Blatt 4 - Goethe

Goethe Universität Frankfurt am Main
Bereich Stochastik und Finanzmathematik
Blatt 4
Sommersemester 2016
Version vom 30. Mai 2016
Dr. Klebert Kentia
Prof. Dr. Christoph Kühn
Übungen zur Einführung in die Stochastische Finanzmathematik
Aufgabe 1 (4 Punkte)
Sei (St0 , St1 )t=0,...,T ein Markt mit positivem (risikolosen) Zins, d.h. St0 = (1 + r)t , t = 0, 1, . . . , T , r > 0
und S 1 ≥ 0. C sei der Preisprozess einer europäischen Call-Option auf das ”risikobehaftete”Wertpapier
S 1 mit Strike K ≥ 0, d.h. CT = (ST1 − K)+ und P die entsprechende Put-Option auf S 1 mit gleichem
Strike und Fälligkeit, d.h. PT = (K − ST1 )+ .
a) Zeige Sie: Wenn der Markt (St0 , St1 , Ct , Pt )t=0,1,...,T arbitragefrei ist, dann gilt die sog. Put-CallParität
St1 + Pt = Ct +
K
(1 + r)T −t
für alle t = 0, ..., T .
b) Zeige Sie: Wenn der erweiterte Markt (St0 , St1 , Ct )t=0,1,...,T arbitragefrei ist, dann gelten für C
+
K
die trivialen Arbitragegrenzen St1 − (1+r)
≤ Ct ≤ St1 für alle t = 0, ..., T .
T −t
c) Führe im Markt aus a) zusätzlich einen Call C 0 mit gleicher Fälligkeit T und Strike K 0 ≥ K ein,
d.h. CT0 = (ST1 − K 0 )+ . Zeigen Sie, dass in einem arbitragefreien Markt gilt
0 ≤ Ct − Ct0 ≤
1
(K 0 − K),
(1 + r)T −t
∀t = 0, ..., T.
e mit gleichem Strike K aber früherer Fälligkeit
d) Führe in Markt aus b) zusätzlich einen Call C
1
+
e
e
e muss in Te liquidiert werden.
T ∈ {1, . . . , T − 1} ein, d.h. CTe = (S e − K) und das Wertpapier C
T
Welcher der Calls ist für t ≤ Te in einem arbitragefreien Markt teurer ? (mit Beweis)
Aufgabe 2 (4 Punkte)
Eine (europäische) Wahl-Option“(chooser option) gibt dem Käufer das Recht, zu einem vorher fest”
gelegten Zeitpunkt T0 (0 < T0 < T ) zwischen einer europäischen Call- und einer europäischen PutOption mit Strike K und Fälligkeit T auf dasselbe Wertpapier mit Preisprozess S = (St1 )t∈{0,...,T } zu
wählen. Dabei gelte P [ST10 = K] = 0 und wir nehmen an, dass sich der Käufer für diejenige Option
entscheidet, die zum Zeitpunkt T0 den höheren Preis hat. Ferner gelte für das risikolose Wertpapier
St0 ≡ 1, t = 0, . . . , T.
a) Geben Sie das Auszahlungsprofil WT einer Wahl-Option an.
b) Zeigen Sie 1 : In einem arbitragefreien Modell in dem die Preise der Call- und Put-Optionen
bereits bekannt sind, gilt für den Preis Wt , t ∈ {0, . . . , T }, der Wahl-Option:
Wt = Ct + Pt0 ,
t ∈ {0, . . . , T },
wobei C eine Call-Option auf S 1 mit Strike K und Fälligkeit T ist, d.h. CT := (ST1 − K)+ und
P 0 eine Put-Option auf S 1 mit Strike K und Fälligkeit T0 ist, d.h. Pt0 := (K − St1 )1{S 1 <K} für
T0
t ≥ T0 .
1
Sie können die Put-Call-Parität verwenden.
Aufgabe 3 (4 Punkte)
Sei (Ω, F, (Ft )0,...,T , P ) ein Warscheinlichkeitsraum mit
Ω := {−1, +1}T = ω = (ω1 , . . . , ωT ) ωi ∈ {−1, +1}, i = 1, . . . , T ,
F = 2Ω , F0 = {∅, Ω}, Ft := σ(Y1 , . . . , Yt ) für Yt (ω) = ωt , t = 1, . . . , T , und P ({ω}) > 0 für alle ω ∈ Ω.
Wir betrachten eine diskontierte Kursentwicklung der Form
!
t
X
Xt = X0 exp
σk Yk + mk , t = 1, . . . , T,
k=1
mit einer Konstanten X0 > 0 und deterministischen Prozessen (σt )t=0,...,T , (mt )t=0,...,T .
a) Unter welchen Voraussetzungen an (σt )t , (mt )t is das Modell arbitragefrei?
b) Man zeige: Es gibt genau ein äquivalentes Martingalmaß P ∗ für den Prozess X, sofern die
Bedingungen aus a) erfüllt sind. Ferner erfüllt P ∗ für a = (a1 , . . . , aT ) ∈ Ω die Gleichung2
∗
P [Y1 = a1 , . . . , YT = aT ] =
T
Y
P ∗ [Yk = ak ].
k=1
c) Man beweise mit Hilfe der binären Struktur des Modells (und ohne die Eindeutigkeit des Martingalmaßes P ∗ zu benutzen), dass jedes Martingal (Mt )t=0,...,T bezüglich P ∗ und (Ft )0,...,T ,
insbesondere also jeder Derivatspreisprozess, von der Form
Mt = M 0 +
t
X
ξk (Xk − Xk−1 ),
t = 0, . . . , T,
k=1
ist. Dabei ist der Prozess (ξt )t=0,...,T mit
ξt =
Mt − Mt−1
,
Xt − Xt−1
t = 1, . . . , T,
vorhersehbar.3
Abgabe: Dienstag, 14.06.2016 vor der Vorlesung.
2
3
Benutzen Sie die Turmeigenschaft des bedingten Erwartungswertes.
Benutzen Sie dafür Teil b), die Martingaleingenschft von M und ohne Beweis, dass jede Ft -messbare Zufallsvariable
eine deterministische Funktion von (Y1 , . . . , Yt ) ist.

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