Übungsblatt 3

3. Übungsblatt zur Theoretischen Physik I im SS16:
Mechanik & Spezielle Relativitätstheorie
Lagrange Formalismus I
Aufgabe 7
Atwoodsche Fallmaschine
Betrachten Sie das System aus zwei Punktmassen m1 und m2 im homogenen Schwerefeld der Erde. Die
beiden Massen seien über ein masseloses Seil der Länge L, welches über eine masselose Rolle mit Radius
R geführt wird, miteinander verbunden. Reibungseffekte seien zu vernachlässigen.
R
y
m2
m1
x
a) Wie in der Vorlesung werde ein System mit N -Punktmassen, deren Ortsvektoren durch ~r1 , ...~r2
gegeben sind durch die 3N -Koordinaten xn , n = 1, ..., 3N der N Punktmassen beschrieben. Es
gebe R holonome Zwangsbedingungen gα (x1 , ...x3N , t), α = 1, ..., R. Es sei nun mindestens eine der
R-Zwangsbedingungen, hier o.B.d.A. als g1 bezeichnet, von der Form g1 (x1 , .., x3N , t) = xn − a,
wobei a eine Konstante sei. Zeigen Sie ganz allgemein, dass bei der Beschränkung auf eine Ebene
die Bewegung des Systems senkrecht zu dieser Ebene von vornherein außer Acht gelassen werden
kann.
b) Bestimmen Sie die Anzahl der Freiheitsgrade für zwei freie Punktmassen. Bestimmen Sie die Anzahl
der Zwangsbedingungen. Wie lauten die Zwangsbedingungen? Durch wieviele unabhängige Freiheitsgrade ist die Bewegung des Systems bestimmt?
c) Wie lauten die Lagrange-Gleichungen erster Art? Nutzen Sie das Ergebnis aus Aufgabenteil a.) um
die Dynamik des Systems zu beschreiben. Wie lautet der zu bestimmende Lagrangeparameter λ,
ausgedrückt durch die das System charakterisierenden Konstanten?
d) Lösen sie die Bewegungsgleichungen durch Integration. Gilt Energieerhaltung? Begründen Sie Ihre
Antwort.
e) Bestimmen Sie die Zwangskraft. Vergleichen Sie die Bewegung der Lösung x1 (t) mit der des freien
Falls. Was passiert für die Grenzfälle m1 = m2 und m1 m2 ? Was passiert für m1 = m2 + δm mit
|δm| 1?
1
Aufgabe 8
Pleuelstange
An einer drehbaren masselosen Scheibe mit Radius r ist eine masselose Pleuelstange mit konstanter Länge
l durch ein Gelenk befestigt. Am Gelenk sei eine Masse m1 befestigt. Am anderen Ende der Pleuelstange
sei die Masse m2 befestigt die auf einer Führungsschiene, welche mit der x-Achse des Koordinatensystems
zusammenfällt, reibungsfrei gleite. Die Scheibe sei mit ihrem Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems befestigt und ihre Rotationsachse falle mit der y-Achse des Koordinatensystems zusammen. Es
wirke keine äussere Kraft außer der Gravitationskraft.
z
m1
l
r
x
m2
a) Wieviele unabhängige Freiheitsgrade hat das System? Wie lauten die Zwangsbedingungen?
b) Welche Grösse bietet sich als generalisierte Koordinate an? Stellen Sie mithilfe dieser generalisierten
Koordinate die Lagrangefunktion für das System auf.
Aufgabe 9
Zwangskraft auf Skifahrer
Ein Skifahrer mit Masse m gleite im homogenen Schwerefeld der Erde reibungsfrei eine Piste hinab, deren Form durch einen Viertelkreis mit konstantem Radius R in der x − z-Ebene beschrieben sei (siehe
Abbildung). Er starte am höchsten Punkt in Ruhe und gleite dann reibungsfrei herab, bis zu dem Punkt
an dem er schließlich abhebt.
z
R
ϑ
x
a) Wie lautet die Zwangsbedingung h(r, ϑ) = 0 bis zum Abhebepunkt in Polarkoordinaten?
b) Drücken Sie die Lagrangegleichungen 1.Art
~
m ~r¨ = F~g + Z
(1)
~ die Zwangskraft.
in Polarkoordinaten aus. Hier bezeichnet F~g die Gravitationskraft und Z
Hinweis: Die Einheitsvektoren ~er und ~eθ sowie der Gradient in Polarkoordinaten sind gegeben durch
sin ϑ
cos ϑ
~ = ~er ∂ + ~eϑ 1 ∂
~er =
,
~eϑ =
,
∇
.
cos ϑ
−sin ϑ
∂r
r ∂ϑ
2
Indem Sie (1), ausgedrückt in Polarkoordinaten, jeweils mit den orthonormierten Einheitsvektoren
~er bzw. ~eϑ multiplizieren, erhalten Sie die r bzw. ϑ Komponenten der Lagrangegleichung 1. Art.
~
c) Bestimmen Sie die auf den Skifahrer wirkende Zwangskraft Z.
Hinweis: Nutzen Sie die Energieerhaltung um ϑ̇2 zu eliminieren.
d) Bei welchem Winkel ϑ = ϑj hebt der Skifahrer ab?
3

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