Übungsblatt 8

Elektrodynamik
Sommersemester 2016
Aufgabenblatt 8
Abgabetermin: Freitag 10.06.2016 um 12.00 Uhr
Hinweis: Auf diesem Blatt gilt die Einheitenwahl c = ~ = 1.
ED 8.1: Betrachten Sie ein Volumen ∆V mit homogen verteilter Gesamtladung ∆Q, das sich im Laborsystem mit der Geschwindigkeit v bewegt.
(a) Die Ladungsdichte im Ruhesystem der Ladung ist ρ̃ = ∆Q/∆V .
Leiten Sie die Ladungsdichte ρ im Laborsystem her und geben Sie
die zugehörige Stromdichte j = vρ an.
Hinweis: Nutzen Sie aus, dass die Ladung ∆Q ein Lorentzskalar ist.
(b) Bilden Sie mit dem Wissen aus (b) einen Vierervektor j µ , der ρ und
j beinhaltet.
Bemerkung: Hierbei handelt es sich um die Viererstromdichte.
(c) Interpretieren Sie die Kontinuitätsgleichung ∂µ j µ = 0 physikalisch.
ED 8.2: Betrachten Sie die Lagrangedichte eines Skalarfeldes φ(x) der Form:
1
λ
L = − ∂µ φ∂ µ φ − (∂µ φ∂ µ φ)2 + gj µ ∂µ φ ,
2
4!
wobei λ und g reell und konstant sind.
(1)
(a) Leiten Sie die Bewegungsgleichung einmal durch explizite Variation von (1) her und einmal unter Verwendung der Euler-LagrangeGleichung aus Aufg. ED 7.2. Nehmen Sie hierbei an, dass j µ eine
erhaltene Quelle ist.
(b) Geben Sie die Symmetrien der Theorie an. Fügen Sie einen Massenterm hinzu. Welche Symmetrie geht hierbei verloren?
(c) Geben Sie die Massen- bzw. Energiedimension der Parameter λ und
g an. Wie verhalten sich der Wechselwirkungs- und der externe
Kopplungsterm im Niedrigenergielimes. Welche Terme überleben?
Hinweis: Arbeiten Sie unter den Annahmen aus Aufg. Z 6.1.
1
ED 8.3: Leiten Sie aus dem Wirkungsfunktional
Z
1
µν
µ
4
S[A] = d x − Fµν F + Aµ j
4
(2)
die Bewegungsgleichungen her, indem Sie nach dem Viererpotential variieren. Als Ergebnis sollten Sie finden:
∂µ F µν = −j ν .
(3)
(a) Zeigen Sie, dass (3) äquivalent ist zu den inhomogenen MaxwellGleichungen
rotB − ∂t E = j .
divE = %,
(4)
Woraus folgen die homogenen Maxwell-Gleichungen?
(b) Leiten Sie direkt aus (3) die Kontinuitätsgleichung in kovarianter
Form her.
(c) Geben Sie (3), ausgedrückt durch Aµ , unter der Annahme ∂µ Aµ = 0
an. Um welchen Typ von Gleichung handelt es sich?
Hinweis: Sie werden später lernen, dass die Bedingung ∂µ Aµ = 0
ohne Beschränkung der Observablen immer realisiert werden kann.
ED 8.4: Ideen zur offenen Diskussion während der Tutorien:
Unter welchen Voraussetzungen ist die Annahme einer homogenen Ladungsverteilung in Aufg. ED 8.1 mit einem infinitesimalen Ladungselement ∆Q verträglich? Beziehen Sie Punktladungen in Ihre Betrachtung
mit ein.
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