Gordon und McIntosh [1] gaben
folgende Darstellung von f an:
3n2 +n
X (−1)n q 2
2
f (τ ) = Q
m
1 + qn
m∈N (1 − q ) n∈Z
(1)
.
Wir definieren die Jacobische Thetareihe ϑ(v; τ ), die Dedekindsche η-Funktion η(τ ) sowie Zwegers’ µ-Funktion µ(u, v; τ ) wie folgt (u, v ∈ C, u, v ∈
/ Z + τ Z, a = e2πiu , b = e2πiv ):
X
1
r2
ϑ(v; τ ) =
(−1)r− 2 br q 2 ,
r∈ 21 +Z
1
η(τ ) = q 24
Y
(1 − q n ) ,
n∈N
n(n+1)
1
a 2 X (−1)n bn q 2
µ(u, v; τ ) =
ϑ(v; τ ) n∈Z
1 − aq n
.
Benutzen Sie folgende Umformulierung von Gleichung (1) ohne Beweis ([4], S. 17; [3], S. 41):
1
1
i −1
η(3τ )3
3
3
−
−
+ q 6µ
(2)
q 24 f (τ ) =
, −τ ; 3τ − q 6 µ
, τ ; 3τ .
2
2
2
η(τ )ϑ 32 ; 3τ
Die Funktionen ϑ, η und µ erfüllen folgende Transformationseigenschaften:
Satz 1. Für u, v ∈ C und τ ∈ H gilt:
(3)
(4)
(5)
(6)
1
e η(τ + 1) = η(τ ) = (−iτ ) η −
,
τ
ϑ(v + 1; τ ) = ϑ(−v; τ ) = −ϑ(v; τ ) = eπiτ +2πiv ϑ(v + τ ; τ ),
1
v 1
21
−
−πiv
− πi
τϑ
e 4 ϑ(v; τ + 1) = ϑ(v; τ ) = i(−iτ ) 2 e
;−
,
τ
τ
πi
− 12
− 12
1
1
1
1
−µ(u + 1, v; τ ) = µ(v, u; τ ) = µ(u, v; τ ) = −a−1 bq − 2 µ(u + τ, v; τ ) + a− 2 b 2 q − 8 ,
(7)
πi
4
e µ(u, v; τ + 1) = µ(u, v; τ ) = −(−iτ )
− 12 πi(u−v)2 τ1
e
1
µ
u v 1
, ;−
τ τ
τ
1
+
2
Z
∞
−∞
2
eπix τ −2πx(u−v)
dx.
cosh (πx)
2
Beweisen Sie die Transformationsgesetze (3) (s. [2], S. 189–190), (6) (s. [5], S. 8–10) und
(7) (s. [5], S. 8–10). Da Thetareihen und deren Transformationsgesetze bereits Gegenstand des
zweiten Vortrages waren, brauchen Sie die Funktionalgleichungen (4) und (5) nicht mehr zu
beweisen.
Indem man Gleichung (3) sowie die Tatsache benutzt, dass SL2 (Z) von S = ( 10 −1
0 ) und
T = ( 10 11 ) erzeugt wird, kann man zeigen, dass für alle γ = ( ac db ) ∈ SL2 (Z) gilt:
1
aτ + b
= χ (γ) (cτ + d) 2 η(τ ).
η
(8)
cτ + d
Hierin ist χ(γ) eine Einheitswurzel. Eine holomorphe Funktion auf H mit limτ →i∞ |f (τ )| < ∞
und limε→0 |f (r + iε)| < ∞ für beliebiges r ∈ Q, die für alle γ ∈ Γ ⊂ SL2 (Z) Gleichung (8)
erfüllt, nennen wir eine Modulform vom Gewicht 21 mit Multiplikatorensystem χ zu Γ.
Aus Satz 1 kann man zeigen, dass die Funktion F (τ ) = 2i q −1 f (24τ ) nach Addition einer geeigneten (nicht-holomorphen) Korrektur-Funktion das Transformationsverhalten einer Modulform
vom Gewicht 21 mit gewissem Multiplikatorensystem zu
Γ0 (576) = ( ac db ) ∈ SL2 (Z) c ≡ 0 (mod 576)
besitzt. Hierzu betrachten wir Zwegers’ Vervollständigung von µ(u, v; τ ).
Zwegers konstruierte in seiner Dissertation ([5], S. 11) die Funktion (z ∈ C)
X
r2
Im(z) p
r− 12
R (z; τ ) =
(−1)
sgn(r) − E
r+
2Im(τ )
e−2πirz q − 2 ,
Im(τ )
r∈ 21 +Z
Z z
2
e−πu du.
E(z) = 2
0
Die vervollständigte µ-Funktion
1
µ
b(u, v; τ ) = µ(u, v; τ ) − R(u − v; τ )
2
besitzt folgende Transformationseigenschaft ([5], Theorem 1.11, S. 15):
Satz 2. Es sei u, v ∈ C, τ ∈ H, k, `, m, n ∈ Z und γ = ( ac db ) ∈ SL2 (Z). Dann gilt:
(9)
(10)
2
µ
b(u + kτ + `, v + mτ + n; τ ) = (−1)k+`+m+n eπi(k−m) τ +2πi(k−m)(u−v) µ
b(u, v; τ ),
(u−v)2
1
u
v
aτ + b
µ
b
,
;
= χ (γ)−3 (cτ + d) 2 e−πic cτ +d µ
b(u, v; τ ).
cτ + d cτ + d cτ + d
Wir definieren nun die Vervollständigung Fb der Funktion F (τ ):
3
−4
Fb(τ ) = F (τ ) − q R
+ 24τ ; 72τ .
2
Aus Satz 2 erhalten wir schließlich folgenden Satz, den Sie angeben aber nicht beweisen sollen
a 24b
(hierin sei ψ ( ac db ) = χ( c/24
d )):
Satz 3. Für τ ∈ H und ( ab db ) ∈ Γ0 (576) gilt:
1
aτ + b
a b
b
F
=ψ
(cτ + d) 2 Fb(τ ).
c d
cτ + d
3
Literatur
[1] B. Gordon und R. McIntosh, Modular transformations of Ramanujan’s fifth and seventh order mock theta
functions, Ramanujan J. 7, 2007, 193–222.
[2] M. Koecher und A. Krieg, Elliptische Funktionen und Modulformen, Springer-Verlag, Berlin, 1998.
[3] K. Ono, The web of modularity: Arithmetic of the coefficients of modular forms and q-series, CBMS regional
conference series in mathematics 102, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2004.
[4] D. Zagier, Ramanujan’s mock theta function and their applications, Sem. Bourbaki 60, 2007, no. 986.
[5] S. Zwegers, Mock theta functions, Ph.D. thesis, Utrecht University, 2002.

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