Präsenzblatt 6

Prof. Dr. Rainer Dahlhaus
Wahrscheinlichkeitstheorie 1
Sommersemester 2016
Vorbereitung auf 6. Übungsblatt (Präsenzübungen)
Aufgabe P21 (Größte obere Schranke zweier Maße).
Seien ν, µ zwei endliche Maße auf einem Messraum (Ω, A).
(a) Zeigen Sie durch ein Gegenbeispiel: Die Abbildung ν ∧ µ : A → [0, ∞), (ν ∧ µ)(A) =
ν(A) ∧ µ(A) ist im Allgemeinen kein Maß.
(b) Zeigen Sie: Es gibt ein endliches Maß m : A → [0, ∞) mit folgenden Eigenschaften (größte
untere Schranke):
• Es gilt m ≤ ν und m ≤ µ punktweise.
• Jedes andere endliche Maß σ : A → [0, ∞) mit σ ≤ ν und σ ≤ µ punktweise erfüllt
auch σ ≤ m.
, g := dµ
(warum geht das?), sowie m(A) :=
Hinweis: Definiere ρ := ν + µ und f := dν
dρ
dρ
R
R
R
f ∧ g dρ = A∩{f >g} (f ∧ g) dρ + A∩{f ≤g} (f ∧ g) dρ.
A
(c) Wie sieht m aus (b) in dem Gegenbeispiel von (a) aus?
Aufgabe P22 (Definition bedingter Erwartungswert).
Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und F ⊂ A eine weitere σ-Algebra über Ω. Sei
X : (Ω, A) → (R, BR ) eine integrierbare Zufallsvariable (d.h. eine messbare Abbildung).
R
(a) Sei zunächst X ≥ 0 nichtnegativ. Zeigen Sie: Durch µ : F → R, µ(F ) := F X dP wird
ein endliches Maß auf (Ω, F) definiert.
(b) Sei nun X beliebig. Für eine (F, BR )-messbare Abbildung Z : Ω → R fordern wir folgende
Eigenschaft: Für alle F ∈ F gilt
Z
Z
X dP =
Z dP.
F
F
Begründen Sie, warum solch eine Abbildung Z existiert (später werden wir Z den bedingten Erwartungswert E[X|F] nennen).
1
Aufgabe P23 (Beispiele / Rechenregeln für Dichten).
Es sei (Ω, A) ein Messraum und P1 , P2 Wahrscheinlichkeitsmaße auf (Ω, A).
(a) Sei zunächst allgemein P ein weiteres Wahrscheinlichkeitsmaß auf (Ω, A) mit P P1
dP
dP
, g := dP
. Zeigen Sie, dass dann gilt: P P1 + P2 ,
und P P2 mit Dichten f := dP
1
2
P({f = 0}) = P({g = 0}) = 0 und
dP
=
d(P1 + P2 )
1
f
1
+
1
g
(P1 + P2 ) − f.s.
(b) Es sei (Ω, A) = (R, BR ). Seien a1 , a2 ∈ (0, ∞). Für i = 1, 2 seien Pi = U [0, ai ] die
Gleichverteilungen mit Dichten
fi (x) =
1
1[0,ai ] (x)
ai
bzgl. des Lebesgue-Maßes λ auf (R, BR ). Unter welchen Bedingungen gilt P1 P2 ? Geben
1
an, die aber P2 -f.s. gleich sind.
Sie im Falle von P1 P2 zwei verschiedene Dichten dP
dP2
Hinweis: Nutzen Sie Ergebnisse von Übungsblatt 6, Aufgabe 22 für die Berechnung der
Dichte.
(c) Es sei (Ω, A) = (N0 , P(N0 )). Es seien λ1 , λ2 ∈ (0, ∞). Für i = 1, 2 seien Pi = Poi(λi )
Poissonverteilungen mit Dichten
fi (x) =
λxi −λi
e
x!
bzgl. des Zählmaßes µZ auf (Ω, A). Unter welchen Bedingungen gilt P1 P2 ? Geben Sie
dP1
an.
im Falle von P1 P2 eine Dichte dP
2
Aufgabe P24 (Anwendung: Verallgemeinerte Transformationsformel, Erwartungswerte).
Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum.
(a) Sei X : (Ω, A) → (R, BR ) eine messbare Abbildung mit X ∼ U [0, 2π], d.h. PX ist stetig
X
1
bzgl. des Lebesgue-Maßes λ auf (R, BR ) mit Dichte fX (x) = dPdλ (x) = 2π
1[0,2π] (x). Berechnen Sie die Dichte fY von Y := cos(X) bzgl. λ.
Berechnen Sie dann E[cos(X)] einmal direkt und einmal mittels E[cos(X)] = E[Y ].
1
Hinweis: Nutzen Sie Blatt 6, Aufgabe 24 und (arccos(x))0 = − √1−x
2 , wobei arccos :
(−1, 1) → (0, π).
(b) Sei X : (Ω, A) → (N0 , P(N0 )) eine messbare Abbildung, λ > 0 und X ∼ Poi(λ), d.h. PX
x
ist stetig bzgl. des Zählmaßes µZ auf (N0 , P(N0 )) mit Dichte fX (x) = λx! e−λ . Berechnen
Sie E[X].
Abgabe: Keine Abgabe. Dieses Übungsblatt wird (teilweise) in den Übungen besprochen.
Homepage der Vorlesung:
http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~hu020/WT1/index.html
2

Download Report